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1. 想一想，填一填。
(1) 80 以内 8 的倍数：
(2) 80 以内 12 的倍数：
(3) 80 以内 8 和 12 的公倍数：
(3) 8 和 12 的最小公倍数：
(1) 80 以内 8 的倍数：
8,16,24,32,40,48,56,64,72
。(2) 80 以内 12 的倍数：
12,24,36,48,60,72
。(3) 80 以内 8 和 12 的公倍数：
24,48,72
。(3) 8 和 12 的最小公倍数：
24
。答案
8,16,24,32,40,4
8，56，64，72
12,24,36,48,60,
72
24,48,72
24
8，56，64，72
12,24,36,48,60,
72
24,48,72
24
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 找80以内8的倍数：用8依次乘1、2、3……，直到乘积小于80为止，得到的数就是80以内8的倍数；
2. 找80以内12的倍数：同理，用12依次乘1、2、3……，乘积小于80的数就是目标倍数；
3. 找80以内8和12的公倍数：对比前两步得到的两组倍数，找出其中相同的数，这些数就是它们的公倍数；
4. 找8和12的最小公倍数：在找到的公倍数中，数值最小的那个就是最小公倍数，也可以通过分解质因数的方法验证结果。
【解析】
(1) 计算8的倍数：
8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，8×6=48，8×7=56，8×8=64，8×9=72，8×10=80（80不满足“80以内”，舍去），因此80以内8的倍数是8,16,24,32,40,48,56,64,72；
(2) 计算12的倍数：
12×1=12，12×2=24，12×3=36，12×4=48，12×5=60，12×6=72，12×7=84（84＞80，舍去），因此80以内12的倍数是12,24,36,48,60,72；
(3) 对比上述两组倍数，找出相同的数：24,48,72，这就是80以内8和12的公倍数；
(4) 在公倍数24,48,72中，最小的数是24，所以8和12的最小公倍数是24。
【答案】
(1) 8,16,24,32,40,48,56,64,72
(2) 12,24,36,48,60,72
(3) 24,48,72
(4) 24
【知识点】
倍数的找法、公倍数的概念、最小公倍数的求法
【点评】
本题考查了倍数、公倍数和最小公倍数的基础知识点，通过乘法找倍数是最直观的方法，同时也可以利用分解质因数的方法快速求出最小公倍数，这类题目是数论部分的基础内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 找80以内8的倍数：用8依次乘1、2、3……，直到乘积小于80为止，得到的数就是80以内8的倍数；
2. 找80以内12的倍数：同理，用12依次乘1、2、3……，乘积小于80的数就是目标倍数；
3. 找80以内8和12的公倍数：对比前两步得到的两组倍数，找出其中相同的数，这些数就是它们的公倍数；
4. 找8和12的最小公倍数：在找到的公倍数中，数值最小的那个就是最小公倍数，也可以通过分解质因数的方法验证结果。
【解析】
(1) 计算8的倍数：
8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，8×6=48，8×7=56，8×8=64，8×9=72，8×10=80（80不满足“80以内”，舍去），因此80以内8的倍数是8,16,24,32,40,48,56,64,72；
(2) 计算12的倍数：
12×1=12，12×2=24，12×3=36，12×4=48，12×5=60，12×6=72，12×7=84（84＞80，舍去），因此80以内12的倍数是12,24,36,48,60,72；
(3) 对比上述两组倍数，找出相同的数：24,48,72，这就是80以内8和12的公倍数；
(4) 在公倍数24,48,72中，最小的数是24，所以8和12的最小公倍数是24。
【答案】
(1) 8,16,24,32,40,48,56,64,72
(2) 12,24,36,48,60,72
(3) 24,48,72
(4) 24
【知识点】
倍数的找法、公倍数的概念、最小公倍数的求法
【点评】
本题考查了倍数、公倍数和最小公倍数的基础知识点，通过乘法找倍数是最直观的方法，同时也可以利用分解质因数的方法快速求出最小公倍数，这类题目是数论部分的基础内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2. 在十月份中，哪些日期是 4 的倍数？哪些日期是 6 的倍数？填一填。
|4 的倍数|6 的倍数|
|----|----|
|
||
4 和 6 的最小公倍数是(
|4 的倍数|6 的倍数|
|----|----|
|
||4 和 6 的最小公倍数是(
12
)。答案
6，
18，30
4，8，16，
20，28
12，
24
12
18，30
4，8，16，
20，28
12，
24
12
解析
【分析】
首先明确十月份共有31天，我们需要在1~31的范围内找出4的倍数、6的倍数以及它们的公倍数。解题思路为：
1. 根据倍数的定义，依次计算4的倍数（4×1、4×2……直到结果不超过31）；
2. 用同样的方法计算6的倍数（6×1、6×2……直到结果不超过31）；
3. 从4和6的倍数中找出共同的数，即为它们的公倍数，其中最小的那个就是最小公倍数；
4. 最后将4的倍数（不含公倍数）填入左椭圆，6的倍数（不含公倍数）填入右椭圆，公倍数填入交集部分。
【解析】
1. 找1~31中4的倍数：
4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16，4×5=20，4×6=24，4×7=28，4×8=32＞31，所以4的倍数有4、8、12、16、20、24、28。
2. 找1~31中6的倍数：
6×1=6，6×2=12，6×3=18，6×4=24，6×5=30，6×6=36＞31，所以6的倍数有6、12、18、24、30。
3. 找出4和6的公倍数：同时出现在两个倍数列表中的数是12、24，其中最小的是12。
4. 填写韦恩图：
左椭圆（仅4的倍数）：4，8，16，20，28
右椭圆（仅6的倍数）：6，18，30
交集部分（4和6的公倍数）：12，24
【答案】
4的倍数：4，8，16，20，28
6的倍数：6，18，30
4和6的公倍数：12，24
4和6的最小公倍数是(12)
【知识点】
找一个数的倍数，公倍数与最小公倍数
【点评】
本题结合十月份的天数，考查倍数、公倍数和最小公倍数的相关知识，需要学生熟练掌握找一个数倍数的方法，同时理解公倍数和最小公倍数的含义，通过实际场景巩固数论基础概念，提升应用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确十月份共有31天，我们需要在1~31的范围内找出4的倍数、6的倍数以及它们的公倍数。解题思路为：
1. 根据倍数的定义，依次计算4的倍数（4×1、4×2……直到结果不超过31）；
2. 用同样的方法计算6的倍数（6×1、6×2……直到结果不超过31）；
3. 从4和6的倍数中找出共同的数，即为它们的公倍数，其中最小的那个就是最小公倍数；
4. 最后将4的倍数（不含公倍数）填入左椭圆，6的倍数（不含公倍数）填入右椭圆，公倍数填入交集部分。
【解析】
1. 找1~31中4的倍数：
4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16，4×5=20，4×6=24，4×7=28，4×8=32＞31，所以4的倍数有4、8、12、16、20、24、28。
2. 找1~31中6的倍数：
6×1=6，6×2=12，6×3=18，6×4=24，6×5=30，6×6=36＞31，所以6的倍数有6、12、18、24、30。
3. 找出4和6的公倍数：同时出现在两个倍数列表中的数是12、24，其中最小的是12。
4. 填写韦恩图：
左椭圆（仅4的倍数）：4，8，16，20，28
右椭圆（仅6的倍数）：6，18，30
交集部分（4和6的公倍数）：12，24
【答案】
4的倍数：4，8，16，20，28
6的倍数：6，18，30
4和6的公倍数：12，24
4和6的最小公倍数是(12)
【知识点】
找一个数的倍数，公倍数与最小公倍数
【点评】
本题结合十月份的天数，考查倍数、公倍数和最小公倍数的相关知识，需要学生熟练掌握找一个数倍数的方法，同时理解公倍数和最小公倍数的含义，通过实际场景巩固数论基础概念，提升应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 在[
2 和 8[
5 和 7[
10 和 15[
8
]里写出每组数的最小公倍数。2 和 8[
8
] 4 和 6[12
]5 和 7[
35
] 9 和 1[9
]10 和 15[
30
] 18 和 30[90
]答案
8
12
35
9
30
90
12
35
9
30
90
解析
【分析】
要解决求每组数的最小公倍数的问题，我们可以根据两个数的不同关系选择对应的方法：
1. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
2. 若两个数是互质数（公因数只有1），它们的乘积就是最小公倍数；
3. 若两个数是一般关系，可通过分解质因数或短除法，取所有质因数的最高次幂相乘得到最小公倍数。
接下来逐个分析每组数：
2和8：8是2的倍数，属于倍数关系，直接取较大数；
4和6：既非倍数关系也非互质数，需分解质因数计算；
5和7：公因数只有1，是互质数，用乘积计算；
9和1：1与任何非0自然数的最小公倍数是该自然数本身；
10和15：属于一般关系，分解质因数后计算；
18和30：属于一般关系，分解质因数后计算。
【解析】
1. 2和8：因为8是2的倍数，所以最小公倍数是8；
2. 4和6：分解质因数得$4=2^2$，$6=2×3$，取质因数的最高次幂相乘，即$2^2×3=12$，所以最小公倍数是12；
3. 5和7：两数互质，最小公倍数为$5×7=35$；
4. 9和1：1与任何非0自然数的最小公倍数是该自然数，所以最小公倍数是9；
5. 10和15：分解质因数得$10=2×5$，$15=3×5$，取所有质因数相乘（相同质因数取一次），即$2×3×5=30$，所以最小公倍数是30；
6. 18和30：分解质因数得$18=2×3^2$，$30=2×3×5$，取质因数的最高次幂相乘，即$2×3^2×5=90$，所以最小公倍数是90。
【答案】
8
12
35
9
30
90
【知识点】
最小公倍数的求法、倍数关系数的最小公倍数、互质数的最小公倍数
【点评】
本题涵盖了倍数关系、互质关系、一般关系三种常见的数的组合，考查学生对最小公倍数不同求解方法的掌握情况，通过针对性练习能帮助学生巩固最小公倍数的核心概念与计算技巧。
【难度系数】
0.8
要解决求每组数的最小公倍数的问题，我们可以根据两个数的不同关系选择对应的方法：
1. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
2. 若两个数是互质数（公因数只有1），它们的乘积就是最小公倍数；
3. 若两个数是一般关系，可通过分解质因数或短除法，取所有质因数的最高次幂相乘得到最小公倍数。
接下来逐个分析每组数：
2和8：8是2的倍数，属于倍数关系，直接取较大数；
4和6：既非倍数关系也非互质数，需分解质因数计算；
5和7：公因数只有1，是互质数，用乘积计算；
9和1：1与任何非0自然数的最小公倍数是该自然数本身；
10和15：属于一般关系，分解质因数后计算；
18和30：属于一般关系，分解质因数后计算。
【解析】
1. 2和8：因为8是2的倍数，所以最小公倍数是8；
2. 4和6：分解质因数得$4=2^2$，$6=2×3$，取质因数的最高次幂相乘，即$2^2×3=12$，所以最小公倍数是12；
3. 5和7：两数互质，最小公倍数为$5×7=35$；
4. 9和1：1与任何非0自然数的最小公倍数是该自然数，所以最小公倍数是9；
5. 10和15：分解质因数得$10=2×5$，$15=3×5$，取所有质因数相乘（相同质因数取一次），即$2×3×5=30$，所以最小公倍数是30；
6. 18和30：分解质因数得$18=2×3^2$，$30=2×3×5$，取质因数的最高次幂相乘，即$2×3^2×5=90$，所以最小公倍数是90。
【答案】
8
12
35
9
30
90
【知识点】
最小公倍数的求法、倍数关系数的最小公倍数、互质数的最小公倍数
【点评】
本题涵盖了倍数关系、互质关系、一般关系三种常见的数的组合，考查学生对最小公倍数不同求解方法的掌握情况，通过针对性练习能帮助学生巩固最小公倍数的核心概念与计算技巧。
【难度系数】
0.8
4. 某班学生不足 50 人，如果分成 3 人一组或 5 人一组，都恰好分完。这个班最多有学生多少人？
答案
3和5的公倍数有15，30，45，…
答：这个班最多有学生45人。
答：这个班最多有学生45人。
解析
【分析】
首先，题目中“分成3人一组或5人一组都恰好分完”说明班级人数是3和5的公倍数；其次，班级学生不足50人，所以我们需要找出小于50的3和5的公倍数中最大的那个数。解题思路是先求出3和5的最小公倍数，再依次找出其倍数，筛选出符合“不足50人”条件的最大数。
【解析】
1. 求3和5的最小公倍数：因为3和5是互质数（除了1没有其他公因数），所以它们的最小公倍数为 $3×5=15$。
2. 找出小于50的15的倍数：$15×1=15$，$15×2=30$，$15×3=45$，$15×4=60$（60＞50，不符合条件）。
3. 对比这些倍数，最大的符合条件的数是45。
【答案】
45人
【知识点】
公倍数的应用、互质数求最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数在实际问题中的应用，核心是理解“恰好分完”对应人数为两个数的公倍数，结合人数限制筛选出最大值，需要学生掌握互质数的最小公倍数求法以及公倍数的概念。
【难度系数】
0.8
首先，题目中“分成3人一组或5人一组都恰好分完”说明班级人数是3和5的公倍数；其次，班级学生不足50人，所以我们需要找出小于50的3和5的公倍数中最大的那个数。解题思路是先求出3和5的最小公倍数，再依次找出其倍数，筛选出符合“不足50人”条件的最大数。
【解析】
1. 求3和5的最小公倍数：因为3和5是互质数（除了1没有其他公因数），所以它们的最小公倍数为 $3×5=15$。
2. 找出小于50的15的倍数：$15×1=15$，$15×2=30$，$15×3=45$，$15×4=60$（60＞50，不符合条件）。
3. 对比这些倍数，最大的符合条件的数是45。
【答案】
45人
【知识点】
公倍数的应用、互质数求最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数在实际问题中的应用，核心是理解“恰好分完”对应人数为两个数的公倍数，结合人数限制筛选出最大值，需要学生掌握互质数的最小公倍数求法以及公倍数的概念。
【难度系数】
0.8
5. 黑棋每次走 6 格，白棋每次走 5 格。
(1) 给两种棋都能走到的格子涂上颜色。
(2) 由上题可知，6 和 5 的最小公倍数是(
(1) 给两种棋都能走到的格子涂上颜色。
(2) 由上题可知，6 和 5 的最小公倍数是(
30
)。答案
30
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：
1. 对于第(1)问，黑棋每次走6格，它走到的格子数是6的倍数；白棋每次走5格，它走到的格子数是5的倍数。两种棋都能走到的格子数就是6和5的公倍数，我们需要先找出1-35范围内6和5的公倍数，再给对应的格子涂色。
2. 对于第(2)问，最小公倍数是两个数公倍数中最小的那个，因为6和5是互质数（除了1没有其他公因数），所以它们的最小公倍数就是两数的乘积。
【解析】
(1) 先找出1-35中6的倍数：6、12、18、24、30；
再找出1-35中5的倍数：5、10、15、20、25、30；
其中共同的数是30，所以给标有30的格子涂色，如图所示：
(2) 因为6和5是互质数，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即$6×5=30$，所以6和5的最小公倍数是30。
【答案】
(1)
(2) 30
【知识点】
公倍数与最小公倍数，互质数的性质
【点评】
本题结合走棋的趣味情境，考查公倍数和最小公倍数的概念及应用，帮助学生将抽象的数论知识与实际场景结合，加深对倍数、公倍数概念的理解，提升应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分两步思考：
1. 对于第(1)问，黑棋每次走6格，它走到的格子数是6的倍数；白棋每次走5格，它走到的格子数是5的倍数。两种棋都能走到的格子数就是6和5的公倍数，我们需要先找出1-35范围内6和5的公倍数，再给对应的格子涂色。
2. 对于第(2)问，最小公倍数是两个数公倍数中最小的那个，因为6和5是互质数（除了1没有其他公因数），所以它们的最小公倍数就是两数的乘积。
【解析】
(1) 先找出1-35中6的倍数：6、12、18、24、30；
再找出1-35中5的倍数：5、10、15、20、25、30；
其中共同的数是30，所以给标有30的格子涂色，如图所示：
(2) 因为6和5是互质数，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即$6×5=30$，所以6和5的最小公倍数是30。
【答案】
(1)
(2) 30
【知识点】
公倍数与最小公倍数，互质数的性质
【点评】
本题结合走棋的趣味情境，考查公倍数和最小公倍数的概念及应用，帮助学生将抽象的数论知识与实际场景结合，加深对倍数、公倍数概念的理解，提升应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 一种长方形地砖长 36 厘米，宽 24 厘米，至少用多少块这种地砖才能铺成一个正方形？(地砖不能分割)
答案
[36,24]=72
(72÷36)×(72÷24)=6（块）
答：至少用6块这种地砖才能铺成一个正方形。
(72÷36)×(72÷24)=6（块）
答：至少用6块这种地砖才能铺成一个正方形。
解析
【分析】
要用地砖铺成正方形，正方形的边长需同时是地砖长和宽的倍数，要使地砖数量最少，正方形的边长应取36和24的最小公倍数。确定最小边长后，计算边长中包含几个地砖的长、几个地砖的宽，两者的乘积就是所需地砖的最少数量。
【解析】
1. 求36和24的最小公倍数：
$ [36,24] = 72 $
即铺成的最小正方形的边长为72厘米。
2. 计算每行所需地砖数：$ 72 ÷ 36 = 2 $（块）
3. 计算所需地砖的行数：$ 72 ÷ 24 = 3 $（行）
4. 计算总地砖数：$ 2 × 3 = 6 $（块）
答：至少用6块这种地砖才能铺成一个正方形。
【答案】
6块
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题结合实际拼接场景考查最小公倍数的应用，核心是理解“最少地砖数”对应“最小正方形边长”，即地砖长和宽的最小公倍数，通过简单的除法和乘法运算即可求解，帮助学生强化数学知识与生活实际的联系。
【难度系数】
0.7
要用地砖铺成正方形，正方形的边长需同时是地砖长和宽的倍数，要使地砖数量最少，正方形的边长应取36和24的最小公倍数。确定最小边长后，计算边长中包含几个地砖的长、几个地砖的宽，两者的乘积就是所需地砖的最少数量。
【解析】
1. 求36和24的最小公倍数：
$ [36,24] = 72 $
即铺成的最小正方形的边长为72厘米。
2. 计算每行所需地砖数：$ 72 ÷ 36 = 2 $（块）
3. 计算所需地砖的行数：$ 72 ÷ 24 = 3 $（行）
4. 计算总地砖数：$ 2 × 3 = 6 $（块）
答：至少用6块这种地砖才能铺成一个正方形。
【答案】
6块
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题结合实际拼接场景考查最小公倍数的应用，核心是理解“最少地砖数”对应“最小正方形边长”，即地砖长和宽的最小公倍数，通过简单的除法和乘法运算即可求解，帮助学生强化数学知识与生活实际的联系。
【难度系数】
0.7
7. 王阿姨每上 3 天班休息一天，李叔叔每上 5 天班休息一天。已知 3 月 5 日王阿姨和李叔叔同时休息，那么下一次他们同时休息是几月几日？为什么？
答案
[4,6]=12
5+12=17
答：下一次他们同时休息是3月17日。因为王阿姨每4天休息一次，李叔叔每6天休息一次，他们同时休息的间隔天数是4和6的最小公倍数12天，3月5日过12天是3月17日。
5+12=17
答：下一次他们同时休息是3月17日。因为王阿姨每4天休息一次，李叔叔每6天休息一次，他们同时休息的间隔天数是4和6的最小公倍数12天，3月5日过12天是3月17日。
解析
【分析】
首先要明确两人的休息周期：王阿姨每上3天班休息1天，说明她的一个周期是3+1=4天，即每4天休息1次；李叔叔每上5天班休息1天，他的一个周期是5+1=6天，即每6天休息1次。要找到下一次同时休息的时间，就是求4和6的最小公倍数，这个最小公倍数就是两人再次同时休息的间隔天数，再从3月5日往后加上这个间隔天数，就能算出具体日期。
【解析】
1. 确定休息周期：
王阿姨的休息周期：$3+1=4$（天），即每4天休息1次；
李叔叔的休息周期：$5+1=6$（天），即每6天休息1次。
2. 求4和6的最小公倍数：
分解质因数，$4=2×2$，$6=2×3$，所以最小公倍数为$2×2×3=12$，即两人每隔12天同时休息一次。
3. 推算日期：
$5+12=17$，即3月5日过12天是3月17日。
答：下一次他们同时休息是3月17日。因为王阿姨每4天休息一次，李叔叔每6天休息一次，他们同时休息的间隔天数是4和6的最小公倍数12天，3月5日过12天是3月17日。
【答案】
3月17日
【知识点】
最小公倍数的应用、日期推算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是正确理解两人的休息周期，通过求最小公倍数确定同时休息的间隔天数，再结合日期推算得出结果，需要学生具备将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先要明确两人的休息周期：王阿姨每上3天班休息1天，说明她的一个周期是3+1=4天，即每4天休息1次；李叔叔每上5天班休息1天，他的一个周期是5+1=6天，即每6天休息1次。要找到下一次同时休息的时间，就是求4和6的最小公倍数，这个最小公倍数就是两人再次同时休息的间隔天数，再从3月5日往后加上这个间隔天数，就能算出具体日期。
【解析】
1. 确定休息周期：
王阿姨的休息周期：$3+1=4$（天），即每4天休息1次；
李叔叔的休息周期：$5+1=6$（天），即每6天休息1次。
2. 求4和6的最小公倍数：
分解质因数，$4=2×2$，$6=2×3$，所以最小公倍数为$2×2×3=12$，即两人每隔12天同时休息一次。
3. 推算日期：
$5+12=17$，即3月5日过12天是3月17日。
答：下一次他们同时休息是3月17日。因为王阿姨每4天休息一次，李叔叔每6天休息一次，他们同时休息的间隔天数是4和6的最小公倍数12天，3月5日过12天是3月17日。
【答案】
3月17日
【知识点】
最小公倍数的应用、日期推算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是正确理解两人的休息周期，通过求最小公倍数确定同时休息的间隔天数，再结合日期推算得出结果，需要学生具备将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
