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一、选择题
1. [2024·开封二模]数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数$y=-x-1$与$y=mx+n$($m,n$为常数,$m≠0$)的图象相交于点$(1,-2)$,则不等式$-x-1＜mx+n$的解集在数轴上表示为
(
A
B
C
D
1. [2024·开封二模]数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数$y=-x-1$与$y=mx+n$($m,n$为常数,$m≠0$)的图象相交于点$(1,-2)$,则不等式$-x-1＜mx+n$的解集在数轴上表示为
(
A
)A
B
C
D
答案
1. A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确一次函数与一元一次不等式的对应关系：不等式$-x-1＜mx+n$的解集，就是一次函数$y=-x-1$的图象在$y=mx+n$图象下方时对应的$x$的取值范围。我们先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，再结合图象判断满足函数值大小关系的$x$范围，最后匹配数轴上的解集表示即可得到答案。
【解析】
不等式$-x-1＜mx+n$的含义是$y=-x-1$的函数值小于$y=mx+n$的函数值，对应图象上为$y=-x-1$的图象位于$y=mx+n$图象下方的区域。
已知两个一次函数图象的交点为$(1,-2)$，即$x=1$时两个函数值相等。观察图象可得：当$x＞1$时，$y=-x-1$的图象在$y=mx+n$图象下方，满足$-x-1＜mx+n$，因此不等式的解集为$x＞1$。
$x＞1$在数轴上的表示为：在数字1的位置画空心圆圈，向右作射线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解一次函数图象的上下位置和函数值大小的对应关系，属于基础题型，掌握相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确一次函数与一元一次不等式的对应关系：不等式$-x-1＜mx+n$的解集，就是一次函数$y=-x-1$的图象在$y=mx+n$图象下方时对应的$x$的取值范围。我们先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，再结合图象判断满足函数值大小关系的$x$范围，最后匹配数轴上的解集表示即可得到答案。
【解析】
不等式$-x-1＜mx+n$的含义是$y=-x-1$的函数值小于$y=mx+n$的函数值，对应图象上为$y=-x-1$的图象位于$y=mx+n$图象下方的区域。
已知两个一次函数图象的交点为$(1,-2)$，即$x=1$时两个函数值相等。观察图象可得：当$x＞1$时，$y=-x-1$的图象在$y=mx+n$图象下方，满足$-x-1＜mx+n$，因此不等式的解集为$x＞1$。
$x＞1$在数轴上的表示为：在数字1的位置画空心圆圈，向右作射线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解一次函数图象的上下位置和函数值大小的对应关系，属于基础题型，掌握相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知A,B两地相距4 km,上午11:00,甲从A地出发步行到B地,上午11:20乙从B地出发骑自行车到A地,甲、乙两人离A地的距离(单位:km)与甲所用时间(单位:min)之间的关系如图所示,由图中的信息可知,乙到达A地的时间为 (
A.上午11:40
B.上午11:35
C.上午11:45
D.上午11:50
A
)A.上午11:40
B.上午11:35
C.上午11:45
D.上午11:50
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先从图像中获取甲的运动信息：甲走完全程4km用时60分钟，先计算甲的步行速度；2. 相遇点距离A地2km，说明甲走了2km，根据甲的速度计算甲走到相遇点的用时，得到相遇的具体时刻；3. 结合乙的出发时间，算出乙从出发到相遇的用时，再算出乙这段时间走的路程，得到乙的骑行速度；4. 根据总路程和乙的速度算出乙走完全程的总时间，加上乙的出发时间即可得到乙到达A地的时刻。
【解析】
解：①计算甲的速度：
由图可知，甲走完全程4km用时60min，
甲的速度$v_甲=\frac{4\mathrm{km}}{60\mathrm{min}}=\frac{1}{15}\mathrm{km/min}$。
②计算相遇时刻：
相遇时两人离A地距离为2km，即甲走了2km，
甲走2km的用时$t_甲=\frac{2\mathrm{km}}{\frac{1}{15}\mathrm{km/min}}=30\mathrm{min}$，
甲上午11:00出发，所以相遇时刻为11:00 + 30min = 11:30。
③计算乙的速度：
乙上午11:20出发，到11:30相遇，乙的用时$t_{乙1}=11:30 - 11:20=10\mathrm{min}$，
相遇时乙走的路程为$4\mathrm{km}-2\mathrm{km}=2\mathrm{km}$，
乙的速度$v_乙=\frac{2\mathrm{km}}{10\mathrm{min}}=0.2\mathrm{km/min}$。
④计算乙到达A地的时间：
乙走完全程4km的总用时$t_{乙总}=\frac{4\mathrm{km}}{0.2\mathrm{km/min}}=20\mathrm{min}$，
乙11:20出发，所以到达A地的时间为11:20 + 20min = 11:40。
【答案】
A
【知识点】
s-t图像解读，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题重点考查从函数图像中提取有效信息解决行程问题的能力，核心是结合路程、速度、时间三者的关系，理清两人出发时间差和相遇时的路程关系即可求解，解题时要注意时间单位的统一。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先从图像中获取甲的运动信息：甲走完全程4km用时60分钟，先计算甲的步行速度；2. 相遇点距离A地2km，说明甲走了2km，根据甲的速度计算甲走到相遇点的用时，得到相遇的具体时刻；3. 结合乙的出发时间，算出乙从出发到相遇的用时，再算出乙这段时间走的路程，得到乙的骑行速度；4. 根据总路程和乙的速度算出乙走完全程的总时间，加上乙的出发时间即可得到乙到达A地的时刻。
【解析】
解：①计算甲的速度：
由图可知，甲走完全程4km用时60min，
甲的速度$v_甲=\frac{4\mathrm{km}}{60\mathrm{min}}=\frac{1}{15}\mathrm{km/min}$。
②计算相遇时刻：
相遇时两人离A地距离为2km，即甲走了2km，
甲走2km的用时$t_甲=\frac{2\mathrm{km}}{\frac{1}{15}\mathrm{km/min}}=30\mathrm{min}$，
甲上午11:00出发，所以相遇时刻为11:00 + 30min = 11:30。
③计算乙的速度：
乙上午11:20出发，到11:30相遇，乙的用时$t_{乙1}=11:30 - 11:20=10\mathrm{min}$，
相遇时乙走的路程为$4\mathrm{km}-2\mathrm{km}=2\mathrm{km}$，
乙的速度$v_乙=\frac{2\mathrm{km}}{10\mathrm{min}}=0.2\mathrm{km/min}$。
④计算乙到达A地的时间：
乙走完全程4km的总用时$t_{乙总}=\frac{4\mathrm{km}}{0.2\mathrm{km/min}}=20\mathrm{min}$，
乙11:20出发，所以到达A地的时间为11:20 + 20min = 11:40。
【答案】
A
【知识点】
s-t图像解读，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题重点考查从函数图像中提取有效信息解决行程问题的能力，核心是结合路程、速度、时间三者的关系，理清两人出发时间差和相遇时的路程关系即可求解，解题时要注意时间单位的统一。
【难度系数】
0.7
3. 小明、小强两人进行百米赛跑,小明比小强跑得快,如果两人同时跑,小明肯定赢,现在小明让小强先跑若干米,如图中的射线a,b分别表示两人跑的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系. 根据图象判断:小明的速度比小强的速度快 (
A.$1\ \mathrm{m/s}$
B.$1.5\ \mathrm{m/s}$
C.$2\ \mathrm{m/s}$
D.$2.5\ \mathrm{m/s}$
D
)A.$1\ \mathrm{m/s}$
B.$1.5\ \mathrm{m/s}$
C.$2\ \mathrm{m/s}$
D.$2.5\ \mathrm{m/s}$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先结合题干“小明让小强先跑若干米”的条件区分两条射线对应的人物：t=0时路程不为0的是先跑的小强，对应射线b；从原点出发的是小明，对应射线a。接下来s-t图像中速度等于单位时间内运动的路程，我们选取两人路程相同的t=8s这一公共时间点，分别计算两人的速度，再求差值即可得到小明比小强快的速度。
【解析】
解：由题意可知，小强先跑若干米，因此t=0时已有初始路程的射线b为小强的s-t图像，从原点出发的射线a为小明的s-t图像。
1. 计算小明的速度：
由图像可知，t=8s时小明的路程$s_明=64m$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$可得：
$v_明=\frac{s_明}{t}=\frac{64m}{8s}=8m/s$
2. 计算小强的速度：
t=8s时小强的总路程为64m，减去初始先跑的20m，可得8s内小强实际运动的路程$s_强=64m-20m=44m$，因此：
$v_强=\frac{s_强}{t}=\frac{44m}{8s}=5.5m/s$
3. 计算速度差：
$\Delta v=v_明 - v_强=8m/s - 5.5m/s=2.5m/s$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
s-t图像解读；速度公式应用
【点评】
本题是路程-时间图像的常考题型，解题核心是先结合题干信息区分不同图像对应的研究对象，再正确提取图像中的数据计算速度，需注意计算小强的速度时要使用对应时间内他实际运动的路程，不能直接用总路程计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题干“小明让小强先跑若干米”的条件区分两条射线对应的人物：t=0时路程不为0的是先跑的小强，对应射线b；从原点出发的是小明，对应射线a。接下来s-t图像中速度等于单位时间内运动的路程，我们选取两人路程相同的t=8s这一公共时间点，分别计算两人的速度，再求差值即可得到小明比小强快的速度。
【解析】
解：由题意可知，小强先跑若干米，因此t=0时已有初始路程的射线b为小强的s-t图像，从原点出发的射线a为小明的s-t图像。
1. 计算小明的速度：
由图像可知，t=8s时小明的路程$s_明=64m$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$可得：
$v_明=\frac{s_明}{t}=\frac{64m}{8s}=8m/s$
2. 计算小强的速度：
t=8s时小强的总路程为64m，减去初始先跑的20m，可得8s内小强实际运动的路程$s_强=64m-20m=44m$，因此：
$v_强=\frac{s_强}{t}=\frac{44m}{8s}=5.5m/s$
3. 计算速度差：
$\Delta v=v_明 - v_强=8m/s - 5.5m/s=2.5m/s$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
s-t图像解读；速度公式应用
【点评】
本题是路程-时间图像的常考题型，解题核心是先结合题干信息区分不同图像对应的研究对象，再正确提取图像中的数据计算速度，需注意计算小强的速度时要使用对应时间内他实际运动的路程，不能直接用总路程计算。
【难度系数】
0.7
4. 将$y=x$的函数图象绕点$(1,1)$顺时针旋转$90°$后得到的函数图象是（
A
）答案
4. A
解析
【分析】
解题时先抓旋转的不变量：首先旋转中心(1,1)在原直线y=x上，旋转后该点仍在新直线上；其次直线旋转90°后与原直线垂直，斜率乘积为-1，原直线y=x斜率为1，可推出新直线斜率为-1；再通过点斜式求出新直线的解析式，最后根据解析式对应的直线与坐标轴的交点匹配选项即可。
【解析】
1. 确认旋转中心位置：将x=1代入y=x得y=1，因此点(1,1)在原直线y=x上，旋转后该点仍为新直线上的点。
2. 求新直线斜率：原直线y=x的倾斜角为45°，顺时针旋转90°后新直线倾斜角为45°-90°=-45°，斜率为-1（也可根据两直线垂直斜率乘积为-1，直接得新直线斜率为-1）。
3. 求新直线解析式：设新直线解析式为y=-x+b，将(1,1)代入解析式得1=-1+b，解得b=2，因此新直线解析式为y=-x+2。
4. 匹配图象：直线y=-x+2与y轴交点为(0,2)，与x轴交点为(2,0)，对应选项A的图象。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与性质，旋转的性质，一次函数解析式确定
【点评】
本题结合了图形旋转与一次函数的知识点，解题核心是抓住旋转的不变特性，结合一次函数的斜率、解析式求解方法推导新函数的特征，属于基础综合题，能有效考察知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先抓旋转的不变量：首先旋转中心(1,1)在原直线y=x上，旋转后该点仍在新直线上；其次直线旋转90°后与原直线垂直，斜率乘积为-1，原直线y=x斜率为1，可推出新直线斜率为-1；再通过点斜式求出新直线的解析式，最后根据解析式对应的直线与坐标轴的交点匹配选项即可。
【解析】
1. 确认旋转中心位置：将x=1代入y=x得y=1，因此点(1,1)在原直线y=x上，旋转后该点仍为新直线上的点。
2. 求新直线斜率：原直线y=x的倾斜角为45°，顺时针旋转90°后新直线倾斜角为45°-90°=-45°，斜率为-1（也可根据两直线垂直斜率乘积为-1，直接得新直线斜率为-1）。
3. 求新直线解析式：设新直线解析式为y=-x+b，将(1,1)代入解析式得1=-1+b，解得b=2，因此新直线解析式为y=-x+2。
4. 匹配图象：直线y=-x+2与y轴交点为(0,2)，与x轴交点为(2,0)，对应选项A的图象。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与性质，旋转的性质，一次函数解析式确定
【点评】
本题结合了图形旋转与一次函数的知识点，解题核心是抓住旋转的不变特性，结合一次函数的斜率、解析式求解方法推导新函数的特征，属于基础综合题，能有效考察知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
