登录
11. 钟表中蕴含着有趣的数学运算. 例如, 现在是10时, 4小时以后是几时?虽然$10+4=14$, 但在表盘上看到的是2时, 如果用符号“⊕”表示钟表上的加法, 则$10⊕4=2$. 若问3时之前5小时是几时, 就得到钟表上的减法概念, 用符号“⊙”表示钟表上的减法. (注:此处用0时代替12时)
根据上述材料解决下列问题:
(1) $8⊕9=$
(2) ①在有理数运算中, 相加得0的两个数互为相反数. 如果在钟表运算中沿用这个概念, 则8的相反数是
②判断: 有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立?
(3) 规定在钟表运算中也有$0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11$, 对于钟表上的任意数$a$, $b$, $c$, 若$a＜b$, 判断$a⊕c ＜ b⊕c$是否一定成立, 若一定成立, 说明理由; 若不一定成立, 请举出一个反例加以说明.
(4) 已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚6个小时, 一架飞机从北京飞往巴黎, 飞行时间为11个小时, 北京时间9日晚10时出发, 到达巴黎时是巴黎几日几时?请用式子表示出运算过程.
答:到达时间是巴黎
根据上述材料解决下列问题:
(1) $8⊕9=$
5
, $4⊙7=$9
.(2) ①在有理数运算中, 相加得0的两个数互为相反数. 如果在钟表运算中沿用这个概念, 则8的相反数是
4
, $a$的相反数是$12-a$
(用含$a$的代数式表示);②判断: 有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立?
是
(填“是”或“否”).(3) 规定在钟表运算中也有$0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11$, 对于钟表上的任意数$a$, $b$, $c$, 若$a＜b$, 判断$a⊕c ＜ b⊕c$是否一定成立, 若一定成立, 说明理由; 若不一定成立, 请举出一个反例加以说明.
(4) 已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚6个小时, 一架飞机从北京飞往巴黎, 飞行时间为11个小时, 北京时间9日晚10时出发, 到达巴黎时是巴黎几日几时?请用式子表示出运算过程.
$10\odot6\oplus11=4\oplus11=3$（或$10\oplus11\odot6=9\odot6=3$）
答:到达时间是巴黎
10
日上午
(填“上午”或“下午”)3
时.答案
11.（1）5 9
（2）①4 $12-a$ ②是
（3）不一定成立. 理由如下：当$c=7$，$a=3$，$b=5$时，$3\oplus7=10$，$5\oplus7=0$，则$3\oplus7＞5\oplus7$，$\therefore$当$a＜b$时，$a\oplus c ＜ b\oplus c$不一定成立
（4）$10\odot6\oplus11=4\oplus11=3$（或$10\oplus11\odot6=9\odot6=3$） 10 上午 3
（2）①4 $12-a$ ②是
（3）不一定成立. 理由如下：当$c=7$，$a=3$，$b=5$时，$3\oplus7=10$，$5\oplus7=0$，则$3\oplus7＞5\oplus7$，$\therefore$当$a＜b$时，$a\oplus c ＜ b\oplus c$不一定成立
（4）$10\odot6\oplus11=4\oplus11=3$（或$10\oplus11\odot6=9\odot6=3$） 10 上午 3
解析
【分析】
本题是新定义类运算题，核心是先吃透钟表运算规则：加法“⊕”是两数普通相加后，减去12的整数倍，得到0~11之间的结果；减法“⊙”是两数普通相减后，若结果为负则加12，最终也得到0~11之间的结果。解题时逐问对应规则计算即可：（1）直接按加减规则计算；（2）①沿用相反数定义，即两数做⊕运算结果为0，据此求对应相反数；②可通过分别计算等式两边结果是否一致，验证减法法则是否适用；（3）判断不等式是否成立，可尝试举反例证伪，只要找到一组a＜b但a⊕c≥b⊕c的例子即可；（4）结合时差和飞行时间，用⊕、⊙运算列式，再换算日期和时段。
【解析】
（1）计算运算结果
钟表加法规则：$a⊕b$是$a+b$除以12的余数，结果在0~11之间；钟表减法规则：$a⊙b$是$a-b$除以12的余数，结果在0~11之间。
$8⊕9$：$8+9=17$，$17-12=5$，故$8⊕9=5$；
$4⊙7$：$4-7=-3$，$-3+12=9$，故$4⊙7=9$。
（2）相反数相关问题
① 钟表运算中，互为相反数的两个数做⊕运算结果为0：
设8的相反数为$x$，则$8⊕x=0$，即$8+x=12$，解得$x=4$；
设$a$的相反数为$y$，则$a⊕y=0$，即$a+y=12$，故$y=12-a$。
② 验证减法法则：任取数$a、b$，左边$a⊙b=(a-b) \mod 12$，右边$a⊕(b的相反数)=a⊕(12-b)=(a+12-b) \mod12=(a-b) \mod12$，左右两边相等，故有理数减法法则在钟表运算中仍然成立。
（3）判断不等式是否成立
该不等式不一定成立，可举反例验证：
取$a=3$，$b=5$，满足$a＜b$，取$c=7$，则$3⊕7=3+7=10$，$5⊕7=5+7=12 \mod12=0$，此时$10＞0$，即$3⊕7＞5⊕7$，故$a⊕c ＜ b⊕c$不一定成立。
（4）计算到达巴黎的时间
方法1：先算出发时巴黎时间：北京时间晚10时，巴黎比北京晚6小时，故巴黎当时时间为$10⊙6=4$（即9日下午4时），加上飞行11小时：$4⊕11=15 \mod12=3$，日期过1天，即10日上午3时，运算式为$10⊙6⊕11=4⊕11=3$。
方法2：先算到达时北京时间：$10⊕11=21 \mod12=9$（即10日上午9时），换算为巴黎时间：$9⊙6=3$，即10日上午3时，运算式为$10⊕11⊙6=9⊙6=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$
（2）①$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{12-a}$；②$\boldsymbol{是}$
（3）不一定成立，当$c=7$，$a=3$，$b=5$时，$3⊕7=10$，$5⊕7=0$，则$3⊕7＞5⊕7$，$\therefore$当$a＜b$时，$a⊕c ＜ b⊕c$不一定成立
（4）$\boldsymbol{10⊙6⊕11=4⊕11=3}$（或$\boldsymbol{10⊕11⊙6=9⊙6=3}$）；$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{上午}$，$\boldsymbol{3}$
【知识点】
新定义运算，有理数加减法，相反数概念
【点评】
本题以生活中常见的钟表计时为背景设计新定义运算，考查对新规则的理解迁移能力、有理数运算的应用能力及逻辑推理能力，需要将已学的有理数运算、相反数等知识灵活运用到新情境中，同时考查举反例证伪的方法，兼具趣味性和实践性。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类运算题，核心是先吃透钟表运算规则：加法“⊕”是两数普通相加后，减去12的整数倍，得到0~11之间的结果；减法“⊙”是两数普通相减后，若结果为负则加12，最终也得到0~11之间的结果。解题时逐问对应规则计算即可：（1）直接按加减规则计算；（2）①沿用相反数定义，即两数做⊕运算结果为0，据此求对应相反数；②可通过分别计算等式两边结果是否一致，验证减法法则是否适用；（3）判断不等式是否成立，可尝试举反例证伪，只要找到一组a＜b但a⊕c≥b⊕c的例子即可；（4）结合时差和飞行时间，用⊕、⊙运算列式，再换算日期和时段。
【解析】
（1）计算运算结果
钟表加法规则：$a⊕b$是$a+b$除以12的余数，结果在0~11之间；钟表减法规则：$a⊙b$是$a-b$除以12的余数，结果在0~11之间。
$8⊕9$：$8+9=17$，$17-12=5$，故$8⊕9=5$；
$4⊙7$：$4-7=-3$，$-3+12=9$，故$4⊙7=9$。
（2）相反数相关问题
① 钟表运算中，互为相反数的两个数做⊕运算结果为0：
设8的相反数为$x$，则$8⊕x=0$，即$8+x=12$，解得$x=4$；
设$a$的相反数为$y$，则$a⊕y=0$，即$a+y=12$，故$y=12-a$。
② 验证减法法则：任取数$a、b$，左边$a⊙b=(a-b) \mod 12$，右边$a⊕(b的相反数)=a⊕(12-b)=(a+12-b) \mod12=(a-b) \mod12$，左右两边相等，故有理数减法法则在钟表运算中仍然成立。
（3）判断不等式是否成立
该不等式不一定成立，可举反例验证：
取$a=3$，$b=5$，满足$a＜b$，取$c=7$，则$3⊕7=3+7=10$，$5⊕7=5+7=12 \mod12=0$，此时$10＞0$，即$3⊕7＞5⊕7$，故$a⊕c ＜ b⊕c$不一定成立。
（4）计算到达巴黎的时间
方法1：先算出发时巴黎时间：北京时间晚10时，巴黎比北京晚6小时，故巴黎当时时间为$10⊙6=4$（即9日下午4时），加上飞行11小时：$4⊕11=15 \mod12=3$，日期过1天，即10日上午3时，运算式为$10⊙6⊕11=4⊕11=3$。
方法2：先算到达时北京时间：$10⊕11=21 \mod12=9$（即10日上午9时），换算为巴黎时间：$9⊙6=3$，即10日上午3时，运算式为$10⊕11⊙6=9⊙6=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$
（2）①$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{12-a}$；②$\boldsymbol{是}$
（3）不一定成立，当$c=7$，$a=3$，$b=5$时，$3⊕7=10$，$5⊕7=0$，则$3⊕7＞5⊕7$，$\therefore$当$a＜b$时，$a⊕c ＜ b⊕c$不一定成立
（4）$\boldsymbol{10⊙6⊕11=4⊕11=3}$（或$\boldsymbol{10⊕11⊙6=9⊙6=3}$）；$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{上午}$，$\boldsymbol{3}$
【知识点】
新定义运算，有理数加减法，相反数概念
【点评】
本题以生活中常见的钟表计时为背景设计新定义运算，考查对新规则的理解迁移能力、有理数运算的应用能力及逻辑推理能力，需要将已学的有理数运算、相反数等知识灵活运用到新情境中，同时考查举反例证伪的方法，兼具趣味性和实践性。
【难度系数】
0.6
