7. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$CB$延长线上一点,$∠ ACB$与$∠ ABD$的平分线交于点$E$,连接$AE$.若要求$∠ BAE$的度数,只需要知道下列哪个角的度数 （）



A.$∠ ABC$
B.$∠ ACB$
C.$∠ BAC$
D.$∠ AEB$

7. C 解析:如图,过点 E 分别作 EH⊥BD 于点 H,EF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 交 CA 的延长线于点 G.
∵∠ACB 与∠ABD的角平分线交于点 E,
∴EH=EF,EH=EG,
∴EF=EG,
∴AE平分∠BAG,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAG=$\frac{1}{2}(180°−∠BAC)$,
∴只需要知道∠BAC的度数即可求出∠BAE的度数.

【分析】
解决这道题我们可以从角平分线的相关性质出发思考：首先已知E是∠ACB和∠ABD的角平分线交点，根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，我们可以过E向两个角的两边分别作垂线，得到三条垂线段的长度关系，再结合角平分线的判定定理，判断AE是否为某一个角的平分线，最后推导∠BAE和选项中各角的数量关系，即可确定需要知道哪个角的度数。
【解析】
过点E分别作$EH⊥BD$于点H，$EF⊥AB$于点F，$EG⊥AC$交CA的延长线于点G。
∵CE平分$∠ACB$，$EH⊥BD$，$EG⊥AC$，
∴根据角平分线的性质可得$EH=EG$。
∵BE平分$∠ABD$，$EH⊥BD$，$EF⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得$EH=EF$。
∴$EF=EG$，
又
∵$EF⊥AB$，$EG⊥AG$，
∴根据角平分线的判定定理可得AE平分$∠BAG$，
∴$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAG$，
∵$∠BAG$与$∠BAC$互为邻补角，即$∠BAG=180°-∠BAC$，
∴$∠BAE=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)$，
因此只需知道$∠BAC$的度数即可求出$∠BAE$的度数，故选C。
【答案】C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；邻补角的性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的典型应用题型，解题核心是通过作三条垂线段的辅助线，推导得出AE是∠BAC的外角平分线，进而建立∠BAE和∠BAC的数量关系，能有效考查学生对角平分线性质、判定的理解和综合应用能力。
【难度系数】
0.6

8. 如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是________.

8. 30 解析:如图,过点 D 作 DE⊥BA,交 BA 的延长线于点 E.
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DC=4,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=$\frac{1}{2}$ AB·DE +$\frac{1}{2}$ BC·CD=$\frac{1}{2}×6×4 +\frac{1}{2}×9×4=30$.

【分析】
要求四边形ABCD的面积，该四边形为不规则图形，可将其拆分为$△ ABD$和$△ BCD$两部分，分别计算面积后求和即可。已知$△ BCD$中$BC=9$、$CD=4$、$∠ C=90°$，可直接计算其面积；$△ ABD$仅已知$AB=6$，缺少$AB$边上的高，结合$BD$是$∠ ABC$的角平分线、$∠ C=90°$的条件，根据角平分线的性质，过$D$作$DE⊥ BA$交$BA$延长线于$E$，可得$DE=CD$，即可得到$△ ABD$中$AB$边上的高，进而计算两个三角形面积之和得到四边形总面积。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ BA$，交$BA$的延长线于点$E$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ BCD=90°$即$DC⊥ BC$，$DE⊥ BE$，
$\therefore$根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DC=4$。
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$
$=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× BC× CD$
$=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×9×4$
$=12+18=30$
【答案】
30
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题关键是通过作辅助线将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积之和，利用角平分线的性质得到未知三角形的高，简化计算过程。
【难度系数】
0.7

9. 如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$，垂足为E. 若$△ ABC$的面积为10，$AB=6$，$BC=4$，则DE的长为________.

9. 2 解析:如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
∵BD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF. 设DE=DF=a.
∵△ABC 的面积为 10,
∴S△ABC=S△ABD+S△CBD,
∴$\frac{1}{2}$ AB·DE +$\frac{1}{2}$ BC·DF=10,即$\frac{1}{2}×6a +\frac{1}{2}×4a=10$,解得a=2,即DE=DF=2.

【分析】
解题时首先从已知条件入手，BD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质，可过D作DF⊥BC，得到DE=DF；再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△CBD的面积之和，两个小三角形的高分别为DE、DF，底对应AB、BC，代入已知的总面积、AB和BC的长度，即可列方程求出DE的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于点F。
∵BD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ BC$，
∴根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
设$DE=DF=a$，
∵$△ ABC$的面积为10，且$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ CBD}$，
∴$\frac{1}{2} · AB · DE + \frac{1}{2} · BC · DF =10$，
将$AB=6$，$BC=4$代入上式，得$\frac{1}{2} × 6a + \frac{1}{2} × 4a =10$，
化简得$3a+2a=10$，解得$a=2$，即DE的长为2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过拆分三角形面积建立方程求解，熟练掌握辅助线的构造方法和面积和差的运用，可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7

10. 如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E.
(1)求证:AF=BE.
(2)若BC=6 cm，AC=10 cm，求CE的长.

10. (1)证明:如图,连接 AD、BD.
∵PD 垂直平分 AB,
∴AD=BD.
∵DE⊥BC,DF⊥AC,CD 平分∠ACE,
∴∠AFD=∠BED=90°,DE=DF. 在Rt△ADF 和 Rt△BDE 中, $\begin{cases} AD=BD, \\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△BDE(HL),
∴AF=BE.
(2)在Rt△CDF 与 Rt△CDE 中, $\begin{cases} CD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△CDE,
∴CE=CF. 设CE=CF=x,则BE=BC+CE=6+x,AF=AC−CF=10−x.
∵AF=BE,
∴10−x=6+x,
∴x=2,
∴CE=2 cm.

【分析】
(1)要证明AF=BE，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等推导。首先连接AD、BD，利用线段垂直平分线的性质可得AD=BD；再根据角平分线的性质可得DF=DE，此时两个直角三角形Rt△ADF和Rt△BDE满足斜边和直角边对应相等，即可用HL证明全等，从而得到AF=BE。
(2)先证明Rt△CDF和Rt△CDE全等，可得CE=CF，设CE的长度为x，用含x的式子分别表示出BE和AF的长度，再结合(1)中AF=BE的结论列方程求解，即可得到CE的长。
【解析】
(1)证明：连接AD、BD。
∵PD垂直平分AB，
∴AD=BD。
∵DE⊥BC，DF⊥AC，CD平分∠ACE，
∴∠AFD=∠BED=90°，DE=DF。
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
$\begin{cases} AD=BD \\ DF=DE \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△BDE(HL)，
∴AF=BE。
(2)解：在Rt△CDF与Rt△CDE中，
$\begin{cases} CD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△CDE(HL)，
∴CE=CF。
设CE=CF=x cm，则BE=BC+CE=(6+x) cm，AF=AC−CF=(10−x) cm。
由(1)知AF=BE，
∴10−x=6+x，
解得x=2，
即CE=2 cm。
【答案】
(1)证明见解析；(2)CE的长为2 cm。

【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，结合线段垂直平分线、角平分线的性质得到全等所需的边相等的条件，第二问运用方程思想求解几何线段长度，简化了计算过程，考查了学生对基础几何性质的运用能力和数形结合的思想。
【难度系数】
0.7

11. 如图，$△ ABC$的角平分线$AD$、$BE$相交于点$P$.
(1)在图1中分别画出点$P$到边$AC$、$BC$、$BA$的垂线段$PF$、$PG$、$PH$.这3条线段相等吗？为什么？
(2)如图2，$∠ ABC=90°$，$∠ C=60°$，其余条件都不变，请你判断$PE$与$PD$之间的数量关系，并说明理由.

11. (1)画图如图1所示. PF=PH=PG. 理由如下:
∵AD 平分∠BAC,PF⊥AC,PH⊥AB,
∴PF=PH.
∵BE 平分∠ABC,PG⊥BC,PH⊥AB,
∴PG=PH,
∴PF=PH=PG.
(2)PE=PD. 理由如下:
∵∠ABC=90°,∠C=60°,
∴∠CAB=30°.
∵AD 平分∠BAC,BE 平分∠ABC,
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=15°,∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°. 如图 2,过点 P 分别作 PF⊥AC,PG⊥BC,垂足分别为 F、G,则∠PFE=∠PGD=90°.
∵∠PDG 为△ADC 的一个外角,
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+15°=75°.
∵∠PEF 是△ABE 的一个外角,
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+45°=75°,
∴∠PEF=∠PDG.
∵PF⊥AC,PG⊥BC,
∴∠PFE=∠PGD=90°,由(1)可知,PF=PG. 在△PFE 和△PGD 中,
$\begin{cases} ∠PEF=∠PDG, \\ ∠PFE=∠PGD, \\ PF=PG, \end{cases}$
∴△PFE≌△PGD,
∴PE=PD.

【分析】
(1) 首先按要求画出点P到三边的垂线段，判断三条线段的数量关系可结合角平分线的性质思考：点P在∠BAC的角平分线AD上，因此P到AC、AB的距离相等；点P同时在∠ABC的角平分线BE上，因此P到BC、AB的距离相等，通过等量代换即可得到三条垂线段的关系。
(2) 要判断PE与PD的数量关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先根据三角形内角和计算出∠CAB的度数，结合角平分线的定义得到相关角的度数，再利用三角形外角的性质得到△PFE和△PGD的一组对应角相等，结合(1)中得到的PF=PG以及两个直角相等，即可通过AAS判定两三角形全等，从而得到PE与PD的关系。
【解析】
(1) 画出的垂线段如图1所示：

PF=PH=PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF=PH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴PF=PH=PG。
(2) PE=PD，理由如下：
∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=180°-∠ABC-∠C=30°。
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°。
过点P分别作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，如图2所示：

则∠PFE=∠PGD=90°。
∵∠PDG是△ADC的外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+15°=75°。
∵∠PEF是△ABE的外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG。
由(1)可知PF=PG，
在△PFE和△PGD中：
$\begin{cases} ∠PEF=∠PDG \\ ∠PFE=∠PGD \\ PF=PG \end{cases}$
∴△PFE≌△PGD（AAS），
∴PE=PD。
【答案】
(1) 画图见，PF=PH=PG，理由见解析；
(2) PE=PD，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形角平分线展开，第一问是角平分线性质的直接应用，属于基础考查；第二问需要结合角度计算、外角性质构造全等三角形证明线段相等，能有效提升几何推理和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7