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1. 填一填。
(1) 在 $4×6 = 24$ 中，4 和 6 是 24 的(
(2) 五(1)班的人数是 2 的倍数，又是 3 的倍数，而且比 40 多、比 50 少。五(1)班可能有(
(3) 用 6，7，8 这三个数字组成的三位数，一定都是(
(4) 参加书法社团的人数在 50 以内，把他们分成 3 人一组或 5 人一组，都正好分完，参加书法社团的最多有(
(5) 《西游记》是我国四大名著之一，书中唐僧师徒四人去西天取经，历经“九九八十一难”。81 的因数有
(1) 在 $4×6 = 24$ 中，4 和 6 是 24 的(
因数
)，24 是 4 和 6 的(倍数
)。(2) 五(1)班的人数是 2 的倍数，又是 3 的倍数，而且比 40 多、比 50 少。五(1)班可能有(
42 或 48
)人。(3) 用 6，7，8 这三个数字组成的三位数，一定都是(
3
)的倍数。(4) 参加书法社团的人数在 50 以内，把他们分成 3 人一组或 5 人一组，都正好分完，参加书法社团的最多有(
45
)人。(5) 《西游记》是我国四大名著之一，书中唐僧师徒四人去西天取经，历经“九九八十一难”。81 的因数有
1,3,9,27,81
，81 的最小倍数是(81
)。答案
因数
倍数
42或48
3
45
1,3,9,27,
81
81
倍数
42或48
3
45
1,3,9,27,
81
81
解析
【分析】
1. 第(1)题：回忆因数和倍数的定义，在整数乘法算式中，相乘的两个数是积的因数，积是这两个数的倍数，据此填空。
2. 第(2)题：先求出2和3的最小公倍数，再找出40到50之间该公倍数的倍数，即可得到班级可能的人数。
3. 第(3)题：根据3的倍数特征，即一个数各位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，计算6、7、8的和并判断，进而得出结论。
4. 第(4)题：先求3和5的最小公倍数，再找出50以内最大的该公倍数的倍数，就是社团最多的人数。
5. 第(5)题：从1开始依次列举能整除81的数，得到81的因数；根据“一个数的最小倍数是它本身”，得出81的最小倍数。
【解析】
(1) 根据因数和倍数的定义：在整数乘法中，两个乘数是积的因数，积是两个乘数的倍数。因此在$4×6 = 24$中，4和6是24的因数，24是4和6的倍数。
(2) 2和3互质，最小公倍数为$2×3=6$；在40到50之间，6的倍数有$6×7=42$、$6×8=48$，所以五(1)班可能有42或48人。
(3) 计算三个数字之和：$6+7+8=21$，21是3的倍数，根据3的倍数特征，可知用6、7、8组成的三位数一定都是3的倍数。
(4) 3和5互质，最小公倍数为$3×5=15$；50以内15的倍数有15、30、45，其中最大的是45，所以参加书法社团的最多有45人。
(5) 能整除81的数有1、3、9、27、81，即81的因数是1,3,9,27,81；一个数的最小倍数是它本身，所以81的最小倍数是81。
【答案】
(1) 因数；倍数
(2) 42或48
(3) 3
(4) 45
(5) 1,3,9,27,81；81
【知识点】
1. 因数与倍数的定义
2. 公倍数与最小公倍数
3. 3的倍数特征
【点评】
本题综合考查因数、倍数、公倍数及3的倍数特征的基础知识点，题目结合概念理解和简单应用，需要学生熟练掌握相关定义并灵活运用，有助于巩固数论基础内容。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：回忆因数和倍数的定义，在整数乘法算式中，相乘的两个数是积的因数，积是这两个数的倍数，据此填空。
2. 第(2)题：先求出2和3的最小公倍数，再找出40到50之间该公倍数的倍数，即可得到班级可能的人数。
3. 第(3)题：根据3的倍数特征，即一个数各位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，计算6、7、8的和并判断，进而得出结论。
4. 第(4)题：先求3和5的最小公倍数，再找出50以内最大的该公倍数的倍数，就是社团最多的人数。
5. 第(5)题：从1开始依次列举能整除81的数，得到81的因数；根据“一个数的最小倍数是它本身”，得出81的最小倍数。
【解析】
(1) 根据因数和倍数的定义：在整数乘法中，两个乘数是积的因数，积是两个乘数的倍数。因此在$4×6 = 24$中，4和6是24的因数，24是4和6的倍数。
(2) 2和3互质，最小公倍数为$2×3=6$；在40到50之间，6的倍数有$6×7=42$、$6×8=48$，所以五(1)班可能有42或48人。
(3) 计算三个数字之和：$6+7+8=21$，21是3的倍数，根据3的倍数特征，可知用6、7、8组成的三位数一定都是3的倍数。
(4) 3和5互质，最小公倍数为$3×5=15$；50以内15的倍数有15、30、45，其中最大的是45，所以参加书法社团的最多有45人。
(5) 能整除81的数有1、3、9、27、81，即81的因数是1,3,9,27,81；一个数的最小倍数是它本身，所以81的最小倍数是81。
【答案】
(1) 因数；倍数
(2) 42或48
(3) 3
(4) 45
(5) 1,3,9,27,81；81
【知识点】
1. 因数与倍数的定义
2. 公倍数与最小公倍数
3. 3的倍数特征
【点评】
本题综合考查因数、倍数、公倍数及3的倍数特征的基础知识点，题目结合概念理解和简单应用，需要学生熟练掌握相关定义并灵活运用，有助于巩固数论基础内容。
【难度系数】
0.7
2. 选一选。
(1) $a$ 和 $b$ 都是非 0 自然数，$b = 4a$，$a$ 和 $b$ 的最小公倍数是(
A. 4
B. $a$
C. $b$
D. $ab$
(2) 下列说法中错误的是(
A. 两个奇数的最大公因数一定是 1
B. 2 和 3 的公倍数一定是 6 的倍数
C. 两个数的最大公因数一定是这两个数的公因数的倍数
(3) 如果 $a + 3$ 的结果是奇数，那么 $a$ 一定是(
A. 奇数
B. 偶数
C. 质数
D. 合数
(1) $a$ 和 $b$ 都是非 0 自然数，$b = 4a$，$a$ 和 $b$ 的最小公倍数是(
C
)。A. 4
B. $a$
C. $b$
D. $ab$
(2) 下列说法中错误的是(
A
)。A. 两个奇数的最大公因数一定是 1
B. 2 和 3 的公倍数一定是 6 的倍数
C. 两个数的最大公因数一定是这两个数的公因数的倍数
(3) 如果 $a + 3$ 的结果是奇数，那么 $a$ 一定是(
B
)。A. 奇数
B. 偶数
C. 质数
D. 合数
答案
C
A
B
A
B
解析
【分析】
1. 第(1)题：已知$b = 4a$（$a$、$b$为非0自然数），说明$b$是$a$的倍数，根据倍数关系的两个数的最小公倍数规律，最小公倍数是较大数，只需判断$a$和$b$的大小即可确定答案。
2. 第(2)题：逐一分析每个选项，选项A可通过举反例验证正误；选项B根据2和3的最小公倍数推导；选项C依据最大公因数与公因数的关系判断。
3. 第(3)题：根据奇数和偶数的运算性质，奇数+偶数=奇数，已知3是奇数，$a+3$为奇数，可推出$a$的奇偶性。
【解析】
(1) 因为$a$和$b$都是非0自然数，且$b = 4a$，即$b$是$a$的4倍，当两个数为倍数关系时，它们的最小公倍数是较大的数，$b＞a$，所以$a$和$b$的最小公倍数是$b$，选C。
(2) 选项A：例如9和15都是奇数，它们的最大公因数是3，不是1，该说法错误；选项B：2和3的最小公倍数是6，所以它们的公倍数一定是6的倍数，说法正确；选项C：两个数的最大公因数是这两个数所有公因数中最大的那个，因此它一定是其他公因数的倍数，说法正确。所以错误的是A，选A。
(3) 根据奇数和偶数的运算性质：奇数+偶数=奇数。已知3是奇数，$a+3$的结果是奇数，所以$a$一定是偶数，选B。
【答案】
C；A；B
【知识点】
1. 倍数关系求最小公倍数
2. 最大公因数的性质
3. 奇偶性运算规律
【点评】
本题考查数论基础知识点，涵盖倍数关系下的最小公倍数、最大公因数性质及奇偶性运算规律，需学生熟练掌握概念规律，通过举反例、性质推导解题，侧重基础知识的理解与运用。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：已知$b = 4a$（$a$、$b$为非0自然数），说明$b$是$a$的倍数，根据倍数关系的两个数的最小公倍数规律，最小公倍数是较大数，只需判断$a$和$b$的大小即可确定答案。
2. 第(2)题：逐一分析每个选项，选项A可通过举反例验证正误；选项B根据2和3的最小公倍数推导；选项C依据最大公因数与公因数的关系判断。
3. 第(3)题：根据奇数和偶数的运算性质，奇数+偶数=奇数，已知3是奇数，$a+3$为奇数，可推出$a$的奇偶性。
【解析】
(1) 因为$a$和$b$都是非0自然数，且$b = 4a$，即$b$是$a$的4倍，当两个数为倍数关系时，它们的最小公倍数是较大的数，$b＞a$，所以$a$和$b$的最小公倍数是$b$，选C。
(2) 选项A：例如9和15都是奇数，它们的最大公因数是3，不是1，该说法错误；选项B：2和3的最小公倍数是6，所以它们的公倍数一定是6的倍数，说法正确；选项C：两个数的最大公因数是这两个数所有公因数中最大的那个，因此它一定是其他公因数的倍数，说法正确。所以错误的是A，选A。
(3) 根据奇数和偶数的运算性质：奇数+偶数=奇数。已知3是奇数，$a+3$的结果是奇数，所以$a$一定是偶数，选B。
【答案】
C；A；B
【知识点】
1. 倍数关系求最小公倍数
2. 最大公因数的性质
3. 奇偶性运算规律
【点评】
本题考查数论基础知识点，涵盖倍数关系下的最小公倍数、最大公因数性质及奇偶性运算规律，需学生熟练掌握概念规律，通过举反例、性质推导解题，侧重基础知识的理解与运用。
【难度系数】
0.6
3. 在括号里填合适的自然数。
30 = (
24 = (
56 = (
30 = (
2
))×(3
))×(5
))24 = (
4
))×(2
))×(3
))56 = (
4
))×(2
))×(7
))答案
2
3
5
4
2
3
4
2
7
3
5
4
2
3
4
2
7
解析
【分析】
我们需要把30、24、56分别分解为三个自然数的乘积。首先思考每个数的因数，从因数中选取三个数，使它们相乘的结果等于原数。对于30，先想到它的质因数2、3、5，这三个数相乘正好是30；对于24，可选择4、2、3，三者乘积为24；对于56，选择4、2、7，乘积恰好是56，这样就能得到符合要求的自然数组合。
【解析】
1. 分解30：
通过计算验证，$2×3×5=30$，因此30对应的三个自然数为2、3、5；
2. 分解24：
通过计算验证，$4×2×3=24$，因此24对应的三个自然数为4、2、3；
3. 分解56：
通过计算验证，$4×2×7=56$，因此56对应的三个自然数为4、2、7。
【答案】
2、3、5、4、2、3、4、2、7
【知识点】
合数分解、整数乘法组合
【点评】
本题考查学生对合数因数的掌握及整数乘法的应用，需要学生熟悉常见合数的因数搭配，通过简单的乘法运算验证组合的正确性，有助于提升学生的数感与运算能力。
【难度系数】
0.8
我们需要把30、24、56分别分解为三个自然数的乘积。首先思考每个数的因数，从因数中选取三个数，使它们相乘的结果等于原数。对于30，先想到它的质因数2、3、5，这三个数相乘正好是30；对于24，可选择4、2、3，三者乘积为24；对于56，选择4、2、7，乘积恰好是56，这样就能得到符合要求的自然数组合。
【解析】
1. 分解30：
通过计算验证，$2×3×5=30$，因此30对应的三个自然数为2、3、5；
2. 分解24：
通过计算验证，$4×2×3=24$，因此24对应的三个自然数为4、2、3；
3. 分解56：
通过计算验证，$4×2×7=56$，因此56对应的三个自然数为4、2、7。
【答案】
2、3、5、4、2、3、4、2、7
【知识点】
合数分解、整数乘法组合
【点评】
本题考查学生对合数因数的掌握及整数乘法的应用，需要学生熟悉常见合数的因数搭配，通过简单的乘法运算验证组合的正确性，有助于提升学生的数感与运算能力。
【难度系数】
0.8
4. 小军准备把一张长 24 厘米、宽 16 厘米的长方形纸裁成同样大的正方形且没有剩余。这些正方形的边长最大是多少厘米？至少能裁出多少个这样的正方形？
答案
(24,16)=8
(24÷8)×(16÷8)=3×2=6(个)
答:这些正方形的边长最大是8厘米,至少能裁出6个这样的正方形。
(24÷8)×(16÷8)=3×2=6(个)
答:这些正方形的边长最大是8厘米,至少能裁出6个这样的正方形。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分两步思考：
1. 求正方形的最大边长：因为裁出的正方形要同样大且没有剩余，所以正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数，而最大边长就是长和宽的最大公因数。
2. 求至少能裁出的正方形个数：用长方形的长除以正方形的边长，得到每行能裁出的个数；用宽除以边长，得到每列能裁出的个数，两者相乘就是总个数（正方形边长最大时，裁出的个数最少）。
【解析】
1. 求24和16的最大公因数：
通过短除法可得，24和16的公有质因数为2、2、2，因此最大公因数为 $2×2×2=8$，即正方形的边长最大是8厘米。
2. 计算裁出的正方形个数：
长方向能裁出的个数：$24÷8=3$（个）
宽方向能裁出的个数：$16÷8=2$（个）
总个数：$3×2=6$（个）
答：这些正方形的边长最大是8厘米，至少能裁出6个这样的正方形。
【答案】
这些正方形的边长最大是8厘米，至少能裁出6个这样的正方形。
【知识点】
最大公因数的应用、图形裁剪问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际图形裁剪问题中的应用，核心是理解“裁成同样大的正方形且无剩余”的条件等价于正方形边长是长方形长和宽的公因数，最大边长即为最大公因数。解题时需熟练掌握最大公因数的求法，以及利用长、宽与边长的关系计算裁剪个数，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要分两步思考：
1. 求正方形的最大边长：因为裁出的正方形要同样大且没有剩余，所以正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数，而最大边长就是长和宽的最大公因数。
2. 求至少能裁出的正方形个数：用长方形的长除以正方形的边长，得到每行能裁出的个数；用宽除以边长，得到每列能裁出的个数，两者相乘就是总个数（正方形边长最大时，裁出的个数最少）。
【解析】
1. 求24和16的最大公因数：
通过短除法可得，24和16的公有质因数为2、2、2，因此最大公因数为 $2×2×2=8$，即正方形的边长最大是8厘米。
2. 计算裁出的正方形个数：
长方向能裁出的个数：$24÷8=3$（个）
宽方向能裁出的个数：$16÷8=2$（个）
总个数：$3×2=6$（个）
答：这些正方形的边长最大是8厘米，至少能裁出6个这样的正方形。
【答案】
这些正方形的边长最大是8厘米，至少能裁出6个这样的正方形。
【知识点】
最大公因数的应用、图形裁剪问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际图形裁剪问题中的应用，核心是理解“裁成同样大的正方形且无剩余”的条件等价于正方形边长是长方形长和宽的公因数，最大边长即为最大公因数。解题时需熟练掌握最大公因数的求法，以及利用长、宽与边长的关系计算裁剪个数，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
5. 小红打算把 50 颗果冻和 34 颗樱桃分别平均放在几个果盘里，发现果冻剩 2 颗，樱桃还差 2 颗。小红最多准备了几个果盘？打算在每个果盘里放几颗果冻和几颗樱桃？
答案
50-2=48(颗)
34+2=36(颗)
(48,36)=12
48÷12=4(颗)
36÷12=3(颗)
答:小红最多准备了12个果盘,打算在每个果盘里放4颗果冻和3颗樱桃。
34+2=36(颗)
(48,36)=12
48÷12=4(颗)
36÷12=3(颗)
答:小红最多准备了12个果盘,打算在每个果盘里放4颗果冻和3颗樱桃。
解析
【分析】
首先要理清题目中的数量关系：果冻平均分配后剩2颗，说明能刚好平均分的果冻数量是总果冻数减去剩余的2颗；樱桃平均分配时差2颗，说明要刚好平均分需要的樱桃数量是现有樱桃数加上差的2颗。由于果盘数量是固定的，所以果盘的最大数量就是这两个能刚好平均分的数量的最大公因数。确定果盘数后，用各自能平均分的数量除以果盘数，就能得到每个果盘里应放的果冻和樱桃数量。
【解析】
1. 计算可正好平均分的果冻数量：
$50 - 2 = 48$（颗）
2. 计算可正好平均分的樱桃数量：
$34 + 2 = 36$（颗）
3. 求48和36的最大公因数：
通过分解质因数可得，$48=2×2×2×2×3$，$36=2×2×3×3$，二者公有质因数的乘积为$2×2×3=12$，即$(48,36)=12$，所以最多准备12个果盘。
4. 计算每个果盘里的果冻数量：
$48÷12 = 4$（颗）
5. 计算每个果盘里的樱桃数量：
$36÷12 = 3$（颗）
答：小红最多准备了12个果盘，打算在每个果盘里放4颗果冻和3颗樱桃。
【答案】
小红最多准备了12个果盘，打算在每个果盘里放4颗果冻和3颗樱桃。
【知识点】
最大公因数的应用、有余数除法逆运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题核心是将“剩余”“缺少”的条件转化为“正好平均分”的数量关系，再通过求最大公因数确定果盘的最大数量，既考查了对概念的理解，也锻炼了学生的条件转化与实际应用能力。
【难度系数】
0.4
首先要理清题目中的数量关系：果冻平均分配后剩2颗，说明能刚好平均分的果冻数量是总果冻数减去剩余的2颗；樱桃平均分配时差2颗，说明要刚好平均分需要的樱桃数量是现有樱桃数加上差的2颗。由于果盘数量是固定的，所以果盘的最大数量就是这两个能刚好平均分的数量的最大公因数。确定果盘数后，用各自能平均分的数量除以果盘数，就能得到每个果盘里应放的果冻和樱桃数量。
【解析】
1. 计算可正好平均分的果冻数量：
$50 - 2 = 48$（颗）
2. 计算可正好平均分的樱桃数量：
$34 + 2 = 36$（颗）
3. 求48和36的最大公因数：
通过分解质因数可得，$48=2×2×2×2×3$，$36=2×2×3×3$，二者公有质因数的乘积为$2×2×3=12$，即$(48,36)=12$，所以最多准备12个果盘。
4. 计算每个果盘里的果冻数量：
$48÷12 = 4$（颗）
5. 计算每个果盘里的樱桃数量：
$36÷12 = 3$（颗）
答：小红最多准备了12个果盘，打算在每个果盘里放4颗果冻和3颗樱桃。
【答案】
小红最多准备了12个果盘，打算在每个果盘里放4颗果冻和3颗樱桃。
【知识点】
最大公因数的应用、有余数除法逆运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题核心是将“剩余”“缺少”的条件转化为“正好平均分”的数量关系，再通过求最大公因数确定果盘的最大数量，既考查了对概念的理解，也锻炼了学生的条件转化与实际应用能力。
【难度系数】
0.4
6. 甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮如下图所示。若甲轮转 6 圈时，乙轮转 7 圈，丙轮转 2 圈，这三个齿轮最少分别有多少齿？
答案
6,7,2的最小公倍数是42。
甲:42÷6=7(齿)
乙:42÷7=6(齿)
丙:42÷2=21(齿)
答:这三个齿轮最少分别有7齿,6齿,21齿。
甲:42÷6=7(齿)
乙:42÷7=6(齿)
丙:42÷2=21(齿)
答:这三个齿轮最少分别有7齿,6齿,21齿。
解析
【分析】
首先要明确：互相咬合的齿轮在转动时，转过的总齿数是相等的（相邻齿轮咬合时，一个齿轮转过1齿，另一个齿轮也会同步转过1齿）。题目要求三个齿轮最少的齿数，那么转过的总齿数就应该是甲、乙、丙轮转数的最小公倍数。我们先求出6、7、2的最小公倍数，再用这个最小公倍数分别除以每个齿轮的转数，就能得到每个齿轮最少的齿数。
【解析】
1. 求6、7、2的最小公倍数：
因为6是2的倍数，所以只需计算6和7的最小公倍数，6和7互质，最小公倍数为$6×7=42$，即6、7、2的最小公倍数是42。
2. 计算甲齿轮的齿数：
总齿数÷甲轮转数$=42÷6=7$（齿）
3. 计算乙齿轮的齿数：
总齿数÷乙轮转数$=42÷7=6$（齿）
4. 计算丙齿轮的齿数：
总齿数÷丙轮转数$=42÷2=21$（齿）
答：甲齿轮最少有7齿，乙齿轮最少有6齿，丙齿轮最少有21齿。
【答案】
甲：7齿，乙：6齿，丙：21齿
【知识点】
最小公倍数应用、齿轮咬合原理
【点评】
本题考查最小公倍数在实际机械问题中的应用，解题核心是理解互相咬合的齿轮转过的总齿数相等，通过转数的最小公倍数确定最少总齿数，进而求出各齿轮的最少齿数，需要将数学知识与实际机械原理结合思考。
【难度系数】
0.5
首先要明确：互相咬合的齿轮在转动时，转过的总齿数是相等的（相邻齿轮咬合时，一个齿轮转过1齿，另一个齿轮也会同步转过1齿）。题目要求三个齿轮最少的齿数，那么转过的总齿数就应该是甲、乙、丙轮转数的最小公倍数。我们先求出6、7、2的最小公倍数，再用这个最小公倍数分别除以每个齿轮的转数，就能得到每个齿轮最少的齿数。
【解析】
1. 求6、7、2的最小公倍数：
因为6是2的倍数，所以只需计算6和7的最小公倍数，6和7互质，最小公倍数为$6×7=42$，即6、7、2的最小公倍数是42。
2. 计算甲齿轮的齿数：
总齿数÷甲轮转数$=42÷6=7$（齿）
3. 计算乙齿轮的齿数：
总齿数÷乙轮转数$=42÷7=6$（齿）
4. 计算丙齿轮的齿数：
总齿数÷丙轮转数$=42÷2=21$（齿）
答：甲齿轮最少有7齿，乙齿轮最少有6齿，丙齿轮最少有21齿。
【答案】
甲：7齿，乙：6齿，丙：21齿
【知识点】
最小公倍数应用、齿轮咬合原理
【点评】
本题考查最小公倍数在实际机械问题中的应用，解题核心是理解互相咬合的齿轮转过的总齿数相等，通过转数的最小公倍数确定最少总齿数，进而求出各齿轮的最少齿数，需要将数学知识与实际机械原理结合思考。
【难度系数】
0.5
