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1. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,半径$OC ⊥ AB$.若点$D$在劣弧$CB$上由点$C$向点$B$运动(不与点$B$,$C$重合),且$DE ⊥ OC$,$DF ⊥ AB$,垂足分别是$E$,$F$,则$EF$的长度 （
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.先变小后变大
C
）A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.先变小后变大
答案
1. C
解析
【分析】要判断EF的长度变化，首先连接OD，根据已知的垂直关系可判定四边形OEDF为矩形，再利用矩形对角线相等的性质，将EF转化为圆的半径OD，而半径长度固定，即可得出EF的长度不变。
【解析】连接OD。
∵ OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴ ∠EOF=∠DEO=∠DFO=90°，
∴ 四边形OEDF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ EF=OD（矩形的对角线相等）。
又
∵ OD是⊙O的半径，长度固定，
∴ 当点D在劣弧CB上运动时，EF的长度不变。
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质、圆的半径
【点评】本题结合圆与矩形的基本性质，通过构造矩形转化线段，判断线段长度不变，属于基础几何题，考查学生对基本图形性质的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】连接OD。
∵ OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴ ∠EOF=∠DEO=∠DFO=90°，
∴ 四边形OEDF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ EF=OD（矩形的对角线相等）。
又
∵ OD是⊙O的半径，长度固定，
∴ 当点D在劣弧CB上运动时，EF的长度不变。
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质、圆的半径
【点评】本题结合圆与矩形的基本性质，通过构造矩形转化线段，判断线段长度不变，属于基础几何题，考查学生对基本图形性质的掌握。
【难度系数】0.6
2. 如图,点 A,B,C 在$\odot O$上,四边形 ABCO是平行四边形. 若$OA=2$,则四边形 ABCO的面积为
2√3
.答案
2. 2√3
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路推导：首先利用圆的半径相等，结合平行四边形对边相等的性质，推出四边形ABCO是菱形；再通过半径相等得到△OAB是等边三角形，进而求出平行四边形的内角，最后用平行四边形面积公式计算面积。
【解析】
1. 连接OB，因为OA、OB、OC都是⊙O的半径，所以OA=OB=OC=2；
2. 已知四边形ABCO是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，得AB=OC，BC=OA；结合OA=OC，可得AB=OA=OB=2，因此△OAB是等边三角形，故∠OAB=60°；
3. 平行四边形ABCO中，AB//OC，所以∠OAB + ∠AOC=180°，代入∠OAB=60°，得∠AOC=120°；
4. 平行四边形面积公式为$ S=ab·\sinθ $（a、b为邻边，θ为邻边夹角），代入OA=OC=2，∠AOC=120°，得$ S=2×2×\sin120°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆的半径性质、平行四边形性质、平行四边形面积计算
【点评】
本题综合考查圆与平行四边形的性质，关键是通过半径相等和平行四边形的性质推导四边形为菱形，进而求出夹角计算面积，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以按以下思路推导：首先利用圆的半径相等，结合平行四边形对边相等的性质，推出四边形ABCO是菱形；再通过半径相等得到△OAB是等边三角形，进而求出平行四边形的内角，最后用平行四边形面积公式计算面积。
【解析】
1. 连接OB，因为OA、OB、OC都是⊙O的半径，所以OA=OB=OC=2；
2. 已知四边形ABCO是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，得AB=OC，BC=OA；结合OA=OC，可得AB=OA=OB=2，因此△OAB是等边三角形，故∠OAB=60°；
3. 平行四边形ABCO中，AB//OC，所以∠OAB + ∠AOC=180°，代入∠OAB=60°，得∠AOC=120°；
4. 平行四边形面积公式为$ S=ab·\sinθ $（a、b为邻边，θ为邻边夹角），代入OA=OC=2，∠AOC=120°，得$ S=2×2×\sin120°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆的半径性质、平行四边形性质、平行四边形面积计算
【点评】
本题综合考查圆与平行四边形的性质，关键是通过半径相等和平行四边形的性质推导四边形为菱形，进而求出夹角计算面积，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
3. 把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,连接$OB$,$OC$,则$∠ BOC$(小于$180^{\circ }$)的度数为
150°
.答案
3. 150°
解析
【分析】要解决该问题，需结合折叠的对称性分析折痕与圆心的关系：圆形纸片折叠两次后，展开的两条折痕互相垂直，且圆心到其中一条折痕的距离为圆半径的一半。连接圆的半径OB，利用直角三角形的性质求出相关角度，进而计算∠BOC的度数。
【解析】设圆的半径为$r$，由折叠的性质可知，圆心$O$到折痕$AB$的距离为$\frac{r}{2}$，且两条折痕互相垂直。在直角三角形中，$OB$为斜边（长度为$r$），圆心到折痕$AB$的距离为直角边（长度为$\frac{r}{2}$），根据直角三角形的性质，直角边为斜边一半时，其对应的角为$30°$，因此$OB$与水平方向的夹角为$60°$。结合两条折痕垂直，可得$∠ BOC = 90° + 60° = 150°$。
【答案】$150°$
【知识点】圆的性质、折叠的性质、直角三角形的性质
【点评】本题通过折叠操作考查圆的角度计算，核心是利用折叠的对称性确定折痕与圆心的距离关系，结合直角三角形的特殊角度求解，需学生理解折叠的几何意义。
【难度系数】0.4
【解析】设圆的半径为$r$，由折叠的性质可知，圆心$O$到折痕$AB$的距离为$\frac{r}{2}$，且两条折痕互相垂直。在直角三角形中，$OB$为斜边（长度为$r$），圆心到折痕$AB$的距离为直角边（长度为$\frac{r}{2}$），根据直角三角形的性质，直角边为斜边一半时，其对应的角为$30°$，因此$OB$与水平方向的夹角为$60°$。结合两条折痕垂直，可得$∠ BOC = 90° + 60° = 150°$。
【答案】$150°$
【知识点】圆的性质、折叠的性质、直角三角形的性质
【点评】本题通过折叠操作考查圆的角度计算，核心是利用折叠的对称性确定折痕与圆心的距离关系，结合直角三角形的特殊角度求解，需学生理解折叠的几何意义。
【难度系数】0.4
4.（2024 盐城市盐都区期中）如图，在矩形$ABCD$中，$AB=12$，$BC=16$，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$上的动点，且$EF=10$，$G$是$EF$的中点，连接$AG$，$CG$，则四边形$AGCD$面积的最小值为
142
.答案
4. 142 提示:如图,连接AC,BG,过点B作BH⊥AC于点H.因为四边形ABCD是矩形,所以∠EBF=90°.因为EF=10,G是EF的中点,所以BG=1/2 EF=1/2×10=5,所以点G在以点B为圆心,5为半径的1/4圆弧上.设该弧与BH交于点G',过点G作GH'⊥AC,易证GH'≥G'H.又因为S△ACG=1/2 AC·GH',所以当点G运动到点G'处时,S△ACG最小,此时四边形AGCD的面积最小,最小值即为四边形AG'CD的面积.因为AB=CD=12,BC=AD=16,所以AC=√(AB²+BC²)=20,S△ACD=1/2 AD·CD=96.由等积法,得BH=(AB·BC)/AC=48/5,所以G'H=BH-BG'=48/5 -5=23/5,所以S△ACG'=1/2 AC·G'H=1/2×20×23/5=46,所以S四边形AG'CD=S△ACD+S△ACG'=96+46=142,即四边形AGCD面积的最小值是142.
解析
【分析】
要解决四边形AGCD面积的最小值问题，需先拆分面积：四边形AGCD的面积=△ACD的面积+△ACG的面积，因此只需最小化△ACG的面积。根据直角三角形斜边中线定理，动点G的轨迹是以B为圆心、5为半径的圆弧，再结合点到直线的距离性质，找到G到AC的最小距离，即可计算最小面积。
【解析】
1. 连接AC、BG：
因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，AB=12，BC=16，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(12²+16²)=20。
2. 确定G的轨迹：
由于∠EBF=90°，G是EF中点，根据直角三角形斜边中线定理，BG=1/2 EF=1/2×10=5，因此点G在以B为圆心、5为半径的圆弧上（矩形内的部分）。
3. 计算B到AC的距离：
△ABC的面积=1/2×AB×BC=1/2×12×16=96，同时△ABC的面积=1/2×AC×BH（BH为B到AC的距离），故BH=(2×96)/20=48/5。
4. 求△ACG的最小面积：
当G到AC的距离最小时，△ACG面积最小。G在以B为圆心的圆上，故G到AC的最小距离为BH - BG=48/5 -5=23/5，此时S△ACG最小=1/2×AC×(23/5)=1/2×20×23/5=46。
5. 计算四边形AGCD的最小面积：
△ACD的面积=1/2×AD×CD=1/2×16×12=96，因此S四边形AGCD最小=96+46=142。
【答案】
142
【知识点】
矩形性质、直角三角形斜边中线、几何最值
【点评】
本题是动态几何最值问题，核心是利用直角三角形斜边中线确定动点轨迹，转化为点到直线的距离最小，结合面积法求解，考查轨迹思想与几何知识的综合应用，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
要解决四边形AGCD面积的最小值问题，需先拆分面积：四边形AGCD的面积=△ACD的面积+△ACG的面积，因此只需最小化△ACG的面积。根据直角三角形斜边中线定理，动点G的轨迹是以B为圆心、5为半径的圆弧，再结合点到直线的距离性质，找到G到AC的最小距离，即可计算最小面积。
【解析】
1. 连接AC、BG：
因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，AB=12，BC=16，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(12²+16²)=20。
2. 确定G的轨迹：
由于∠EBF=90°，G是EF中点，根据直角三角形斜边中线定理，BG=1/2 EF=1/2×10=5，因此点G在以B为圆心、5为半径的圆弧上（矩形内的部分）。
3. 计算B到AC的距离：
△ABC的面积=1/2×AB×BC=1/2×12×16=96，同时△ABC的面积=1/2×AC×BH（BH为B到AC的距离），故BH=(2×96)/20=48/5。
4. 求△ACG的最小面积：
当G到AC的距离最小时，△ACG面积最小。G在以B为圆心的圆上，故G到AC的最小距离为BH - BG=48/5 -5=23/5，此时S△ACG最小=1/2×AC×(23/5)=1/2×20×23/5=46。
5. 计算四边形AGCD的最小面积：
△ACD的面积=1/2×AD×CD=1/2×16×12=96，因此S四边形AGCD最小=96+46=142。
【答案】
142
【知识点】
矩形性质、直角三角形斜边中线、几何最值
【点评】
本题是动态几何最值问题，核心是利用直角三角形斜边中线确定动点轨迹，转化为点到直线的距离最小，结合面积法求解，考查轨迹思想与几何知识的综合应用，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
5. 如图，$AB$ 和 $OC$ 分别是 $\odot O$ 的直径和半径，$∠ BOC=60°$，$P$ 是直径 $AB$ 上的一个动点，射线 $CP$ 与 $\odot O$ 相交于点 $Q$，连接$OQ$. 若 $△ POQ$ 是等腰三角形，则 $∠ CPB$的度数为
40°或80°或100°
.答案
5. 40°或80°或100° 提示:①当OP=PQ且点P在OB上时,如图1,由条件可设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=α,因为∠BOC=60°,所以3α+60°=180°,解得α=40°,所以∠CPB=α+60°=100°;当OP=PQ且点P在OA上时,如图2,由条件可设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=α,因为∠BOC=60°,所以∠AOC=180°-∠BOC=120°,所以3α+120°=180°,解得α=20°,所以∠CPB=∠POQ+∠OQP=2α=40°.②当OQ=PQ时,如图3.因为OC=OQ,所以可设∠OCQ=∠OQC=α.因为OQ=PQ,所以可设∠QOP=∠OPQ=β.因为∠BOC=60°,所以根据三角形内角和定理可得{α+2β=180°,2α+β+60°=180°,解得{α=20°,β=80°.所以∠CPB=∠OPQ=β=80°.③当OP=OQ时,点P在⊙O上,即点P与点A或点B重合,所以此时点P与点Q重合,三角形不存在.综上所述,∠CPB的度数为40°或80°或100°.
解析
【分析】
要解决本题，需分情况讨论△POQ为等腰三角形的三种情形（OP=PQ、OQ=PQ、OP=OQ），结合圆的半径相等性质、三角形内角和定理、外角定理计算∠CPB的度数，同时排除不存在的情况。
【解析】
已知OC、OQ都是⊙O的半径，故OC=OQ，△OCQ为等腰三角形，设∠OCQ=∠OQC=α；AB为直径，∠BOC=60°，则∠AOC=180°-60°=120°。分情况讨论：
1. 当OP=PQ时：
若点P在OB上：设∠POQ=α，因OP=PQ，故∠PQO=∠POQ=α，此时∠COQ=∠BOC+∠POQ=60°+α。在△OCQ中，内角和为180°，则α+α+(60°+α)=180°，解得α=40°。∠CPB是△CPO的外角，故∠CPB=∠OCQ+∠BOC=40°+60°=100°。
若点P在OA上：设∠POQ=α，因OP=PQ，故∠PQO=∠POQ=α，此时∠COQ=∠AOC-∠POQ=120°-α。在△OCQ中，内角和为180°，则α+α+(120°-α)=180°，解得α=20°。∠CPB是△OPQ的外角，故∠CPB=∠POQ+∠PQO=20°+20°=40°。
2. 当OQ=PQ时：设∠QOP=∠OPQ=β，因OQ=PQ，故∠QOP=∠OPQ=β；又OC=OQ，故∠OCQ=∠OQC=α。在△OCQ中，∠COQ=∠BOC+∠QOP=60°+β，内角和为180°，得2α+β+60°=180°；在△OPQ中，内角和为180°，得α+2β=180°。联立方程解得β=80°，故∠CPB=∠OPQ=β=80°。
3. 当OP=OQ时：点P在⊙O上，与点A或B重合，此时Q与P重合，△POQ不存在，排除该情况。
综上，∠CPB的度数为40°或80°或100°。
【答案】
40°或80°或100°
【知识点】
圆的性质、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题需分多种情况讨论等腰三角形的边相等关系，结合圆的半径相等的性质，利用三角形内角和与外角定理求解，考查学生的分类讨论能力和几何推理能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分情况讨论△POQ为等腰三角形的三种情形（OP=PQ、OQ=PQ、OP=OQ），结合圆的半径相等性质、三角形内角和定理、外角定理计算∠CPB的度数，同时排除不存在的情况。
【解析】
已知OC、OQ都是⊙O的半径，故OC=OQ，△OCQ为等腰三角形，设∠OCQ=∠OQC=α；AB为直径，∠BOC=60°，则∠AOC=180°-60°=120°。分情况讨论：
1. 当OP=PQ时：
若点P在OB上：设∠POQ=α，因OP=PQ，故∠PQO=∠POQ=α，此时∠COQ=∠BOC+∠POQ=60°+α。在△OCQ中，内角和为180°，则α+α+(60°+α)=180°，解得α=40°。∠CPB是△CPO的外角，故∠CPB=∠OCQ+∠BOC=40°+60°=100°。
若点P在OA上：设∠POQ=α，因OP=PQ，故∠PQO=∠POQ=α，此时∠COQ=∠AOC-∠POQ=120°-α。在△OCQ中，内角和为180°，则α+α+(120°-α)=180°，解得α=20°。∠CPB是△OPQ的外角，故∠CPB=∠POQ+∠PQO=20°+20°=40°。
2. 当OQ=PQ时：设∠QOP=∠OPQ=β，因OQ=PQ，故∠QOP=∠OPQ=β；又OC=OQ，故∠OCQ=∠OQC=α。在△OCQ中，∠COQ=∠BOC+∠QOP=60°+β，内角和为180°，得2α+β+60°=180°；在△OPQ中，内角和为180°，得α+2β=180°。联立方程解得β=80°，故∠CPB=∠OPQ=β=80°。
3. 当OP=OQ时：点P在⊙O上，与点A或B重合，此时Q与P重合，△POQ不存在，排除该情况。
综上，∠CPB的度数为40°或80°或100°。
【答案】
40°或80°或100°
【知识点】
圆的性质、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题需分多种情况讨论等腰三角形的边相等关系，结合圆的半径相等的性质，利用三角形内角和与外角定理求解，考查学生的分类讨论能力和几何推理能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
6. 如图,直线 $y=\dfrac{3}{4}x+3$ 与坐标轴交于 $A,B$ 两点,已知$\odot O$ 的半径为 2. 若 $P$ 是$\odot O$ 上的一个动点, 则 $△ ABP$ 的面积的最大值为
11
.答案
6. 11 提示:根据题意,易知点A(-4,0),B(0,3),所以OA=4,OB=3.在Rt△AOB中,根据勾股定理,得AB=√(OA²+OB²)=5.因为在△ABP中,AB的长是定值,所以要使△ABP的面积最大,则P为⊙O上到AB的距离最大的一点.过点O作OC⊥AB于点C,延长CO交⊙O于点P,此时△ABP的面积最大.因为S△AOB=1/2 OA·OB=1/2 AB·OC,所以OC=12/5.因为⊙O的半径为2,所以CP=OC+OP=22/5.所以△ABP的面积的最大值为1/2 AB·CP=1/2×5×22/5=11.
解析
【分析】要解决△ABP面积的最大值问题，核心思路是：AB为定值，根据三角形面积公式，面积最大等价于P到直线AB的距离最大。需先确定A、B坐标，计算AB长度，再求圆心O到AB的距离，进而得到圆上点到AB的最大距离，最终计算最大面积。
【解析】
1. 求直线与坐标轴交点：
对于直线$y=\dfrac{3}{4}x+3$，令$y=0$，解得$x=-4$，得$A(-4,0)$；令$x=0$，得$y=3$，得$B(0,3)$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，$OA=4$，$OB=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
3. 求圆心O到直线AB的距离：
$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×4×3=6$，又$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}AB· OC$（OC为O到AB的距离），代入得$\dfrac{1}{2}×5× OC=6$，解得$OC=\dfrac{12}{5}$。
4. 确定P到AB的最大距离：
圆上点到AB的最大距离为圆心到AB的距离加半径，即$OC + OP=\dfrac{12}{5}+2=\dfrac{22}{5}$（OP为⊙O半径，$OP=2$）。
5. 计算△ABP的最大面积：
$S_{△ ABP最大}=\dfrac{1}{2}× AB× 最大距离=\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{22}{5}=11$。
【答案】11
【知识点】点到直线的距离、圆的性质、三角形面积
【点评】本题结合一次函数与圆的性质，利用“三角形一边为定值时，面积最大等价于该边上的高最大”的思路，关键是找到圆上到直线距离最大的点，属于几何综合题，需掌握点到直线距离的计算方法。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 求直线与坐标轴交点：
对于直线$y=\dfrac{3}{4}x+3$，令$y=0$，解得$x=-4$，得$A(-4,0)$；令$x=0$，得$y=3$，得$B(0,3)$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，$OA=4$，$OB=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
3. 求圆心O到直线AB的距离：
$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×4×3=6$，又$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}AB· OC$（OC为O到AB的距离），代入得$\dfrac{1}{2}×5× OC=6$，解得$OC=\dfrac{12}{5}$。
4. 确定P到AB的最大距离：
圆上点到AB的最大距离为圆心到AB的距离加半径，即$OC + OP=\dfrac{12}{5}+2=\dfrac{22}{5}$（OP为⊙O半径，$OP=2$）。
5. 计算△ABP的最大面积：
$S_{△ ABP最大}=\dfrac{1}{2}× AB× 最大距离=\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{22}{5}=11$。
【答案】11
【知识点】点到直线的距离、圆的性质、三角形面积
【点评】本题结合一次函数与圆的性质，利用“三角形一边为定值时，面积最大等价于该边上的高最大”的思路，关键是找到圆上到直线距离最大的点，属于几何综合题，需掌握点到直线距离的计算方法。
【难度系数】0.5
7. 如图, CD 是$\odot O$的直径, BE 是$\odot O$的弦,
DC,EB 所在直线相交于点 A,$AB=OC$.
(1) 如图 1,当点 B 在线段 AE 上时,求$∠ DOE$与$∠ A$之间的关系.
(2) 如图 2,当点 E 在线段 AB 上时,试判断(1)中的结论是否成立,并说明理由.
DC,EB 所在直线相交于点 A,$AB=OC$.
(1) 如图 1,当点 B 在线段 AE 上时,求$∠ DOE$与$∠ A$之间的关系.
(2) 如图 2,当点 E 在线段 AB 上时,试判断(1)中的结论是否成立,并说明理由.
答案
7. 解:(1)连接OB,则OB=OC.因为AB=OC,所以OB=AB,所以∠AOB=∠A.因为OE=OB,所以∠OBE=∠E.因为∠OBE=∠AOB+∠A=2∠A,所以∠E=2∠A,所以∠DOE=∠E+∠A=3∠A.
(2)成立.理由如下:
连接OB,则OB=OC.因为AB=OC,所以OB=AB,所以∠AOB=∠A,所以∠B=180°-2∠A.因为OB=OE,所以∠B=∠OEB,所以∠BOE=180°-2∠B=180°-2(180°-2∠A)=4∠A-180°,所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=180°-∠AOB+∠BOE=180°-∠A+4∠A-180°=3∠A.
(2)成立.理由如下:
连接OB,则OB=OC.因为AB=OC,所以OB=AB,所以∠AOB=∠A,所以∠B=180°-2∠A.因为OB=OE,所以∠B=∠OEB,所以∠BOE=180°-2∠B=180°-2(180°-2∠A)=4∠A-180°,所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=180°-∠AOB+∠BOE=180°-∠A+4∠A-180°=3∠A.
解析
【分析】
本题是圆中角度关系的探究题，核心思路是通过连接辅助线OB，利用圆的半径相等（OB=OC=OE）结合已知AB=OC，得到等腰三角形，再借助等腰三角形的性质、三角形外角或内角和定理，分两种情况推导∠DOE与∠A的关系。
【解析】
(1) 连接OB，
∵ CD是⊙O的直径，OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
又
∵ AB=OC，
∴ OB=AB，
∴ △ABO为等腰三角形，∠AOB=∠A，
∵ OE、OB都是⊙O的半径，
∴ OE=OB，
∴ △OBE为等腰三角形，∠OBE=∠E，
∵ ∠OBE是△ABO的外角，
∴ ∠OBE=∠AOB+∠A=∠A+∠A=2∠A，
∴ ∠E=2∠A，
∵ ∠DOE是△AOE的外角，
∴ ∠DOE=∠E+∠A=2∠A+∠A=3∠A；
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
连接OB，
∵ OB=OC，AB=OC，
∴ OB=AB，
∴ ∠AOB=∠A，
在△ABO中，∠B=180°-∠AOB-∠A=180°-2∠A，
∵ OB=OE，
∴ △OBE为等腰三角形，∠OEB=∠B=180°-2∠A，
在△OBE中，∠BOE=180°-∠OEB-∠B=180°-2(180°-2∠A)=4∠A-180°，
∵ ∠AOB=∠A，∠AOB+∠BOD=180°（平角定义），
∴ ∠BOD=180°-∠AOB=180°-∠A，
∴ ∠DOE=∠BOD+∠BOE=(180°-∠A)+(4∠A-180°)=3∠A，
故结论成立。
【答案】
(1) ∠DOE=3∠A；(2) 结论成立，理由见解析。
【知识点】
圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形内角与外角关系
【点评】
本题通过构造辅助线将已知条件转化为等腰三角形，利用圆的半径相等和三角形角度关系推导结论，分情况讨论考查分类思想，是圆中角度推导的典型题型，需掌握辅助线构造方法。
【难度系数】
0.5
本题是圆中角度关系的探究题，核心思路是通过连接辅助线OB，利用圆的半径相等（OB=OC=OE）结合已知AB=OC，得到等腰三角形，再借助等腰三角形的性质、三角形外角或内角和定理，分两种情况推导∠DOE与∠A的关系。
【解析】
(1) 连接OB，
∵ CD是⊙O的直径，OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
又
∵ AB=OC，
∴ OB=AB，
∴ △ABO为等腰三角形，∠AOB=∠A，
∵ OE、OB都是⊙O的半径，
∴ OE=OB，
∴ △OBE为等腰三角形，∠OBE=∠E，
∵ ∠OBE是△ABO的外角，
∴ ∠OBE=∠AOB+∠A=∠A+∠A=2∠A，
∴ ∠E=2∠A，
∵ ∠DOE是△AOE的外角，
∴ ∠DOE=∠E+∠A=2∠A+∠A=3∠A；
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
连接OB，
∵ OB=OC，AB=OC，
∴ OB=AB，
∴ ∠AOB=∠A，
在△ABO中，∠B=180°-∠AOB-∠A=180°-2∠A，
∵ OB=OE，
∴ △OBE为等腰三角形，∠OEB=∠B=180°-2∠A，
在△OBE中，∠BOE=180°-∠OEB-∠B=180°-2(180°-2∠A)=4∠A-180°，
∵ ∠AOB=∠A，∠AOB+∠BOD=180°（平角定义），
∴ ∠BOD=180°-∠AOB=180°-∠A，
∴ ∠DOE=∠BOD+∠BOE=(180°-∠A)+(4∠A-180°)=3∠A，
故结论成立。
【答案】
(1) ∠DOE=3∠A；(2) 结论成立，理由见解析。
【知识点】
圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形内角与外角关系
【点评】
本题通过构造辅助线将已知条件转化为等腰三角形，利用圆的半径相等和三角形角度关系推导结论，分情况讨论考查分类思想，是圆中角度推导的典型题型，需掌握辅助线构造方法。
【难度系数】
0.5
