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1. 阅读苏科版数学七年级上册教材第 93 页的《一元多项式的恒等关系》，解决下列问题.
已知一元多项式 $3x^{2}+mx-5$ 与 $nx^{2}-4x+k$ 恒等.
(1)求 $m$、$n$、$k$ 的值.
(2)若 $x=-2$,求 $3x^{2}+mx-5$ 的值.
已知一元多项式 $3x^{2}+mx-5$ 与 $nx^{2}-4x+k$ 恒等.
(1)求 $m$、$n$、$k$ 的值.
(2)若 $x=-2$,求 $3x^{2}+mx-5$ 的值.
答案
(1)$n=3,m=-4,k=-5$.
(2)将 $m=-4$ 代入 $3x^{2}+mx-5$,得 $3x^{2}-4x-5$.当 $x=-2$ 时,原式$=3×(-2)^{2}-4×(-2)-5=15$.
(2)将 $m=-4$ 代入 $3x^{2}+mx-5$,得 $3x^{2}-4x-5$.当 $x=-2$ 时,原式$=3×(-2)^{2}-4×(-2)-5=15$.
2. 阅读苏科版数学七年级上册教材第 97 页的《归纳》,解决下列问题.
在一个会议室内,有若干人参加会议.每两个人之间都要握一次手,若一共有 $ n $ 个人参加会议.
(1) 当 $ n=2 $ 时,握手次数是多少? 当 $ n=3 $ 时,握手次数是多少? 当 $ n=4 $ 时,握手次数是多少?
(2) 请用归纳的方法探索 $ n $ 个人的握手总次数,并写出表达式.
(3) 若这次会议一共有 10 个人参加,则一共握手多少次?
在一个会议室内,有若干人参加会议.每两个人之间都要握一次手,若一共有 $ n $ 个人参加会议.
(1) 当 $ n=2 $ 时,握手次数是多少? 当 $ n=3 $ 时,握手次数是多少? 当 $ n=4 $ 时,握手次数是多少?
(2) 请用归纳的方法探索 $ n $ 个人的握手总次数,并写出表达式.
(3) 若这次会议一共有 10 个人参加,则一共握手多少次?
答案
(1)当 $n=2$ 时,只有 1 对人,所以握手次数是 1 次;当 $n=3$ 时,设这三个人为 A、B、C,握手情况有 AB、AC、BC,共 $2+1=3$(次);当 $n=4$ 时,设这四个人为 A、B、C、D,握手情况有 AB、AC、AD、BC、BD、CD,共 $3+2+1=6$(次).
(2)通过观察(1)中的情况:当有 2 个人时,握手次数为 $1=1$;当有 3 个人时,握手次数为 $2+1=3$;当有 4 个人时,握手次数为 $3+2+1=6$;……;以此类推,当有 $n$ 个人时,握手总次数为 $1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$(次).
(3)当 $n=10$ 时,$\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{10×(10-1)}{2}=45$(次).答:若有 10 个人参加会议,则一共握手 45 次.
(2)通过观察(1)中的情况:当有 2 个人时,握手次数为 $1=1$;当有 3 个人时,握手次数为 $2+1=3$;当有 4 个人时,握手次数为 $3+2+1=6$;……;以此类推,当有 $n$ 个人时,握手总次数为 $1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$(次).
(3)当 $n=10$ 时,$\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{10×(10-1)}{2}=45$(次).答:若有 10 个人参加会议,则一共握手 45 次.
