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1. 如图，D是∠ABC的平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且∠BED+∠BFD=180°. 求证：DE=DF.
答案
证明:如图,过点 D 分别作 DG⊥AB 于点 G,DH⊥BC 于点 H.
∵D 是∠ABC 的平分线上一点,DG⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DG.
∵∠BGD=∠BHD=90°,
∴∠ABC+∠GDH=180°.
∵∠BED+∠BFD=180°,
∴∠ABC+∠EDF=180°,
∴∠GDH=∠EDF,
∴∠GDH-∠EDH=∠EDF-∠EDH,即∠GDE=∠HDF. 在△DEG 和△DFH 中,
$\begin{cases}∠DGE=∠DHF,\\ DG=DH,\\ ∠GDE=∠HDF,\end{cases}$
∴△DEG≌△DFH(ASA),
∴DE=DF.
解析
【分析】
要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知D是∠ABC平分线上的点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此首先过D作AB、BC的垂线，得到一组相等的垂线段和两个直角，为全等三角形提供边和角的条件。再结合已知的∠BED+∠BFD=180°，通过四边形内角和推导角的等量关系，得到全等需要的另一组对应角相等，即可用ASA证明三角形全等，进而得到DE=DF的结论。
【解析】
证明：过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H。
∵D在∠ABC的平分线上，且DG⊥AB，DH⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得DG=DH。
∵∠DGB=∠DHB=90°，四边形BGDH内角和为360°，
∴∠ABC+∠GDH=180°。
又
∵∠BED+∠BFD=180°，四边形BEDF内角和为360°，
∴∠ABC+∠EDF=180°，
∴∠GDH=∠EDF。
等式两边同时减去∠EDH可得：∠GDH-∠EDH=∠EDF-∠EDH，即∠GDE=∠HDF。
在△DEG和△DFH中：
$\begin{cases}∠DGE=∠DHF=90°,\\ DG=DH,\\ ∠GDE=∠HDF,\end{cases}$
∴△DEG≌△DFH（ASA），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
【答案】
证明:如图,过点 D 分别作 DG⊥AB 于点 G,DH⊥BC 于点 H.
∵D 是∠ABC 的平分线上一点,DG⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DG.
∵∠BGD=∠BHD=90°,
∴∠ABC+∠GDH=180°.
∵∠BED+∠BFD=180°,
∴∠ABC+∠EDF=180°,
∴∠GDH=∠EDF,
∴∠GDH-∠EDH=∠EDF-∠EDH,即∠GDE=∠HDF. 在△DEG 和△DFH 中,
$\begin{cases}∠DGE=∠DHF,\\ DG=DH,\\ ∠GDE=∠HDF,\end{cases}$
∴△DEG≌△DFH(ASA),
∴DE=DF.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于角平分线与全等三角形的综合基础题，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，掌握角平分线性质和全等判定方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知D是∠ABC平分线上的点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此首先过D作AB、BC的垂线，得到一组相等的垂线段和两个直角，为全等三角形提供边和角的条件。再结合已知的∠BED+∠BFD=180°，通过四边形内角和推导角的等量关系，得到全等需要的另一组对应角相等，即可用ASA证明三角形全等，进而得到DE=DF的结论。
【解析】
证明：过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H。
∵D在∠ABC的平分线上，且DG⊥AB，DH⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得DG=DH。
∵∠DGB=∠DHB=90°，四边形BGDH内角和为360°，
∴∠ABC+∠GDH=180°。
又
∵∠BED+∠BFD=180°，四边形BEDF内角和为360°，
∴∠ABC+∠EDF=180°，
∴∠GDH=∠EDF。
等式两边同时减去∠EDH可得：∠GDH-∠EDH=∠EDF-∠EDH，即∠GDE=∠HDF。
在△DEG和△DFH中：
$\begin{cases}∠DGE=∠DHF=90°,\\ DG=DH,\\ ∠GDE=∠HDF,\end{cases}$
∴△DEG≌△DFH（ASA），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
【答案】
证明:如图,过点 D 分别作 DG⊥AB 于点 G,DH⊥BC 于点 H.
∵D 是∠ABC 的平分线上一点,DG⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DG.
∵∠BGD=∠BHD=90°,
∴∠ABC+∠GDH=180°.
∵∠BED+∠BFD=180°,
∴∠ABC+∠EDF=180°,
∴∠GDH=∠EDF,
∴∠GDH-∠EDH=∠EDF-∠EDH,即∠GDE=∠HDF. 在△DEG 和△DFH 中,
$\begin{cases}∠DGE=∠DHF,\\ DG=DH,\\ ∠GDE=∠HDF,\end{cases}$
∴△DEG≌△DFH(ASA),
∴DE=DF.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于角平分线与全等三角形的综合基础题，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，掌握角平分线性质和全等判定方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AC平分$∠ BAD$，$CE⊥ AB$，且$2AE=AB+AD$，试探索$∠ ADC$与$∠ ABC$的关系，并说明理由.
答案
∠ADC+∠ABC=180°.理由如下:如图,过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.
∵CE⊥AB,AC 平分∠BAD,
∴CE=CF,∠CEA=∠F=∠BEC=90°. 在 Rt△AEC 和 Rt△AFC 中,
$\begin{cases}AC=AC,\\ CE=CF,\end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL),
∴AE=AF.
∵2AE=AB+AD,
∴AE+AF=AE+BE+AF-DF,
∴BE=DF. 在△BEC 和△DFC 中,
$\begin{cases}BE=DF,\\ ∠BEC=∠F,\\ CE=CF,\end{cases}$
∴△BEC≌△DFC(SAS),
∴∠B=∠CDF.
∵∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
解析
【分析】
遇到角平分线和角一边的垂线时，可利用角平分线的性质，向角的另一边作垂线构造相等的垂线段，为证明全等创造条件。本题解题思路如下：①过点C作AD延长线的垂线CF，由角平分线性质得CE=CF；②证明Rt△AEC≌Rt△AFC，得到AE=AF；③结合已知2AE=AB+AD的线段关系，推导得出BE=DF；④证明△BEC≌△DFC，将∠ABC转化为∠CDF；⑤结合∠CDF与∠ADC是邻补角，即可得到两个角的数量关系。
【解析】
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。
∵CE⊥AB，AC平分∠BAD，
∴CE=CF，∠CEA=∠F=∠BEC=90°。
在Rt△AEC和Rt△AFC中，
$\begin{cases}AC=AC,\\ CE=CF,\end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE=AF。
∵2AE=AB+AD，且AB=AE+BE，AD=AF-DF，
∴2AE=AE+BE+AF-DF，
将AE=AF代入上式化简可得BE=DF。
在△BEC和△DFC中，
$\begin{cases}BE=DF,\\ ∠BEC=∠F,\\ CE=CF,\end{cases}$
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴∠ABC=∠CDF。
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°。
【答案】
∠ADC+∠ABC=180°
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的定义
【点评】
本题属于几何综合类基础题，重点考查角平分线性质的应用，通过作辅助线构造全等三角形转化角的关系是解题的突破口，要求学生能灵活运用全等三角形的判定方法，结合已知线段关系推导边相等，进而得到角的关系。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线和角一边的垂线时，可利用角平分线的性质，向角的另一边作垂线构造相等的垂线段，为证明全等创造条件。本题解题思路如下：①过点C作AD延长线的垂线CF，由角平分线性质得CE=CF；②证明Rt△AEC≌Rt△AFC，得到AE=AF；③结合已知2AE=AB+AD的线段关系，推导得出BE=DF；④证明△BEC≌△DFC，将∠ABC转化为∠CDF；⑤结合∠CDF与∠ADC是邻补角，即可得到两个角的数量关系。
【解析】
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。
∵CE⊥AB，AC平分∠BAD，
∴CE=CF，∠CEA=∠F=∠BEC=90°。
在Rt△AEC和Rt△AFC中，
$\begin{cases}AC=AC,\\ CE=CF,\end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE=AF。
∵2AE=AB+AD，且AB=AE+BE，AD=AF-DF，
∴2AE=AE+BE+AF-DF，
将AE=AF代入上式化简可得BE=DF。
在△BEC和△DFC中，
$\begin{cases}BE=DF,\\ ∠BEC=∠F,\\ CE=CF,\end{cases}$
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴∠ABC=∠CDF。
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°。
【答案】
∠ADC+∠ABC=180°
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的定义
【点评】
本题属于几何综合类基础题，重点考查角平分线性质的应用，通过作辅助线构造全等三角形转化角的关系是解题的突破口，要求学生能灵活运用全等三角形的判定方法，结合已知线段关系推导边相等，进而得到角的关系。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$∠ AOB=90°$，$OM$平分$∠ AOB$，直角三角板的直角顶点$P$在射线$OM$上移动，两直角边分别与$OA$、$OB$相交于点$C$、$D$.
(1)$PC$与$PD$相等吗？试说明理由.
(2)若$OP=2$，求四边形$PCOD$的面积.
(1)$PC$与$PD$相等吗？试说明理由.
(2)若$OP=2$，求四边形$PCOD$的面积.
答案
(1)PC=PD.理由如下:如图,过点 P 分别作 PE⊥OB 于点 E,PF⊥OA 于点 F,
∴∠CFP=∠DEP=90°.
∵OM 是∠AOB 的平分线,
∴PE=PF.
∵∠1+∠FPD=90°,∠AOB=90°,
∴∠FPE=90°,
∴∠2+∠FPD=90°,
∴∠1=∠2. 在△CFP 和△DEP 中,
$\begin{cases}∠CFP=∠DEP,\\ PE=PF,\\ ∠1=∠2,\end{cases}$
∴△CFP≌△DEP(ASA),
∴PC=PD.
(2)
∵四边形 PCOD 的面积=正方形 OEPF 的面积,
∴四边形 PCOD 的面积=$\frac{1}{2}×2×2=2$.
解析
【分析】
(1) 要判断PC与PD是否相等，可通过证明两条边所在的三角形全等求解。已知OM是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作OA、OB的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合三角板的直角为90°，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明两个三角形全等，得到对应边相等。
(2) 求四边形PCOD的面积时，直接计算各边长难度较大，可利用(1)中的全等关系，将△DEP的面积转化为△CFP的面积，因此四边形PCOD的面积就等于正方形OEPF的面积，已知OP是正方形的对角线，代入正方形面积公式即可求解。
【解析】
(1) $PC=PD$，理由如下：
如图，过点$P$分别作$PE⊥ OB$于点$E$，$PF⊥ OA$于点$F$，
$\therefore∠ CFP=∠ DEP=90°$。
$\because OM$是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore PE=PF$。
$\because∠ 1+∠ FPD=90°$，$∠ AOB=90°$，
$\therefore∠ FPE=90°$，
$\therefore∠ 2+∠ FPD=90°$，
$\therefore∠1=∠2$。
在$△ CFP$和$△ DEP$中，
$\begin{cases}∠ CFP=∠ DEP,\\PE=PF,\\∠1=∠2,\end{cases}$
$\therefore△ CFP≌△ DEP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PC=PD$。
(2) 由$△ CFP≌△ DEP$可得$S_{△ CFP}=S_{△ DEP}$，因此：
四边形$PCOD$的面积$=$正方形$OEPF$的面积，
已知$OP=2$是正方形$OEPF$的对角线，
$\therefore$四边形$PCOD$的面积$=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1) $PC=PD$，理由见解析；
(2) 四边形$PCOD$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题的核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，利用全等实现线段相等的证明和不规则四边形面积的转化，能够较好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断PC与PD是否相等，可通过证明两条边所在的三角形全等求解。已知OM是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作OA、OB的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合三角板的直角为90°，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明两个三角形全等，得到对应边相等。
(2) 求四边形PCOD的面积时，直接计算各边长难度较大，可利用(1)中的全等关系，将△DEP的面积转化为△CFP的面积，因此四边形PCOD的面积就等于正方形OEPF的面积，已知OP是正方形的对角线，代入正方形面积公式即可求解。
【解析】
(1) $PC=PD$，理由如下：
如图，过点$P$分别作$PE⊥ OB$于点$E$，$PF⊥ OA$于点$F$，
$\therefore∠ CFP=∠ DEP=90°$。
$\because OM$是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore PE=PF$。
$\because∠ 1+∠ FPD=90°$，$∠ AOB=90°$，
$\therefore∠ FPE=90°$，
$\therefore∠ 2+∠ FPD=90°$，
$\therefore∠1=∠2$。
在$△ CFP$和$△ DEP$中，
$\begin{cases}∠ CFP=∠ DEP,\\PE=PF,\\∠1=∠2,\end{cases}$
$\therefore△ CFP≌△ DEP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PC=PD$。
(2) 由$△ CFP≌△ DEP$可得$S_{△ CFP}=S_{△ DEP}$，因此：
四边形$PCOD$的面积$=$正方形$OEPF$的面积，
已知$OP=2$是正方形$OEPF$的对角线，
$\therefore$四边形$PCOD$的面积$=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1) $PC=PD$，理由见解析；
(2) 四边形$PCOD$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题的核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，利用全等实现线段相等的证明和不规则四边形面积的转化，能够较好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
4. 如图,在$△ ABC$中,$E$是$∠ BAC$和外角$∠ CBD$的平分线的交点.求证:点$E$在外角$∠ BCF$的平分线上.
答案
证明:如图,过点 E 分别作 EG⊥AB 于点 G,EH⊥BC 于点 H,EP⊥AC 于点 P.
∵AE 平分∠BAC,EG⊥AB,EP⊥AC,
∴EG=EP.
∵BE 平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC,
∴EG=EH,
∴EH=EP. 又
∵EP⊥AC,EH⊥BC,
∴点 E 在外角∠BCF 的平分线上.
解析
【分析】
要证明点E在外角∠BCF的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠BCF两边（即BC和AC所在直线）的距离相等即可。首先过点E向AB、BC、AC作三条垂线段，再利用已知的两个角平分线的性质，得到三条垂线段两两相等，通过等量代换得到点E到AC、BC的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：过点E分别作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H，EP⊥AC于点P。
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EP⊥AC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EG=EP$。
∵BE平分∠CBD，EG⊥AB，EH⊥BC，
同理根据角平分线的性质，可得$EG=EH$，
∴$EH=EP$。
又
∵EP⊥AC，EH⊥BC，
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点E在外角∠BCF的平分线上。
【答案】
证明:如图,过点 E 分别作 EG⊥AB 于点 G,EH⊥BC 于点 H,EP⊥AC 于点 P.
∵AE 平分∠BAC,EG⊥AB,EP⊥AC,
∴EG=EP.
∵BE 平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC,
∴EG=EH,
∴EH=EP. 又
∵EP⊥AC,EH⊥BC,
∴点 E 在外角∠BCF 的平分线上.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题考查角平分线性质与判定的综合运用，解题关键是合理作出垂线段类辅助线，通过角平分线性质得到线段相等关系，经等量代换后结合判定定理完成证明，解题时要注意区分角平分线性质和判定的适用条件。
【难度系数】
0.7
要证明点E在外角∠BCF的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠BCF两边（即BC和AC所在直线）的距离相等即可。首先过点E向AB、BC、AC作三条垂线段，再利用已知的两个角平分线的性质，得到三条垂线段两两相等，通过等量代换得到点E到AC、BC的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：过点E分别作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H，EP⊥AC于点P。
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EP⊥AC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EG=EP$。
∵BE平分∠CBD，EG⊥AB，EH⊥BC，
同理根据角平分线的性质，可得$EG=EH$，
∴$EH=EP$。
又
∵EP⊥AC，EH⊥BC，
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点E在外角∠BCF的平分线上。
【答案】
证明:如图,过点 E 分别作 EG⊥AB 于点 G,EH⊥BC 于点 H,EP⊥AC 于点 P.
∵AE 平分∠BAC,EG⊥AB,EP⊥AC,
∴EG=EP.
∵BE 平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC,
∴EG=EH,
∴EH=EP. 又
∵EP⊥AC,EH⊥BC,
∴点 E 在外角∠BCF 的平分线上.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题考查角平分线性质与判定的综合运用，解题关键是合理作出垂线段类辅助线，通过角平分线性质得到线段相等关系，经等量代换后结合判定定理完成证明，解题时要注意区分角平分线性质和判定的适用条件。
【难度系数】
0.7
