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1. 下列说法中,正确的是 （
A.弦是直径
B.半圆是弧
C.过圆心的线段是直径
D.圆心相同、半径相同的两个圆是同心圆
B
）A.弦是直径
B.半圆是弧
C.过圆心的线段是直径
D.圆心相同、半径相同的两个圆是同心圆
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查圆的基本概念，需逐一分析每个选项对应的定义，判断说法是否正确。
【解析】
选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，因此直径是特殊的弦，但弦不一定是直径，A错误；
选项B：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点将圆分成的两条弧之一，所以半圆是弧，B正确；
选项C：直径是过圆心且两端都在圆上的线段，仅过圆心的线段若端点不在圆上，则不是直径，C错误；
选项D：同心圆的定义是圆心相同、半径不同的两个圆，半径相同的两个圆是等圆，D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念
【点评】
本题侧重考查圆的基础概念，需准确识记弦、直径、弧、半圆、同心圆的定义，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的基本概念，需逐一分析每个选项对应的定义，判断说法是否正确。
【解析】
选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，因此直径是特殊的弦，但弦不一定是直径，A错误；
选项B：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点将圆分成的两条弧之一，所以半圆是弧，B正确；
选项C：直径是过圆心且两端都在圆上的线段，仅过圆心的线段若端点不在圆上，则不是直径，C错误；
选项D：同心圆的定义是圆心相同、半径不同的两个圆，半径相同的两个圆是等圆，D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念
【点评】
本题侧重考查圆的基础概念，需准确识记弦、直径、弧、半圆、同心圆的定义，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$\odot O$中,直径$MN=20$,正方形$ABCD$的四个顶点分别在半径$OM$,$OP$以及$\odot O$上,并且$∠ POM=45^{ \circ }$,则$AB$的长为（
A.$2\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$5$
D.$5\sqrt{5}$
A
）A.$2\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$5$
D.$5\sqrt{5}$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需结合正方形的性质、圆的半径特征，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理建立方程求解。首先设正方形边长$ AB=x $，根据正方形四边相等得到各边长度；再由$∠ POM=45°$和正方形的直角性质，判断$△ OCD$为等腰直角三角形，得到线段关系；最后利用点$ A $在圆上的条件，结合勾股定理求出$ x $的值，即$ AB $的长。
【解析】
设正方形$ ABCD $的边长$ AB=x $，则$ AB=BC=CD=x $。
因为$∠ POM=45°$，$ CD ⊥ OM $，所以$△ OCD$是等腰直角三角形，因此$ OC=CD=x $。
由点的位置可知，$ OB=BC + OC = x + x = 2x $。
已知$\odot O$的直径$ MN=20 $，故半径$ OA=10 $。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理：$ OA^2 = OB^2 + AB^2 $，代入得：
$ 10^2 = (2x)^2 + x^2 $
化简得：$ 100 = 5x^2 $，解得$ x^2=20 $，即$ x=2\sqrt{5} $（边长为正，舍去负根）。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、圆的半径、勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形、圆的性质，核心是利用等腰直角三角形的线段关系和勾股定理建立方程，理清各线段间的位置关系是解题关键，难度中等。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们需结合正方形的性质、圆的半径特征，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理建立方程求解。首先设正方形边长$ AB=x $，根据正方形四边相等得到各边长度；再由$∠ POM=45°$和正方形的直角性质，判断$△ OCD$为等腰直角三角形，得到线段关系；最后利用点$ A $在圆上的条件，结合勾股定理求出$ x $的值，即$ AB $的长。
【解析】
设正方形$ ABCD $的边长$ AB=x $，则$ AB=BC=CD=x $。
因为$∠ POM=45°$，$ CD ⊥ OM $，所以$△ OCD$是等腰直角三角形，因此$ OC=CD=x $。
由点的位置可知，$ OB=BC + OC = x + x = 2x $。
已知$\odot O$的直径$ MN=20 $，故半径$ OA=10 $。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理：$ OA^2 = OB^2 + AB^2 $，代入得：
$ 10^2 = (2x)^2 + x^2 $
化简得：$ 100 = 5x^2 $，解得$ x^2=20 $，即$ x=2\sqrt{5} $（边长为正，舍去负根）。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、圆的半径、勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形、圆的性质，核心是利用等腰直角三角形的线段关系和勾股定理建立方程，理清各线段间的位置关系是解题关键，难度中等。
【难度系数】
0.4
3. 如图，$AD$ 是以等边三角形 $ABC$ 的一边$AB$ 为半径的四分之一圆周，$P$ 为 $\overset{\frown}{AD}$ 上任意一点. 若 $AC=5$，则四边形 $ACBP$ 周长的最大值是（
A.$15$
B.$15+5\sqrt{2}$
C.$20$
D.$15+5\sqrt{5}$
B
）A.$15$
B.$15+5\sqrt{2}$
C.$20$
D.$15+5\sqrt{5}$
答案
3. B 提示:连接AD.易知△ABD为等腰直角三角形,所以AD=√2 BD.因为△ABC为等边三角形,所以AC=BC=AB=BD=BP=5.当点P与点D重合时,AP的长最大,即AP=AD=√2 BD=5√2.此时四边形ACBP的周长有最大值,最大值为15+5√2.
解析
【分析】
要解决四边形ACBP周长的最大值问题，先明确周长组成：四边形ACBP的周长=AC+CB+BP+PA。由等边三角形性质和圆的半径相等，可简化周长表达式，再找到PA的最大值即可。因为P在四分之一圆周AD上，当P与D重合时，PA最长，结合勾股定理计算AD长度，就能得到周长最大值。
【解析】
1. 已知△ABC是等边三角形，AC=5，根据等边三角形三边相等，得AB=BC=AC=5；
2. AD是以AB为半径的四分之一圆周，因此AB=BD=BP=5，且四分之一圆周对应的圆心角∠ABD=90°；
3. 四边形ACBP的周长=AC + CB + BP + PA=5+5+5+PA=15 + PA，要使周长最大，需PA最大；
4. 当点P与点D重合时，PA=AD，此时PA取得最大值；
5. 在Rt△ABD中，AB=BD=5，∠ABD=90°，由勾股定理得AD=√(AB² + BD²)=√(5²+5²)=5√2；
6. 因此四边形ACBP周长的最大值为15 +5√2。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形性质、圆的半径性质、勾股定理
【点评】
本题结合等边三角形、圆的性质，将周长最大值问题转化为线段最值问题，关键是确定PA最大时点P的位置，再用勾股定理计算，综合性适中，需掌握几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.5
要解决四边形ACBP周长的最大值问题，先明确周长组成：四边形ACBP的周长=AC+CB+BP+PA。由等边三角形性质和圆的半径相等，可简化周长表达式，再找到PA的最大值即可。因为P在四分之一圆周AD上，当P与D重合时，PA最长，结合勾股定理计算AD长度，就能得到周长最大值。
【解析】
1. 已知△ABC是等边三角形，AC=5，根据等边三角形三边相等，得AB=BC=AC=5；
2. AD是以AB为半径的四分之一圆周，因此AB=BD=BP=5，且四分之一圆周对应的圆心角∠ABD=90°；
3. 四边形ACBP的周长=AC + CB + BP + PA=5+5+5+PA=15 + PA，要使周长最大，需PA最大；
4. 当点P与点D重合时，PA=AD，此时PA取得最大值；
5. 在Rt△ABD中，AB=BD=5，∠ABD=90°，由勾股定理得AD=√(AB² + BD²)=√(5²+5²)=5√2；
6. 因此四边形ACBP周长的最大值为15 +5√2。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形性质、圆的半径性质、勾股定理
【点评】
本题结合等边三角形、圆的性质，将周长最大值问题转化为线段最值问题，关键是确定PA最大时点P的位置，再用勾股定理计算，综合性适中，需掌握几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.5
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$∠ A=40^{ \circ }$,以顶点$C$为圆心,$CB$的长为半径作圆交$AB$于点$D$,连接$CD$,则$∠ ACD$的度数为
10°
.答案
4. 10°
解析
【分析】
要解决这个问题，需逐步推导角度：首先利用直角三角形内角和求出∠B的度数；再根据同圆半径相等得到CD=CB，推出△CDB为等腰三角形，求出∠BCD的度数；最后用∠ACB减去∠BCD，即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，根据三角形内角和为180°，得：
∠B = 180° - ∠ACB - ∠A = 180° - 90° - 40° = 50°。
因为以C为圆心、CB长为半径作圆，所以CD=CB（同圆的半径相等），因此△CDB是等腰三角形，故∠CDB=∠B=50°。
在△CDB中，根据三角形内角和，得：
∠BCD = 180° - ∠CDB - ∠B = 180° - 50° - 50° = 80°。
又因为∠ACB=90°，所以∠ACD = ∠ACB - ∠BCD = 90° - 80° = 10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和、等腰三角形性质、圆的半径性质
【点评】
本题结合直角三角形、等腰三角形和圆的基本性质考查角度计算，核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，属于基础几何角度计算问题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需逐步推导角度：首先利用直角三角形内角和求出∠B的度数；再根据同圆半径相等得到CD=CB，推出△CDB为等腰三角形，求出∠BCD的度数；最后用∠ACB减去∠BCD，即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，根据三角形内角和为180°，得：
∠B = 180° - ∠ACB - ∠A = 180° - 90° - 40° = 50°。
因为以C为圆心、CB长为半径作圆，所以CD=CB（同圆的半径相等），因此△CDB是等腰三角形，故∠CDB=∠B=50°。
在△CDB中，根据三角形内角和，得：
∠BCD = 180° - ∠CDB - ∠B = 180° - 50° - 50° = 80°。
又因为∠ACB=90°，所以∠ACD = ∠ACB - ∠BCD = 90° - 80° = 10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和、等腰三角形性质、圆的半径性质
【点评】
本题结合直角三角形、等腰三角形和圆的基本性质考查角度计算，核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，属于基础几何角度计算问题，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.已知$CD=4$,$OD=3$,则$AB$的长是
10
.答案
5. 10
解析
【分析】
要计算直径AB的长度，需先求出圆的半径OC。通过连接OC构造直角三角形ODC，利用已知的OD和CD长度，结合勾股定理算出OC，再根据直径与半径的关系（直径=2×半径），即可求出AB的长度。
【解析】
连接OC，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，OD=3，CD=4，
根据勾股定理：OC² = OD² + CD² = 3² + 4² = 25，
∴ OC = 5（半径为正数），
∵ AB是⊙O的直径，
∴ AB = 2OC = 2×5 = 10。
【答案】
10
【知识点】
圆的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是利用勾股定理结合圆的半径性质求解，属于常规题型，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算直径AB的长度，需先求出圆的半径OC。通过连接OC构造直角三角形ODC，利用已知的OD和CD长度，结合勾股定理算出OC，再根据直径与半径的关系（直径=2×半径），即可求出AB的长度。
【解析】
连接OC，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，OD=3，CD=4，
根据勾股定理：OC² = OD² + CD² = 3² + 4² = 25，
∴ OC = 5（半径为正数），
∵ AB是⊙O的直径，
∴ AB = 2OC = 2×5 = 10。
【答案】
10
【知识点】
圆的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是利用勾股定理结合圆的半径性质求解，属于常规题型，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
6. 如图,$\odot O$的半径$OA$,$OB$分别交弦$CD$于点$E,F$,且$CE=DF$. 求证:$△ OEF$是等腰三角形.
答案
6. 证明:连接OC,OD.因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC.又因为CE=DF,所以△OCE≌△ODF(SAS),所以OE=OF,所以△OEF是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△OEF是等腰三角形，需证明OE=OF。观察图形可知OC、OD都是⊙O的半径，因此OC=OD，可推出∠OCD=∠ODC；结合已知CE=DF，可通过SAS判定△OCE与△ODF全等，进而得到OE=OF，即可证明△OEF为等腰三角形。
【解析】
证明：连接OC、OD。
∵ OC、OD是⊙O的半径，
∴ OC = OD，
∴ ∠OCD = ∠ODC（等边对等角）。
在△OCE和△ODF中，
$\{\begin{array}{l} OC = OD \\ ∠OCE = ∠ODF \\ CE = DF \end{array} $
∴ △OCE ≌ △ODF（SAS），
∴ OE = OF，
∴ △OEF是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）。
【答案】
证明：连接OC,OD.因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC.又因为CE=DF,所以△OCE≌△ODF(SAS),所以OE=OF,所以△OEF是等腰三角形.
【知识点】
圆的半径性质、全等三角形判定、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，利用圆的半径相等构造全等三角形，进而推导线段相等，是几何证明中常用的思路，需熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形的定义。
【难度系数】
0.6
要证明△OEF是等腰三角形，需证明OE=OF。观察图形可知OC、OD都是⊙O的半径，因此OC=OD，可推出∠OCD=∠ODC；结合已知CE=DF，可通过SAS判定△OCE与△ODF全等，进而得到OE=OF，即可证明△OEF为等腰三角形。
【解析】
证明：连接OC、OD。
∵ OC、OD是⊙O的半径，
∴ OC = OD，
∴ ∠OCD = ∠ODC（等边对等角）。
在△OCE和△ODF中，
$\{\begin{array}{l} OC = OD \\ ∠OCE = ∠ODF \\ CE = DF \end{array} $
∴ △OCE ≌ △ODF（SAS），
∴ OE = OF，
∴ △OEF是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）。
【答案】
证明：连接OC,OD.因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC.又因为CE=DF,所以△OCE≌△ODF(SAS),所以OE=OF,所以△OEF是等腰三角形.
【知识点】
圆的半径性质、全等三角形判定、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，利用圆的半径相等构造全等三角形，进而推导线段相等，是几何证明中常用的思路，需熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形的定义。
【难度系数】
0.6
7. 已知$\odot O$的直径$AB=10$,点$C$在$\odot O$上,且$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,$CD=4$. 请画出相应的图形,并求$AD$和$DB$的长.
答案
7. 解:分两种情况:如图1,点D在线段OB上时,连接OC.因为AB=10,所以OA=OB=OC=5.因为CD=4,所以OD=√(OC²-CD²)=√(5²-4²)=3.所以AD=OA+OD=5+3=8,DB=AB-AD=10-8=2.如图2,当点D在线段OA上时,同理可得OD=3.所以AD=OA-OD=5-3=2,DB=OD+OB=3+5=8.
解析
【分析】
本题需分两种情况讨论垂足D的位置：点D在线段OB上或在线段OA上。解题时先连接半径OC，利用圆的直径求出半径长度，再在直角三角形OCD中用勾股定理计算OD的长度，最后根据D的位置，结合线段和差关系求出AD和DB的长。
【解析】
分两种情况：
1. 当点D在线段OB上时（对应图1），连接OC。
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OC=OA=OB=5。
∵CD⊥AB，CD=4，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：
OD=√(OC² - CD²)=√(5² - 4²)=3。
∴AD=OA + OD=5 + 3=8，DB=AB - AD=10 - 8=2。
2. 当点D在线段OA上时（对应图2），连接OC。
同理，OC=5，CD=4，在Rt△OCD中，OD=√(5² - 4²)=3。
∴AD=OA - OD=5 - 3=2，DB=OD + OB=3 + 5=8。
【答案】
AD的长为8，DB的长为2或AD的长为2，DB的长为8；图形如图1、图2所示。
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查圆的性质及勾股定理的应用，核心是分情况讨论D点位置，避免漏解，关键是利用勾股定理求出OD，再结合线段关系计算结果。
【难度系数】
0.5
本题需分两种情况讨论垂足D的位置：点D在线段OB上或在线段OA上。解题时先连接半径OC，利用圆的直径求出半径长度，再在直角三角形OCD中用勾股定理计算OD的长度，最后根据D的位置，结合线段和差关系求出AD和DB的长。
【解析】
分两种情况：
1. 当点D在线段OB上时（对应图1），连接OC。
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OC=OA=OB=5。
∵CD⊥AB，CD=4，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：
OD=√(OC² - CD²)=√(5² - 4²)=3。
∴AD=OA + OD=5 + 3=8，DB=AB - AD=10 - 8=2。
2. 当点D在线段OA上时（对应图2），连接OC。
同理，OC=5，CD=4，在Rt△OCD中，OD=√(5² - 4²)=3。
∴AD=OA - OD=5 - 3=2，DB=OD + OB=3 + 5=8。
【答案】
AD的长为8，DB的长为2或AD的长为2，DB的长为8；图形如图1、图2所示。
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查圆的性质及勾股定理的应用，核心是分情况讨论D点位置，避免漏解，关键是利用勾股定理求出OD，再结合线段关系计算结果。
【难度系数】
0.5
