1. 在平面内,到点$O$的距离为2 cm的点有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

1. D

【分析】
这道题考查平面内点的轨迹相关知识，解题思路是：回忆圆的定义，明确平面内到定点距离等于定长的点的集合是圆，圆上包含无数个点，据此判断满足条件的点的数量，进而选出正确选项。
【解析】
根据圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。本题中，定点是点O，定长为2cm，因此满足“到点O的距离为2cm”的点，都在以O为圆心、2cm为半径的圆上；而圆是由无数个点构成的，所以这样的点有无数个，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆的定义、平面内点的轨迹
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查圆的核心定义，只要牢记圆的形成条件即可快速解答，侧重对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.8

2. 如图 1,若 $BC$ 是$\mathrm{Rt}△ ABC$ 和$\mathrm{Rt}△ DBC$ 的公共斜边,则点 $A,B,C,D$ 在以 $BC$ 为直径的圆上,称它们“四点共圆”. 如图 2,$△ ABC$ 的三条高 $AD,BE,CF$ 相交于点 $H$,则图 2 中“四点共圆”的组数为()


A.2
B.3
C.4
D.6

2. D

【分析】要找出图2中四点共圆的组数，需利用“共斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆”的判定性质。先观察图中由三角形的高形成的多个直角，逐一判断满足共圆条件的四点组合，统计总组数。
【解析】
因为AD、BE、CF是△ABC的三条高，所以：
1. ∠AFH=∠AEH=90°，则A、F、H、E四点共圆；
2. ∠BFH=∠BDH=90°，则B、F、H、D四点共圆；
3. ∠CDH=∠CEH=90°，则C、D、H、E四点共圆；
4. ∠ADB=∠AEB=90°，则A、B、D、E四点共圆；
5. ∠ADC=∠AFC=90°，则A、C、D、F四点共圆；
6. ∠BEC=∠BFC=90°，则B、C、E、F四点共圆；
综上，共6组四点共圆。
【答案】D
【知识点】四点共圆、直角三角形性质
【点评】本题考查四点共圆的判定，核心是利用“共斜边的直角三角形顶点共圆”的性质，需仔细梳理图形中的直角组合，避免漏数。
【难度系数】0.5

3. 将绳子的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着固定住的一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点的距离都等于定长的所有的点组成的图形. 下面是一种画椭圆的方法(如图所示)：

①在地平面上选两个点，钉上两个钉子；
②测量两个钉子间的距离；
③选用大于两钉子间的距离长度的绳子；
④将绳子两端分别系在两个钉子上；
⑤将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方画线；
⑥将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！
根据这个过程请你给椭圆下一个定义：
.

3. 平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫作椭圆

【分析】要推导椭圆的定义，需结合画椭圆的操作过程：两个固定的点（定点）、绳子长度为定长，且该定长大于两定点间的距离；绷直绳子时，笔所在的点到两个定点的距离之和等于绳子的定长，据此可提炼出椭圆的定义。
【解析】从画椭圆的步骤可知，存在两个定点，笔到这两个定点的距离之和始终等于绳子的长度（定长），且这个定长大于两定点之间的距离，因此平面内满足该条件的点的轨迹就是椭圆。
【答案】平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫作椭圆
【知识点】椭圆的定义、平面轨迹
【点评】本题通过实际画图过程考查椭圆的定义，需结合操作中的不变量分析，属于基础概念题，难度适中。
【难度系数】0.5

4. 数学活动:探究平面图形的最小覆盖圆.
【定义】
我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中,能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆.
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段 AB 的覆盖圆有无数个,其中,以 AB为直径的圆是其最小覆盖圆.
理由如下:易知线段 AB 的最小覆盖圆一定经过点 A,B. 如图 1,以 AB 为直径作$\odot O$,再过 A,B 两点作$\odot O'$(点$O'$与点O不重合),连接$O'A,O'B$.
在$△ O'AB$中,有$O'A+O'B＞AB$(▲).因为$O'A=O'B$,所以$2O'A＞AB$,即$\odot O'$的直径大于$\odot O$的直径.所以$\odot O$是线段 AB的最小覆盖圆.“▲”处应填写的推理依据为
.
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆,我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题.这样就可以先确定直角三角形最长边(斜边)的最小覆盖圆,再判断直角顶点与这个圆的位置关系,从而确定直角三角形的最小覆盖圆.
如图 2,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$.$\odot O$是以 AB 为直径的圆. 请你判断点 C 与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
由【探究一】可知,$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$最长边AB 的最小覆盖圆,所以,$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的最小覆盖圆.
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图 3,在矩形 ABCD 中,$AB=1\ \mathrm{cm}$,$BC=$$2\ \mathrm{cm}$.
用圆规和无刻度的直尺在图 3 中作矩形ABCD 的最小覆盖圆(不写作法,保留作图痕迹).

4. 解:【探究一】三角形的任意两边之和大于第三边
【探究二】点 C 在$\odot O$ 上. 因为$∠ ACB=90°$,O 为 AB 的中点,所以$OC=OA=OB$,所以点 C 在$\odot O$ 上.
【拓展应用】如图,$\odot O$ 即为矩形 ABCD 的最小覆盖圆.

【分析】
本题围绕平面图形的最小覆盖圆展开，分三个探究部分。探究一需利用三角形三边关系确定线段最小覆盖圆的推理依据；探究二结合直角三角形性质和圆的定义判断直角顶点与圆的位置关系；拓展应用利用矩形对角线性质确定矩形的最小覆盖圆，核心是理解最小覆盖圆的定义，结合几何定理逐步推导。
【解析】
【探究一】
在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，这是三角形的基本三边关系。对于△O'AB，其三边为O'A、O'B、AB，因此有O'A + O'B ＞ AB，故此处应填写“三角形任意两边之和大于第三边”。
【探究二】
点C在⊙O上。理由如下：
∵∠ACB = 90°，O是AB的中点（⊙O以AB为直径，圆心为AB中点），根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OC = ½AB，又OA = OB = ½AB，因此OC = OA = OB，即点C到圆心O的距离等于⊙O的半径，所以点C在⊙O上。
【拓展应用】
矩形的对角线相等且互相平分，因此矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，最小覆盖圆是以矩形的一条对角线为直径的圆，圆心为对角线的交点。具体作法：连接矩形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，该圆即为矩形ABCD的最小覆盖圆，如图所示。
【答案】
【探究一】三角形任意两边之和大于第三边
【探究二】点C在⊙O上，理由：
∵∠ACB=90°，O为AB中点，
∴OC=OA=OB，
∴点C在⊙O上
【拓展应用】如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆。
【知识点】
三角形三边关系、直角三角形性质、矩形性质、圆的定义
【点评】
本题通过探究线段、直角三角形、矩形的最小覆盖圆，引导学生理解最小覆盖圆的定义，结合几何基本定理推导，考查了学生的探究能力和几何知识的应用能力，是一道综合性的几何探究题。
【难度系数】
0.5