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6. 在数学课上，小明提出如下命题：“在同一平面内，如果直线$ l_1 $，$ l_2 $相交于点P，且$ l_1 // l $，那么$ l_2 $与$ l $一定相交.” 你认为小明提出的命题是
真命题
（填“真命题”或“假命题”），你的依据是过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
.答案
6. 真命题 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
解析
【分析】
要判断该命题的真假，可结合平行公理逐步推导：首先明确点P和直线l的位置关系，已知$l_1 // l$且$l_1$过点P，说明点P一定在直线l外（若点P在l上，$l_1$就会和l有公共点，与平行的定义矛盾）。再回忆平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。当前过点P的直线中已经有$l_1$和l平行，因此另一条过点P的$l_2$不可能再和l平行。而同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种，$l_2$和l不平行就一定相交，即可判断命题为真。
【解析】
1. 判定点P的位置：
∵ $l_1 // l$，且$l_1$经过点P，
∴ 点P是直线l外的点（若点P在l上，则$l_1$与l有公共点P，与$l_1 // l$矛盾）。
2. 结合平行公理推导：
根据平行公理，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。因此过点P的直线中，仅$l_1$与l平行，另一条过P的直线$l_2$无法与l平行。
3. 判定两直线位置关系：
同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，$l_2$与l不平行，故$l_2$与l一定相交。
因此该命题为真命题，依据是过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
【答案】
真命题；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】
1. 平行公理
2. 真命题判定
3. 同一平面内两直线的位置关系
【点评】
本题考查平行公理的应用与真假命题的判断，解题的关键是先确定点P在直线l外，再结合平行公理分析两条直线的位置关系，掌握基础定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.9
要判断该命题的真假，可结合平行公理逐步推导：首先明确点P和直线l的位置关系，已知$l_1 // l$且$l_1$过点P，说明点P一定在直线l外（若点P在l上，$l_1$就会和l有公共点，与平行的定义矛盾）。再回忆平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。当前过点P的直线中已经有$l_1$和l平行，因此另一条过点P的$l_2$不可能再和l平行。而同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种，$l_2$和l不平行就一定相交，即可判断命题为真。
【解析】
1. 判定点P的位置：
∵ $l_1 // l$，且$l_1$经过点P，
∴ 点P是直线l外的点（若点P在l上，则$l_1$与l有公共点P，与$l_1 // l$矛盾）。
2. 结合平行公理推导：
根据平行公理，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。因此过点P的直线中，仅$l_1$与l平行，另一条过P的直线$l_2$无法与l平行。
3. 判定两直线位置关系：
同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，$l_2$与l不平行，故$l_2$与l一定相交。
因此该命题为真命题，依据是过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
【答案】
真命题；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】
1. 平行公理
2. 真命题判定
3. 同一平面内两直线的位置关系
【点评】
本题考查平行公理的应用与真假命题的判断，解题的关键是先确定点P在直线l外，再结合平行公理分析两条直线的位置关系，掌握基础定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.9
7. 如图1，在四边形ABCD中，①$AB// CD$，②$∠ A=∠ C$，③$AD// BC$。
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题。
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由。
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题。
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由。
答案
7.（答案不唯一，合理即可）（1）如果$AB// CD$，$∠ A=∠ C$，那么$AD// BC$
（2）这个命题是真命题. 证明：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ B+∠ C=180°$. $\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ B+∠ A=180°$，$\therefore AD// BC$
（2）这个命题是真命题. 证明：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ B+∠ C=180°$. $\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ B+∠ A=180°$，$\therefore AD// BC$
解析
【分析】
（1）命题由条件和结论两部分组成，我们只需从三个论断中任选两个作为条件，剩余一个作为结论，按照“如果…那么…”的结构书写即可，答案不唯一，本次我们选择①②作为条件，③作为结论进行解答。（2）判断命题真假时，先根据已知的平行关系，利用平行线的性质得到角的数量关系，再结合角相等的条件做等量代换，最后通过平行线的判定定理推导结论是否成立即可。
【解析】
（1）写出命题：如果$AB// CD$，$∠ A=∠ C$，那么$AD// BC$（答案不唯一）。
（2）该命题是真命题，证明如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B+∠ C=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ B+∠ A=180°$（等量代换），
$\therefore AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
（1）如果$AB// CD$，$∠ A=∠ C$，那么$AD// BC$（答案不唯一，合理即可）
（2）这个命题是真命题. 证明：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ B+∠ C=180°$. $\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ B+∠ A=180°$，$\therefore AD// BC$
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，命题的构成
【点评】
本题为开放类习题，既考查了命题的基本结构，又考查了平行线性质与判定的综合应用，解题时可选择自己熟悉的条件和结论组合，结合平行线的相关定理即可完成解答。
【难度系数】
0.8
（1）命题由条件和结论两部分组成，我们只需从三个论断中任选两个作为条件，剩余一个作为结论，按照“如果…那么…”的结构书写即可，答案不唯一，本次我们选择①②作为条件，③作为结论进行解答。（2）判断命题真假时，先根据已知的平行关系，利用平行线的性质得到角的数量关系，再结合角相等的条件做等量代换，最后通过平行线的判定定理推导结论是否成立即可。
【解析】
（1）写出命题：如果$AB// CD$，$∠ A=∠ C$，那么$AD// BC$（答案不唯一）。
（2）该命题是真命题，证明如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B+∠ C=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ B+∠ A=180°$（等量代换），
$\therefore AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
（1）如果$AB// CD$，$∠ A=∠ C$，那么$AD// BC$（答案不唯一，合理即可）
（2）这个命题是真命题. 证明：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ B+∠ C=180°$. $\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ B+∠ A=180°$，$\therefore AD// BC$
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，命题的构成
【点评】
本题为开放类习题，既考查了命题的基本结构，又考查了平行线性质与判定的综合应用，解题时可选择自己熟悉的条件和结论组合，结合平行线的相关定理即可完成解答。
【难度系数】
0.8
8. 下列选项中，可以用来说明命题$|a|=a$是假命题的反例是（
A.$a=2$
B.$a=-4$
C.$a=0$
D.$a=5$
B
）.A.$a=2$
B.$a=-4$
C.$a=0$
D.$a=5$
答案
8.B
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需找到反例：即符合命题的题设，但不满足命题的结论即可。本题命题是$|a|=a$，所以反例需要满足$|a|≠ a$。结合绝对值的性质可知，负数的绝对值是它的相反数，因此只需找选项中为负数的$a$值即可。
【解析】
根据绝对值的性质：当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。我们逐一分析选项：
选项A：$a=2$是正数，$|2|=2$，满足$|a|=a$，不能作为反例；
选项B：$a=-4$是负数，$|-4|=4≠-4$，即$|a|≠ a$，不满足命题结论，可以作为反例；
选项C：$a=0$时，$|0|=0$，满足$|a|=a$，不能作为反例；
选项D：$a=5$是正数，$|5|=5$，满足$|a|=a$，不能作为反例。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质；假命题的反例
【点评】
本题考查对反例定义的理解和绝对值性质的应用，解题的关键是明确反例需要满足“符合题设、不符合结论”的要求，结合绝对值的性质排查选项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，只需找到反例：即符合命题的题设，但不满足命题的结论即可。本题命题是$|a|=a$，所以反例需要满足$|a|≠ a$。结合绝对值的性质可知，负数的绝对值是它的相反数，因此只需找选项中为负数的$a$值即可。
【解析】
根据绝对值的性质：当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。我们逐一分析选项：
选项A：$a=2$是正数，$|2|=2$，满足$|a|=a$，不能作为反例；
选项B：$a=-4$是负数，$|-4|=4≠-4$，即$|a|≠ a$，不满足命题结论，可以作为反例；
选项C：$a=0$时，$|0|=0$，满足$|a|=a$，不能作为反例；
选项D：$a=5$是正数，$|5|=5$，满足$|a|=a$，不能作为反例。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质；假命题的反例
【点评】
本题考查对反例定义的理解和绝对值性质的应用，解题的关键是明确反例需要满足“符合题设、不符合结论”的要求，结合绝对值的性质排查选项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 已知有理数a，b，下列命题是真命题的有
①如果$ab=0$，那么$a=0$或$b=0$；
②如果$a^2=b^2$，那么$a=b$；
③如果$a＜b＜0$，那么$ab＞0$；
④如果$|a|＞|b|$，那么$(a+b)$的符号与$a$的符号相同；
⑤如果$a＞b＞0$，那么$a＞1$.
①③④
（填序号）.①如果$ab=0$，那么$a=0$或$b=0$；
②如果$a^2=b^2$，那么$a=b$；
③如果$a＜b＜0$，那么$ab＞0$；
④如果$|a|＞|b|$，那么$(a+b)$的符号与$a$的符号相同；
⑤如果$a＞b＞0$，那么$a＞1$.
答案
9.①③④
解析
【分析】要判断各个命题的真假，可结合有理数的相关性质逐一分析：正确的命题可根据性质直接验证，错误的命题只需举出反例说明不成立即可。
【解析】我们逐个分析5个命题：
① 根据有理数乘法法则，若两个数的乘积为0，则至少有一个因数为0，即$a=0$或$b=0$，该命题是真命题；
② 举反例：当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2=b^2$，但$a≠b$，该命题是假命题；
③ 两个负数相乘结果为正，已知$a＜b＜0$，即$a、b$均为负数，因此$ab＞0$，该命题是真命题；
④ 若$|a|＞|b|$，说明$a$的绝对值更大，两数相加时和的符号由绝对值更大的数决定：若$a$为正数，则$a+b$符号为正，与$a$相同；若$a$为负数，则$a+b$符号为负，与$a$相同，该命题是真命题；
⑤ 举反例：当$a=0.8$，$b=0.5$时，满足$a＞b＞0$，但$a=0.8＜1$，该命题是假命题。
综上，真命题为①③④。
【答案】①③④
【知识点】有理数运算性质；绝对值的性质；真假命题判断
【点评】本题通过判断命题真假的形式考查有理数的基础性质，解题时可灵活运用举反例的方法快速判断假命题，熟练掌握有理数的乘方、乘法、绝对值等相关性质是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】我们逐个分析5个命题：
① 根据有理数乘法法则，若两个数的乘积为0，则至少有一个因数为0，即$a=0$或$b=0$，该命题是真命题；
② 举反例：当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2=b^2$，但$a≠b$，该命题是假命题；
③ 两个负数相乘结果为正，已知$a＜b＜0$，即$a、b$均为负数，因此$ab＞0$，该命题是真命题；
④ 若$|a|＞|b|$，说明$a$的绝对值更大，两数相加时和的符号由绝对值更大的数决定：若$a$为正数，则$a+b$符号为正，与$a$相同；若$a$为负数，则$a+b$符号为负，与$a$相同，该命题是真命题；
⑤ 举反例：当$a=0.8$，$b=0.5$时，满足$a＞b＞0$，但$a=0.8＜1$，该命题是假命题。
综上，真命题为①③④。
【答案】①③④
【知识点】有理数运算性质；绝对值的性质；真假命题判断
【点评】本题通过判断命题真假的形式考查有理数的基础性质，解题时可灵活运用举反例的方法快速判断假命题，熟练掌握有理数的乘方、乘法、绝对值等相关性质是解题的关键。
【难度系数】0.7
10. 已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行，即AB//DE，BC//EF，试探究：
（1）如图2，∠B与∠E的关系是
（2）如图3，写出∠B与∠E的关系，并说明理由.
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题.
（1）如图2，∠B与∠E的关系是
$∠ B=∠ E$
.（2）如图3，写出∠B与∠E的关系，并说明理由.
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题.
答案
10.（1）$∠ B=∠ E$
（2）$∠ B+∠ E=180°$. 理由如下：$\because AB// DE$，$\therefore ∠ B+∠ DGB=180°$. $\because BC// EF$，$\therefore ∠ E=∠ DGB$，$\therefore ∠ B+∠ E=180°$
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
（2）$∠ B+∠ E=180°$. 理由如下：$\because AB// DE$，$\therefore ∠ B+∠ DGB=180°$. $\because BC// EF$，$\therefore ∠ E=∠ DGB$，$\therefore ∠ B+∠ E=180°$
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
解析
【分析】
本题围绕平行线性质展开，解题思路清晰可寻：
1. 第（1）问可借助平行线的同位角相等性质，找两个角之间的公共过渡角，通过两次平行线性质推导+等量代换就能得出两角关系。
2. 第（2）问先观察两角边的平行方向，先由一组平行线得到同旁内角互补的关系，再由另一组平行线得到过渡角和∠E的相等关系，等量代换后即可推出两角和为180°。
3. 第（3）问综合前两问的两种情况，把“两个角的两边分别平行”作为条件，对应结论整合后整理成规范的命题表述即可。
【解析】
（1）设图2中BC与DE交于点G：
∵AB//DE，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠B=∠DGC；
∵BC//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠E=∠DGC；
通过等量代换可得∠B=∠E。
（2）∠B+∠E=180°，理由如下：
设图3中BC与DE交于点G：
∵AB//DE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠B+∠DGB=180°；
∵BC//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠E=∠DGB；
通过等量代换可得∠B+∠E=180°。
（3）结合前两问的两种结论，归纳可得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠B=∠E}$
（2）$\boldsymbol{∠B+∠E=180°}$，理由见解析
（3）$\boldsymbol{如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补}$
【知识点】
平行线的性质，等量代换，命题归纳
【点评】
本题是平行线性质的经典应用题型，需要结合图形分情况讨论两角的位置关系，既考查对平行线基础性质的掌握程度，也锻炼分类讨论思维和归纳总结能力，解题时注意不要遗漏两角互补的情况。
【难度系数】
0.7
本题围绕平行线性质展开，解题思路清晰可寻：
1. 第（1）问可借助平行线的同位角相等性质，找两个角之间的公共过渡角，通过两次平行线性质推导+等量代换就能得出两角关系。
2. 第（2）问先观察两角边的平行方向，先由一组平行线得到同旁内角互补的关系，再由另一组平行线得到过渡角和∠E的相等关系，等量代换后即可推出两角和为180°。
3. 第（3）问综合前两问的两种情况，把“两个角的两边分别平行”作为条件，对应结论整合后整理成规范的命题表述即可。
【解析】
（1）设图2中BC与DE交于点G：
∵AB//DE，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠B=∠DGC；
∵BC//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠E=∠DGC；
通过等量代换可得∠B=∠E。
（2）∠B+∠E=180°，理由如下：
设图3中BC与DE交于点G：
∵AB//DE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠B+∠DGB=180°；
∵BC//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠E=∠DGB；
通过等量代换可得∠B+∠E=180°。
（3）结合前两问的两种结论，归纳可得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠B=∠E}$
（2）$\boldsymbol{∠B+∠E=180°}$，理由见解析
（3）$\boldsymbol{如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补}$
【知识点】
平行线的性质，等量代换，命题归纳
【点评】
本题是平行线性质的经典应用题型，需要结合图形分情况讨论两角的位置关系，既考查对平行线基础性质的掌握程度，也锻炼分类讨论思维和归纳总结能力，解题时注意不要遗漏两角互补的情况。
【难度系数】
0.7
