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二、填空题
1. 一次函数$y=kx+b$（$k,b$是常数，$k≠0$），当自变量$x$的取值为$1≤x≤5$时，对应的函数值的范围为$-2≤y≤2$，则此一次函数的解析式为________.
1. 一次函数$y=kx+b$（$k,b$是常数，$k≠0$），当自变量$x$的取值为$1≤x≤5$时，对应的函数值的范围为$-2≤y≤2$，则此一次函数的解析式为________.
答案
1. $y=x-3$ 或 $y=-x+3$
解析
【分析】
一次函数的增减性由k的符号决定，k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小。题目未给出k的正负，因此需要分两种情况讨论：①k＞0时，x取最小值时y取最小值，x取最大值时y取最大值；②k＜0时，x取最小值时y取最大值，x取最大值时y取最小值。分别将两组x、y的对应值代入解析式，解二元一次方程组求出k、b的值即可得到函数解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
（1）当$k＞0$时，y随x的增大而增大，因此$x=1$时$y=-2$，$x=5$时$y=2$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=-2\\5k+b=2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$4k=4$，解得$k=1$，将$k=1$代入$k+b=-2$得$b=-3$，此时解析式为$y=x-3$；
（2）当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此$x=1$时$y=2$，$x=5$时$y=-2$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=2\\5k+b=-2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$4k=-4$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=2$得$b=3$，此时解析式为$y=-x+3$。
综上，该一次函数的解析式为$y=x-3$或$y=-x+3$。
【答案】
$y=x-3$ 或 $y=-x+3$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略k的符号不确定，漏算其中一种情况。解题时要牢记一次函数增减性与k的符号的对应关系，分情况讨论后代入端点值求解，得到结果后可验证是否符合对应情况下的增减性。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由k的符号决定，k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小。题目未给出k的正负，因此需要分两种情况讨论：①k＞0时，x取最小值时y取最小值，x取最大值时y取最大值；②k＜0时，x取最小值时y取最大值，x取最大值时y取最小值。分别将两组x、y的对应值代入解析式，解二元一次方程组求出k、b的值即可得到函数解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
（1）当$k＞0$时，y随x的增大而增大，因此$x=1$时$y=-2$，$x=5$时$y=2$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=-2\\5k+b=2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$4k=4$，解得$k=1$，将$k=1$代入$k+b=-2$得$b=-3$，此时解析式为$y=x-3$；
（2）当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此$x=1$时$y=2$，$x=5$时$y=-2$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=2\\5k+b=-2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$4k=-4$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=2$得$b=3$，此时解析式为$y=-x+3$。
综上，该一次函数的解析式为$y=x-3$或$y=-x+3$。
【答案】
$y=x-3$ 或 $y=-x+3$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略k的符号不确定，漏算其中一种情况。解题时要牢记一次函数增减性与k的符号的对应关系，分情况讨论后代入端点值求解，得到结果后可验证是否符合对应情况下的增减性。
【难度系数】
0.6
2. 若关于x的一次函数$y=mx+2m-7$在$-1≤ x≤5$上的函数值总是正数，则m的取值范围是________.
答案
2. $m＞7$
解析
【分析】
一次函数的图象是直线，具有单调递增或单调递减的性质，因此在闭区间$[-1,5]$上，函数的最小值一定出现在区间的两个端点处。要让区间内所有$x$对应的函数值都为正数，只需保证两个端点处的函数值都大于0即可，解题时需对一次项系数$m$的正负分类讨论，排除无解的情况就能得到$m$的取值范围。
【解析】
已知$y=mx+2m-7$是关于$x$的一次函数，因此$m\ne0$，分情况讨论：
1. 当$m＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，在$-1\le x\le5$范围内，$x=-1$时函数取最小值：
将$x=-1$代入函数得：$y=-m+2m-7=m-7$，要求函数值总为正，即$m-7＞0$，解得$m＞7$。
此时验证$x=5$时的函数值：$y=5m+2m-7=7m-7$，当$m＞7$时，$7m-7＞42＞0$，满足要求。
2. 当$m＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，在$-1\le x\le5$范围内，$x=5$时函数取最小值：
将$x=5$代入函数得：$y=7m-7$，要求函数值总为正，即$7m-7＞0$，解得$m＞1$，与$m＜0$矛盾，此情况无解。
3. 当$m=0$时，函数为$y=-7$，函数值恒为负，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m＞7$。
【答案】
$m＞7$
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式；恒成立问题
【点评】
本题解题核心是利用一次函数的单调性判断最值的取值位置，通过端点函数值列不等式求解，解题时需注意对一次项系数的正负分类讨论，避免忽略单调性对最值位置的影响导致错解。
【难度系数】
0.65
一次函数的图象是直线，具有单调递增或单调递减的性质，因此在闭区间$[-1,5]$上，函数的最小值一定出现在区间的两个端点处。要让区间内所有$x$对应的函数值都为正数，只需保证两个端点处的函数值都大于0即可，解题时需对一次项系数$m$的正负分类讨论，排除无解的情况就能得到$m$的取值范围。
【解析】
已知$y=mx+2m-7$是关于$x$的一次函数，因此$m\ne0$，分情况讨论：
1. 当$m＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，在$-1\le x\le5$范围内，$x=-1$时函数取最小值：
将$x=-1$代入函数得：$y=-m+2m-7=m-7$，要求函数值总为正，即$m-7＞0$，解得$m＞7$。
此时验证$x=5$时的函数值：$y=5m+2m-7=7m-7$，当$m＞7$时，$7m-7＞42＞0$，满足要求。
2. 当$m＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，在$-1\le x\le5$范围内，$x=5$时函数取最小值：
将$x=5$代入函数得：$y=7m-7$，要求函数值总为正，即$7m-7＞0$，解得$m＞1$，与$m＜0$矛盾，此情况无解。
3. 当$m=0$时，函数为$y=-7$，函数值恒为负，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m＞7$。
【答案】
$m＞7$
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式；恒成立问题
【点评】
本题解题核心是利用一次函数的单调性判断最值的取值位置，通过端点函数值列不等式求解，解题时需注意对一次项系数的正负分类讨论，避免忽略单调性对最值位置的影响导致错解。
【难度系数】
0.65
3. [2025·苏州]过A,B两点画一次函数$y=-x+2$的图象,已知点A的坐标为$(0,2)$,则点B的坐标可以为________(填一个符合要求的点的坐标即可).
答案
3. $(1,1)$(答案不唯一)
解析
【分析】
要找一次函数$y=-x+2$图象上除点$A(0,2)$外的点$B$，需明确核心规律：一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数的解析式。解题时可先任意选取一个不为0的$x$值，代入解析式计算出对应的$y$值，所得的数对$(x,y)$就是符合要求的点$B$的坐标。
【解析】
∵一次函数图象上的点的坐标都满足对应的函数解析式，
我们任意选取$x=1$（$x$不取0即可），将$x=1$代入$y=-x+2$，
得$y=-1+2=1$，
∴点$(1,1)$在一次函数$y=-x+2$的图象上，可作为点$B$的坐标。
注：也可选取其他$x$值，如$x=2$时$y=0$，即$(2,0)$也符合要求，答案不唯一。
【答案】
$(1,1)$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数图象和解析式的对应关系，题目灵活度较高，只要掌握函数图象上的点满足对应解析式的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要找一次函数$y=-x+2$图象上除点$A(0,2)$外的点$B$，需明确核心规律：一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数的解析式。解题时可先任意选取一个不为0的$x$值，代入解析式计算出对应的$y$值，所得的数对$(x,y)$就是符合要求的点$B$的坐标。
【解析】
∵一次函数图象上的点的坐标都满足对应的函数解析式，
我们任意选取$x=1$（$x$不取0即可），将$x=1$代入$y=-x+2$，
得$y=-1+2=1$，
∴点$(1,1)$在一次函数$y=-x+2$的图象上，可作为点$B$的坐标。
注：也可选取其他$x$值，如$x=2$时$y=0$，即$(2,0)$也符合要求，答案不唯一。
【答案】
$(1,1)$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数图象和解析式的对应关系，题目灵活度较高，只要掌握函数图象上的点满足对应解析式的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
三、解答题
[2023·洛阳三模]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图所示,解答下列问题.
(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数解析式.
(2)当入园次数为12次时选择哪种卡消费比较合算?
[2023·洛阳三模]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图所示,解答下列问题.
(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数解析式.
(2)当入园次数为12次时选择哪种卡消费比较合算?
答案
解:(1) 设$y_甲=k_1x$,根据题意得$5k_1=150$,
解得$k_1=30$,
$\therefore y_甲=30x$.
设$y_乙=k_2x+150$,
根据题意得$20k_2+150=550$,
解得$k_2=20$,
$\therefore y_乙=20x+150$.
(2) ①$y_甲＜y_乙$,即$30x＜20x+150$,解得$x＜15$,当入园次数小于15次时,选择甲消费卡比较合算;
②$y_甲=y_乙$,即$30x=20x+150$,解得$x=15$,当入园次数等于15次时,选择两种消费卡费用一样;
③$y_甲＞y_乙$,即$30x＞20x+150$,解得$x＞15$,当入园次数大于15次时,选择乙消费卡比较合算.
所以,当入园次数为12次时,选择甲消费卡比较合算.
解得$k_1=30$,
$\therefore y_甲=30x$.
设$y_乙=k_2x+150$,
根据题意得$20k_2+150=550$,
解得$k_2=20$,
$\therefore y_乙=20x+150$.
(2) ①$y_甲＜y_乙$,即$30x＜20x+150$,解得$x＜15$,当入园次数小于15次时,选择甲消费卡比较合算;
②$y_甲=y_乙$,即$30x=20x+150$,解得$x=15$,当入园次数等于15次时,选择两种消费卡费用一样;
③$y_甲＞y_乙$,即$30x＞20x+150$,解得$x＞15$,当入园次数大于15次时,选择乙消费卡比较合算.
所以,当入园次数为12次时,选择甲消费卡比较合算.
解析
【分析】
解题可分两步思考：1. 求函数解析式：观察图像可知甲的函数是过原点的正比例函数，设为$y=k_1x$，代入图像上已知点$(5,150)$即可求出系数；乙的函数是过$(0,150)$的一次函数，设为$y=k_2x+b$，先由截距得$b=150$，再代入点$(20,550)$即可求出系数。2. 判断12次的合算方案：可直接将$x=12$代入两个解析式计算费用比较，也可先求出两种卡费用相等时的入园次数，判断12所属的区间得出结论。
【解析】
(1) 求两种卡的函数解析式：
① 设甲消费卡的费用函数为$y_甲=k_1x$（$k_1≠0$），由图像得$x=5$时$y_甲=150$，代入得：
$5k_1=150$，解得$k_1=30$，
$\therefore y_甲=30x$（$x≥0$且x为整数）。
② 设乙消费卡的费用函数为$y_乙=k_2x+b$（$k_2≠0$），由图像知函数过$(0,150)$，得$b=150$，即$y_乙=k_2x+150$，代入点$(20,550)$得：
$20k_2+150=550$，解得$k_2=20$，
$\therefore y_乙=20x+150$（$x≥0$且x为整数）。
(2) 判断入园12次的合算方案：
令$y_甲=y_乙$，即$30x=20x+150$，解得$x=15$：
当$x＜15$时，$y_甲＜y_乙$，选甲卡合算；
当$x=15$时，两种卡费用相同；
当$x＞15$时，$y_乙＜y_甲$，选乙卡合算。
因为$12＜15$，所以入园12次时选择甲消费卡更合算。
（也可直接代入计算：$x=12$时，$y_甲=30×12=360$元，$y_乙=20×12+150=390$元，$360＜390$，选甲卡合算）
【答案】
(1) $y_甲=30x$，$y_乙=20x+150$；
(2) 当入园次数为12次时，选择甲消费卡比较合算。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数大小比较
【点评】
本题以生活中的消费方案选择为背景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确结合图像信息求出函数解析式，再通过比较函数大小判断最优方案，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
解题可分两步思考：1. 求函数解析式：观察图像可知甲的函数是过原点的正比例函数，设为$y=k_1x$，代入图像上已知点$(5,150)$即可求出系数；乙的函数是过$(0,150)$的一次函数，设为$y=k_2x+b$，先由截距得$b=150$，再代入点$(20,550)$即可求出系数。2. 判断12次的合算方案：可直接将$x=12$代入两个解析式计算费用比较，也可先求出两种卡费用相等时的入园次数，判断12所属的区间得出结论。
【解析】
(1) 求两种卡的函数解析式：
① 设甲消费卡的费用函数为$y_甲=k_1x$（$k_1≠0$），由图像得$x=5$时$y_甲=150$，代入得：
$5k_1=150$，解得$k_1=30$，
$\therefore y_甲=30x$（$x≥0$且x为整数）。
② 设乙消费卡的费用函数为$y_乙=k_2x+b$（$k_2≠0$），由图像知函数过$(0,150)$，得$b=150$，即$y_乙=k_2x+150$，代入点$(20,550)$得：
$20k_2+150=550$，解得$k_2=20$，
$\therefore y_乙=20x+150$（$x≥0$且x为整数）。
(2) 判断入园12次的合算方案：
令$y_甲=y_乙$，即$30x=20x+150$，解得$x=15$：
当$x＜15$时，$y_甲＜y_乙$，选甲卡合算；
当$x=15$时，两种卡费用相同；
当$x＞15$时，$y_乙＜y_甲$，选乙卡合算。
因为$12＜15$，所以入园12次时选择甲消费卡更合算。
（也可直接代入计算：$x=12$时，$y_甲=30×12=360$元，$y_乙=20×12+150=390$元，$360＜390$，选甲卡合算）
【答案】
(1) $y_甲=30x$，$y_乙=20x+150$；
(2) 当入园次数为12次时，选择甲消费卡比较合算。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数大小比较
【点评】
本题以生活中的消费方案选择为背景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确结合图像信息求出函数解析式，再通过比较函数大小判断最优方案，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
四、趣味题
将下面的木板分成2份,做成一个十字标志,请你来完成.
将下面的木板分成2份,做成一个十字标志,请你来完成.
答案
如下图.
解析
【分析】
首先明确目标十字标志的特征：十字是对称图形，中心区域为正方形，上下左右四个方向延伸出宽度一致的臂。接下来观察给定的六边形木板的形状，我们需要将它分成2块，通过图形变换拼接成十字。解题思路为：先根据十字的宽度，确定切割的位置，切割出的两块要刚好能互补，通过旋转、平移后对齐边缘就能拼成十字。我们可以在木板左侧的合适位置，沿水平和竖直方向切割出一个凹口，切下的小图形和剩余的大图形恰好可以拼接成十字。
【解析】
步骤1：观察原木板和目标十字的尺寸匹配关系，在原木板上按照图示的虚线位置进行切割，将木板分为大小2块；
步骤2：将切割得到的小块旋转合适的角度，对齐剩余大块的对应空缺位置，拼接后即可得到符合要求的十字标志。
【答案】
如下图.
【知识点】
图形分割、图形拼接、旋转变换
【点评】
本题属于趣味图形操作题，考查对图形特征的观察能力和空间想象能力，需要结合目标图形的结构反推切割方案，兼具趣味性和思维性，有助于提升动手实践和几何思维能力。
【难度系数】
0.6
首先明确目标十字标志的特征：十字是对称图形，中心区域为正方形，上下左右四个方向延伸出宽度一致的臂。接下来观察给定的六边形木板的形状，我们需要将它分成2块，通过图形变换拼接成十字。解题思路为：先根据十字的宽度，确定切割的位置，切割出的两块要刚好能互补，通过旋转、平移后对齐边缘就能拼成十字。我们可以在木板左侧的合适位置，沿水平和竖直方向切割出一个凹口，切下的小图形和剩余的大图形恰好可以拼接成十字。
【解析】
步骤1：观察原木板和目标十字的尺寸匹配关系，在原木板上按照图示的虚线位置进行切割，将木板分为大小2块；
步骤2：将切割得到的小块旋转合适的角度，对齐剩余大块的对应空缺位置，拼接后即可得到符合要求的十字标志。
【答案】
如下图.
【知识点】
图形分割、图形拼接、旋转变换
【点评】
本题属于趣味图形操作题，考查对图形特征的观察能力和空间想象能力，需要结合目标图形的结构反推切割方案，兼具趣味性和思维性，有助于提升动手实践和几何思维能力。
【难度系数】
0.6
