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1 图案设计是纺织品设计中的一个重要环节，“数”可以为纺织品图案的设计提供灵感.例如：$\frac{1}{21}=0.\dot{0}47\ 61\dot{9}$，如图①是将$0.\dot{0}47\ 61\dot{9}$从上到下按蛇形排列填入方格内，然后用不同的图形“○”“△”“◇”“□”“☆”“⊙”表示各个数字，最后将图形填入方格中所得到的图案. 
是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是下列数中的（
A.$\frac{4}{27}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{2}{11}$
D.$\frac{1}{9}$
是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是下列数中的（A
）A.$\frac{4}{27}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{2}{11}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
1. A 【解析】因为$\frac{4}{27}=0.\dot{1}4\dot{8},\frac{3}{13}=0.\dot{2}30\ 76\dot{9},\frac{2}{11}=0.\dot{1}\dot{8}$,$\frac{1}{9}=0.\dot{1}$,由题图②可知,该图案中除 1 个“○”外,只含有“△”“◇”“☆”三种图形,所以易得该循环小数的小数部分有且只有3 个不一样的数字.所以这个数可能是$\frac{4}{27}$.
解析
【分析】
解题时首先抓住题干核心信息：不同的数字分别用不同的图形表示，所以图形的种类数对应循环小数中不同数字的个数。第一步先观察图②的图形种类，确定循环节包含的不同数字数量；第二步分别将四个选项的分数化为循环小数，对比循环节的不同数字个数，找到符合条件的选项即可。
【解析】
首先观察图②的图形：除1个单独的“○”外，仅包含“△”“◇”“☆”3种不同的图形，结合“不同数字对应不同图形”的规则，可知该循环小数的循环部分有且仅有3个互不相同的数字。
接下来分别计算各选项的循环小数：
A. $\frac{4}{27}=4÷27=0.\dot{1}4\dot{8}$，循环节为1、4、8，共3个不同数字，符合要求；
B. $\frac{3}{13}=3÷13=0.\dot{2}3076\dot{9}$，循环节有6个不同数字，不符合要求；
C. $\frac{2}{11}=2÷11=0.\dot{1}\dot{8}$，循环节有2个不同数字，不符合要求；
D. $\frac{1}{9}=1÷9=0.\dot{1}$，循环节只有1个数字，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
循环小数、分数与小数的互化、规律探究
【点评】
本题结合纺织品图案设计的生活场景考查循环小数的相关知识，将抽象的数字与直观的图形结合，解题的关键是建立图形种类和循环节不同数字个数的对应关系，再通过分数化小数的运算快速判断，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干核心信息：不同的数字分别用不同的图形表示，所以图形的种类数对应循环小数中不同数字的个数。第一步先观察图②的图形种类，确定循环节包含的不同数字数量；第二步分别将四个选项的分数化为循环小数，对比循环节的不同数字个数，找到符合条件的选项即可。
【解析】
首先观察图②的图形：除1个单独的“○”外，仅包含“△”“◇”“☆”3种不同的图形，结合“不同数字对应不同图形”的规则，可知该循环小数的循环部分有且仅有3个互不相同的数字。
接下来分别计算各选项的循环小数：
A. $\frac{4}{27}=4÷27=0.\dot{1}4\dot{8}$，循环节为1、4、8，共3个不同数字，符合要求；
B. $\frac{3}{13}=3÷13=0.\dot{2}3076\dot{9}$，循环节有6个不同数字，不符合要求；
C. $\frac{2}{11}=2÷11=0.\dot{1}\dot{8}$，循环节有2个不同数字，不符合要求；
D. $\frac{1}{9}=1÷9=0.\dot{1}$，循环节只有1个数字，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
循环小数、分数与小数的互化、规律探究
【点评】
本题结合纺织品图案设计的生活场景考查循环小数的相关知识，将抽象的数字与直观的图形结合，解题的关键是建立图形种类和循环节不同数字个数的对应关系，再通过分数化小数的运算快速判断，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2 某大会标识中的八卦符号(如图①)可以用于记数,请探究这个符号所表示的数,互相交流各自的计算方法.
提示:八卦中“══”称为阳爻,对应数字1;“══”称为阴爻,对应数字0,这是二进制记数法.每卦均由三个阳爻或阴爻组成(如图①),左起第一个八卦符号表示的二进制数为$(011)_2$.
【观察发现】
（1）请写出图①中左起第四个八卦符号表示的二进制数:
【拓展延伸】
二进制数转换成十进制数的方法如下:将二进制数的每一位数乘2的相应次方(从右往左依次为$2^0,2^1,2^2,2^3,\dots$),然后相加.例如:$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=8+4+0+1=13$(提示:任何不等于零的数的零次幂都等于1,如$2^0=1$).
（2）把图①中八卦符号表示的二进制数依次转换为十进制数,得到的这个四位数是什么?将这个八进制数转换为十进制数(写出计算过程).
【类比迁移】
（3）在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图②所示为远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一.根据图示,求孩子已经出生的天数.
提示:八卦中“══”称为阳爻,对应数字1;“══”称为阴爻,对应数字0,这是二进制记数法.每卦均由三个阳爻或阴爻组成(如图①),左起第一个八卦符号表示的二进制数为$(011)_2$.
【观察发现】
（1）请写出图①中左起第四个八卦符号表示的二进制数:
$(101)_2$
.【拓展延伸】
二进制数转换成十进制数的方法如下:将二进制数的每一位数乘2的相应次方(从右往左依次为$2^0,2^1,2^2,2^3,\dots$),然后相加.例如:$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=8+4+0+1=13$(提示:任何不等于零的数的零次幂都等于1,如$2^0=1$).
（2）把图①中八卦符号表示的二进制数依次转换为十进制数,得到的这个四位数是什么?将这个八进制数转换为十进制数(写出计算过程).
【类比迁移】
（3）在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图②所示为远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一.根据图示,求孩子已经出生的天数.
答案
2. (1) $(101)_2$
(2) 八卦符号表示的二进制数从左往右下依次为$(011)_2,(111)_2,(100)_2,(101)_2$,因为$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7,(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4,(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$,所以这个四位数是 3 745.
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=2\ 021$
(3) 由题意,得$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$(天),所以孩子已经出生 42 天
(2) 八卦符号表示的二进制数从左往右下依次为$(011)_2,(111)_2,(100)_2,(101)_2$,因为$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7,(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4,(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$,所以这个四位数是 3 745.
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=2\ 021$
(3) 由题意,得$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$(天),所以孩子已经出生 42 天
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：先明确规则，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，每卦的三个爻从上到下对应二进制数从高位到低位的三位，观察左起第四个八卦符号的爻的属性，依次写出对应数字即可得到二进制数。
2. 第(2)问解题思路：第一步先写出四个八卦符号分别对应的二进制数，再按照题目给出的二进制转十进制的方法，把每个二进制数换算成十进制数，按顺序组成四位数；八进制转十进制和二进制转十进制规则类似，每一位乘8的对应次方（从右往左依次是$8^0、8^1、8^2、8^3$），求和即可得到结果。
3. 第(3)问解题思路：“满五进一”说明是五进制计数，从右往左每一位的权重依次是$5^0、5^1、5^2$，先读出三根绳子上的结数作为五进制数的各位数字，再按照进制转换规则换算为十进制数，就是孩子出生的天数。
【解析】
(1) 观察左起第四个八卦符号：最上方爻为阳爻对应1，中间爻为阴爻对应0，最下方爻为阳爻对应1，因此表示的二进制数为$(101)_2$。
(2) 四个八卦符号从左到右对应的二进制数依次为$(011)_2、(111)_2、(100)_2、(101)_2$，分别转换为十进制：
$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3$
$(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7$
$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
按顺序组成的四位数为3745。
将八进制数$(3745)_8$转换为十进制：
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=3×512+7×64+4×8+5×1=1536+448+32+5=2021$
(3) 由题意“满五进一”为五进制计数，从右到左三根绳子的结数分别为2、3、1，对应五进制数各位的权重为$5^0、5^1、5^2$，因此总天数为：
$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$（天）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(101)_2}$
(2) 得到的四位数是3745，转换为十进制数是2021；
(3) 孩子已经出生42天。
【知识点】
进制转换，有理数乘方，新定义运算
【点评】
本题结合传统八卦文化、结绳计数的背景考察不同进制与十进制的转换，解题关键是读懂题目给出的进制转换规则，结合乘方运算按步骤计算即可，需要注意各位对应的幂次不要混淆。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问解题思路：先明确规则，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，每卦的三个爻从上到下对应二进制数从高位到低位的三位，观察左起第四个八卦符号的爻的属性，依次写出对应数字即可得到二进制数。
2. 第(2)问解题思路：第一步先写出四个八卦符号分别对应的二进制数，再按照题目给出的二进制转十进制的方法，把每个二进制数换算成十进制数，按顺序组成四位数；八进制转十进制和二进制转十进制规则类似，每一位乘8的对应次方（从右往左依次是$8^0、8^1、8^2、8^3$），求和即可得到结果。
3. 第(3)问解题思路：“满五进一”说明是五进制计数，从右往左每一位的权重依次是$5^0、5^1、5^2$，先读出三根绳子上的结数作为五进制数的各位数字，再按照进制转换规则换算为十进制数，就是孩子出生的天数。
【解析】
(1) 观察左起第四个八卦符号：最上方爻为阳爻对应1，中间爻为阴爻对应0，最下方爻为阳爻对应1，因此表示的二进制数为$(101)_2$。
(2) 四个八卦符号从左到右对应的二进制数依次为$(011)_2、(111)_2、(100)_2、(101)_2$，分别转换为十进制：
$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3$
$(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7$
$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
按顺序组成的四位数为3745。
将八进制数$(3745)_8$转换为十进制：
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=3×512+7×64+4×8+5×1=1536+448+32+5=2021$
(3) 由题意“满五进一”为五进制计数，从右到左三根绳子的结数分别为2、3、1，对应五进制数各位的权重为$5^0、5^1、5^2$，因此总天数为：
$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$（天）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(101)_2}$
(2) 得到的四位数是3745，转换为十进制数是2021；
(3) 孩子已经出生42天。
【知识点】
进制转换，有理数乘方，新定义运算
【点评】
本题结合传统八卦文化、结绳计数的背景考察不同进制与十进制的转换，解题关键是读懂题目给出的进制转换规则，结合乘方运算按步骤计算即可，需要注意各位对应的幂次不要混淆。
【难度系数】
0.7
