登录
19 数形结合思想 如图,将一张边长为1的正方形纸片分割成7个图形,图形①的面积是正方形纸片面积的$\frac{1}{3}$,图形②的面积是图形①面积的2倍的$\frac{1}{3}$,图形③的面积是图形②面积的2倍的$\frac{1}{3}$,…,图形⑥的面积是图形⑤面积的2倍的$\frac{1}{3}$,图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍.计算$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+…+\frac{2^5}{3^6}$的结果为________.
答案
19.$\dfrac{665}{729}$
【解析】根据题意,得$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{27}+…+\dfrac{2^5}{3^6}$恰好为图形①~⑥的面积之和,即为正方形的面积减去图形⑦的面积,
所以原式$=1-2×\dfrac{2^5}{3^6}=1-\dfrac{64}{729}=\dfrac{665}{729}$.
【解析】根据题意,得$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{27}+…+\dfrac{2^5}{3^6}$恰好为图形①~⑥的面积之和,即为正方形的面积减去图形⑦的面积,
所以原式$=1-2×\dfrac{2^5}{3^6}=1-\dfrac{64}{729}=\dfrac{665}{729}$.
解析
【分析】
首先观察待求算式的每一项，可发现其刚好对应图形①到图形⑥的面积，无需逐项累加计算，我们可以借助数形结合的思路求解：边长为1的正方形总面积是1，待求的和就是图形①到⑥的总面积，等于正方形总面积减去剩余图形⑦的面积，先根据题意求出图形⑦的面积，再用1减去该面积即可快速得到结果。
【解析】
根据题意可知，算式$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+…+\frac{2^5}{3^6}$的每一项对应图形①~⑥的面积，即该式的计算结果就是图形①~⑥的面积之和。
边长为1的正方形总面积为1，图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍，因此图形⑦的面积为：$2×\frac{2^5}{3^6}=\frac{64}{729}$。
因此原式的结果为正方形总面积减去图形⑦的面积：
$1-\frac{64}{729}=\frac{729-64}{729}=\frac{665}{729}$
【答案】
$\dfrac{665}{729}$
【知识点】
数形结合思想，有理数运算，规律探究
【点评】
本题结合图形分割考查规律探索和有理数计算，运用整体减部分的思路简化了计算过程，能够很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
首先观察待求算式的每一项，可发现其刚好对应图形①到图形⑥的面积，无需逐项累加计算，我们可以借助数形结合的思路求解：边长为1的正方形总面积是1，待求的和就是图形①到⑥的总面积，等于正方形总面积减去剩余图形⑦的面积，先根据题意求出图形⑦的面积，再用1减去该面积即可快速得到结果。
【解析】
根据题意可知，算式$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+…+\frac{2^5}{3^6}$的每一项对应图形①~⑥的面积，即该式的计算结果就是图形①~⑥的面积之和。
边长为1的正方形总面积为1，图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍，因此图形⑦的面积为：$2×\frac{2^5}{3^6}=\frac{64}{729}$。
因此原式的结果为正方形总面积减去图形⑦的面积：
$1-\frac{64}{729}=\frac{729-64}{729}=\frac{665}{729}$
【答案】
$\dfrac{665}{729}$
【知识点】
数形结合思想，有理数运算，规律探究
【点评】
本题结合图形分割考查规律探索和有理数计算，运用整体减部分的思路简化了计算过程，能够很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
20 “幻方”的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图①）.“洛书”是一种关于天地空间变化的脉络图案，它以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个“三阶幻方”（如图②）.“三阶幻方”又名九宫格，将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等.
（1）图②中的$x=\_\_\_\_\_\_,y=\_\_\_\_\_\_$；
（2）改变图②“幻方”中数字的位置，可以得到一个新的“三阶幻方”（如图③），则$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_,d=\_\_\_\_\_\_$；
（3）如图④，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“$◯$”.将$-11,-9,-7,-5,-3,-1$，$2,4,6,8,10,12$这12个数填入恰当的“$◯$”中（数不重复使用），使每个正方形的4个顶点处的“$◯$”中的数的和都为2，则$m=\_\_\_\_\_\_,n=\_\_\_\_\_\_$.
（1）图②中的$x=\_\_\_\_\_\_,y=\_\_\_\_\_\_$；
（2）改变图②“幻方”中数字的位置，可以得到一个新的“三阶幻方”（如图③），则$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_,d=\_\_\_\_\_\_$；
（3）如图④，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“$◯$”.将$-11,-9,-7,-5,-3,-1$，$2,4,6,8,10,12$这12个数填入恰当的“$◯$”中（数不重复使用），使每个正方形的4个顶点处的“$◯$”中的数的和都为2，则$m=\_\_\_\_\_\_,n=\_\_\_\_\_\_$.
答案
20.(1)9 3 (2)6 5 4 7 (3)-1 10或-11
解析
【分析】
解决幻方类问题的核心是抓住“每行、每列、每条对角线上的数字和相等”的性质。首先计算1~9的总和为45，可推出三阶幻方的每行和（幻和）为15，利用幻和即可逐一求解（1）（2）问中的未知数；第（3）问先计算给出的12个数字的总和，结合每个正方形顶点和为2的要求，通过整体求和的方法推导得出m和n的值。
【解析】
（1）先计算1到9的总和：$1+2+3+\dots+9=45$，由于三阶幻方三行的和相等，因此每行的和（幻和）为$45÷3=15$。
根据图②第三行的和为15，列等式$4+x+2=15$，解得$x=9$；
根据图②第二行的和为15，列等式$y+5+7=15$，解得$y=3$。
（2）新三阶幻方的幻和仍为15，结合行、列、对角线和为15的性质计算：
第一行和为15，得$8+a+1=15$，解得$a=6$；
第二行和为15，得$3+b+7=15$，解得$b=5$；
第三行和为15，得$9+c+2=15$，解得$c=4$；
对角线和为15，得$2+5+d=15$，解得$d=7$。
（3）先计算12个数字的总和：
负数部分和：$(-11)+(-9)+(-7)+(-5)+(-3)+(-1)=-36$
正数部分和：$2+4+6+8+10+12=42$
12个数总 sum $=-36+42=6$
已知每个正方形4个顶点的和为2，三个正方形的总 sum 为$3×2=6$，结合图形顶点的公共特性推导，可得$m=-1$，$n$的取值为10或-11。
【答案】
(1) $9$，$3$
(2) $6$，$5$，$4$，$7$
(3) $-1$，$10$或$-11$
【知识点】
幻方的性质，有理数加法运算，整体思想
【点评】
本题结合传统文化中的幻方背景，考查有理数运算能力和逻辑推理能力，解题时要抓住幻方的核心性质，灵活运用整体求和的方法简化计算，兼具趣味性和知识性。
【难度系数】
0.65
解决幻方类问题的核心是抓住“每行、每列、每条对角线上的数字和相等”的性质。首先计算1~9的总和为45，可推出三阶幻方的每行和（幻和）为15，利用幻和即可逐一求解（1）（2）问中的未知数；第（3）问先计算给出的12个数字的总和，结合每个正方形顶点和为2的要求，通过整体求和的方法推导得出m和n的值。
【解析】
（1）先计算1到9的总和：$1+2+3+\dots+9=45$，由于三阶幻方三行的和相等，因此每行的和（幻和）为$45÷3=15$。
根据图②第三行的和为15，列等式$4+x+2=15$，解得$x=9$；
根据图②第二行的和为15，列等式$y+5+7=15$，解得$y=3$。
（2）新三阶幻方的幻和仍为15，结合行、列、对角线和为15的性质计算：
第一行和为15，得$8+a+1=15$，解得$a=6$；
第二行和为15，得$3+b+7=15$，解得$b=5$；
第三行和为15，得$9+c+2=15$，解得$c=4$；
对角线和为15，得$2+5+d=15$，解得$d=7$。
（3）先计算12个数字的总和：
负数部分和：$(-11)+(-9)+(-7)+(-5)+(-3)+(-1)=-36$
正数部分和：$2+4+6+8+10+12=42$
12个数总 sum $=-36+42=6$
已知每个正方形4个顶点的和为2，三个正方形的总 sum 为$3×2=6$，结合图形顶点的公共特性推导，可得$m=-1$，$n$的取值为10或-11。
【答案】
(1) $9$，$3$
(2) $6$，$5$，$4$，$7$
(3) $-1$，$10$或$-11$
【知识点】
幻方的性质，有理数加法运算，整体思想
【点评】
本题结合传统文化中的幻方背景，考查有理数运算能力和逻辑推理能力，解题时要抓住幻方的核心性质，灵活运用整体求和的方法简化计算，兼具趣味性和知识性。
【难度系数】
0.65
21 某市统计了某部热门电影在本市的票房情况.9月30日该电影的售票量为1.1万张,10月1日至10月7日售票量(单位:万张)的变化如下表(“+”表示售票量比前一天多,“-”表示售票量比前一天少):
请根据以上信息,回答下列问题:
(1) 10月2日的售票量为多少万张?
(2) 10月7日与9月30日相比较,哪一天的售票量多?
(3) 若平均每张票价为45元,则10月1日到10月7日该市关于该部热门电影的票房收入为多少万元?
请根据以上信息,回答下列问题:
(1) 10月2日的售票量为多少万张?
(2) 10月7日与9月30日相比较,哪一天的售票量多?
(3) 若平均每张票价为45元,则10月1日到10月7日该市关于该部热门电影的票房收入为多少万元?
答案
21.(1)10月2日的售票量为$1.1+0.5+0.1=1.7$(万张)
(2)10月1日的售票量为$1.1+0.5=1.6$(万张);10月2日的售票量为$1.6+0.1=1.7$(万张);10月3日的售票量为$1.7-0.3=1.4$(万张);10月4日的售票量为$1.4-0.2=1.2$(万张);10月5日的售票量为$1.2+0.4=1.6$(万张);10月6日的售票量为$1.6-0.2=1.4$(万张);10月7日的售票量为$1.4+0.1=1.5$(万张).因为$1.5＞1.1$,所以10月7日与9月30日相比较,10月7日的售票量多
(3)由(2),知10月1日到10月7日共售票$1.6+1.7+1.4+1.2+1.6+1.4+1.5=10.4$(万张),$10.4×45=468$(万元),所以10月1日到10月7日该市关于该部热门电影的票房收入为468万元
(2)10月1日的售票量为$1.1+0.5=1.6$(万张);10月2日的售票量为$1.6+0.1=1.7$(万张);10月3日的售票量为$1.7-0.3=1.4$(万张);10月4日的售票量为$1.4-0.2=1.2$(万张);10月5日的售票量为$1.2+0.4=1.6$(万张);10月6日的售票量为$1.6-0.2=1.4$(万张);10月7日的售票量为$1.4+0.1=1.5$(万张).因为$1.5＞1.1$,所以10月7日与9月30日相比较,10月7日的售票量多
(3)由(2),知10月1日到10月7日共售票$1.6+1.7+1.4+1.2+1.6+1.4+1.5=10.4$(万张),$10.4×45=468$(万元),所以10月1日到10月7日该市关于该部热门电影的票房收入为468万元
解析
【分析】
本题是正负数在实际生活中的应用类问题，解题核心是明确表格中“+”“-”的含义：正数表示当天售票量比前一天多，负数表示当天售票量比前一天少。
(1) 求10月2日的售票量，只需以9月30日的售票量为基础，依次加上10月1日、2日的售票量变化值即可；
(2) 要比较10月7日和9月30日的售票量，先按每日变化量依次算出10月1日到7日每天的售票量，得到10月7日的售票量后和9月30日的1.1万张比较大小即可；
(3) 求总票房收入，先将10月1日到7日的售票量相加得到总售票量，再乘每张票的单价45元即可得到总票房。
【解析】
(1) 已知9月30日售票量为1.1万张，10月1日比前一天多0.5万张，10月2日比10月1日多0.1万张，因此10月2日售票量为：
$1.1 + 0.5 + 0.1 = 1.7$（万张）
(2) 依次计算10月1日到7日的售票量：
10月1日：$1.1 + 0.5 = 1.6$（万张）
10月2日：$1.6 + 0.1 = 1.7$（万张）
10月3日：$1.7 - 0.3 = 1.4$（万张）
10月4日：$1.4 - 0.2 = 1.2$（万张）
10月5日：$1.2 + 0.4 = 1.6$（万张）
10月6日：$1.6 - 0.2 = 1.4$（万张）
10月7日：$1.4 + 0.1 = 1.5$（万张）
因为$1.5 ＞ 1.1$，所以10月7日的售票量更多。
(3) 先计算10月1日到7日的总售票量：
$1.6 + 1.7 + 1.4 + 1.2 + 1.6 + 1.4 + 1.5 = 10.4$（万张）
总票房收入为总售票量乘单价：
$10.4 × 45 = 468$（万元）
【答案】
(1) 10月2日的售票量为1.7万张；
(2) 10月7日的售票量多；
(3) 10月1日到10月7日的票房收入为468万元。
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加减运算，有理数乘法应用
【点评】
本题结合生活中的票房场景考查有理数的相关运算，解题的关键是正确理解表格中正负数代表的实际含义，计算时注意仔细核对每一步的运算结果，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题是正负数在实际生活中的应用类问题，解题核心是明确表格中“+”“-”的含义：正数表示当天售票量比前一天多，负数表示当天售票量比前一天少。
(1) 求10月2日的售票量，只需以9月30日的售票量为基础，依次加上10月1日、2日的售票量变化值即可；
(2) 要比较10月7日和9月30日的售票量，先按每日变化量依次算出10月1日到7日每天的售票量，得到10月7日的售票量后和9月30日的1.1万张比较大小即可；
(3) 求总票房收入，先将10月1日到7日的售票量相加得到总售票量，再乘每张票的单价45元即可得到总票房。
【解析】
(1) 已知9月30日售票量为1.1万张，10月1日比前一天多0.5万张，10月2日比10月1日多0.1万张，因此10月2日售票量为：
$1.1 + 0.5 + 0.1 = 1.7$（万张）
(2) 依次计算10月1日到7日的售票量：
10月1日：$1.1 + 0.5 = 1.6$（万张）
10月2日：$1.6 + 0.1 = 1.7$（万张）
10月3日：$1.7 - 0.3 = 1.4$（万张）
10月4日：$1.4 - 0.2 = 1.2$（万张）
10月5日：$1.2 + 0.4 = 1.6$（万张）
10月6日：$1.6 - 0.2 = 1.4$（万张）
10月7日：$1.4 + 0.1 = 1.5$（万张）
因为$1.5 ＞ 1.1$，所以10月7日的售票量更多。
(3) 先计算10月1日到7日的总售票量：
$1.6 + 1.7 + 1.4 + 1.2 + 1.6 + 1.4 + 1.5 = 10.4$（万张）
总票房收入为总售票量乘单价：
$10.4 × 45 = 468$（万元）
【答案】
(1) 10月2日的售票量为1.7万张；
(2) 10月7日的售票量多；
(3) 10月1日到10月7日的票房收入为468万元。
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加减运算，有理数乘法应用
【点评】
本题结合生活中的票房场景考查有理数的相关运算，解题的关键是正确理解表格中正负数代表的实际含义，计算时注意仔细核对每一步的运算结果，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
