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1 计算$(-5)÷\dfrac{1}{5}×(-5)^2$的结果是 （
A.1
B.25
C.$-625$
D.$-25$
C
）A.1
B.25
C.$-625$
D.$-25$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道有理数混合运算题，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按从左到右的顺序计算，同时要注意每一步的符号判断。首先先计算乘方项$(-5)^2$，再把除法转化为乘法运算，最后按有理数乘法法则计算结果即可。
【解析】
解：按照有理数混合运算步骤计算：
1. 先计算乘方：$(-5)^2=25$，原式化简为：
$(-5)÷\dfrac{1}{5}×25$
2. 将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）：$(-5)÷\dfrac{1}{5}=(-5)×5$，原式变为：
$(-5)×5×25$
3. 依次计算乘法：
先算$(-5)×5=-25$，再算$-25×25=-625$
因此计算结果为$-625$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘除运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题主要考查有理数混合运算的规则，解题时要严格遵守运算顺序，不要随意调换同级运算的先后顺序，同时要准确判断每一步运算的符号，避免因运算顺序错误或符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道有理数混合运算题，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按从左到右的顺序计算，同时要注意每一步的符号判断。首先先计算乘方项$(-5)^2$，再把除法转化为乘法运算，最后按有理数乘法法则计算结果即可。
【解析】
解：按照有理数混合运算步骤计算：
1. 先计算乘方：$(-5)^2=25$，原式化简为：
$(-5)÷\dfrac{1}{5}×25$
2. 将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）：$(-5)÷\dfrac{1}{5}=(-5)×5$，原式变为：
$(-5)×5×25$
3. 依次计算乘法：
先算$(-5)×5=-25$，再算$-25×25=-625$
因此计算结果为$-625$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘除运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题主要考查有理数混合运算的规则，解题时要严格遵守运算顺序，不要随意调换同级运算的先后顺序，同时要准确判断每一步运算的符号，避免因运算顺序错误或符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
2 已知$(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × 3 × 8 = (\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × (3 × 8) = (\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × 24 = \dfrac{1}{6} × 24 - \dfrac{3}{4} × 24 = 4 - 18 = -14$，该运算中用的运算律是 （
A.乘法结合律及分配律
B.乘法交换律及分配律
C.乘法交换律及乘法结合律
D.分配律及加法结合律
A
）A.乘法结合律及分配律
B.乘法交换律及分配律
C.乘法交换律及乘法结合律
D.分配律及加法结合律
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆各运算律的定义，再逐一对题干中的运算变形步骤匹配对应的运算律：第一步先判断“3×8加括号优先计算”对应的运算律，第二步再判断“括号内两个数的差乘24转化为分别乘24再相减”对应的运算律，最后结合选项选出正确答案即可。
【解析】
我们逐步骤分析运算过程用到的运算律：
1. 从$(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × 3 × 8 = (\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × (3 × 8)$这一步，是将后两个乘数3和8先结合相乘，符合乘法结合律的特征（三个数相乘，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变）；
2. 从$(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × 24 = \dfrac{1}{6} × 24 - \dfrac{3}{4} × 24$这一步，是将两个数的差与24相乘，转化为两个数分别与24相乘后再相减，符合乘法分配律的特征。
整个运算过程没有用到乘法交换律、加法结合律，因此用到的运算律是乘法结合律及分配律，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法结合律，乘法分配律
【点评】
本题考查有理数运算中运算律的识别，解题核心是准确掌握不同运算律的形式特征，结合运算步骤逐一比对即可判断，是运算类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆各运算律的定义，再逐一对题干中的运算变形步骤匹配对应的运算律：第一步先判断“3×8加括号优先计算”对应的运算律，第二步再判断“括号内两个数的差乘24转化为分别乘24再相减”对应的运算律，最后结合选项选出正确答案即可。
【解析】
我们逐步骤分析运算过程用到的运算律：
1. 从$(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × 3 × 8 = (\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × (3 × 8)$这一步，是将后两个乘数3和8先结合相乘，符合乘法结合律的特征（三个数相乘，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变）；
2. 从$(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) × 24 = \dfrac{1}{6} × 24 - \dfrac{3}{4} × 24$这一步，是将两个数的差与24相乘，转化为两个数分别与24相乘后再相减，符合乘法分配律的特征。
整个运算过程没有用到乘法交换律、加法结合律，因此用到的运算律是乘法结合律及分配律，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法结合律，乘法分配律
【点评】
本题考查有理数运算中运算律的识别，解题核心是准确掌握不同运算律的形式特征，结合运算步骤逐一比对即可判断，是运算类的基础题型。
【难度系数】
0.8
3（1）计算$16.8×\frac{7}{32}+7.6×\frac{7}{16}$的结果是________；
（2）计算：$11÷\frac{1}{11}×\frac{1}{11}÷\frac{1}{11}=\_\_\_\_\_\_$；
（3）若$|a+1|+(b-2025)^2=0$，则$(b-2026)^{a+2026}$的值为________。
（2）计算：$11÷\frac{1}{11}×\frac{1}{11}÷\frac{1}{11}=\_\_\_\_\_\_$；
（3）若$|a+1|+(b-2025)^2=0$，则$(b-2026)^{a+2026}$的值为________。
答案
3.(1)7 (2)121 (3)$-1$
解析
【分析】
（1）本题是小数与分数的混合乘加运算，观察发现两个乘法项可转化为含有相同因数的形式，优先用乘法分配律简化计算，避免复杂通分。（2）本题是同级乘除混合运算，先将除法统一转化为乘法，再通过约分简化计算，注意同级运算遵循从左到右的顺序。（3）本题结合非负数性质考查乘方运算，首先根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，求出a、b的值后代入式子计算乘方即可。
【解析】
（1）先对第一项变形：$16.8×\frac{7}{32} = (16.8÷2)×\frac{7}{32÷2}=8.4×\frac{7}{16}$，
原式$=8.4×\frac{7}{16}+7.6×\frac{7}{16}$
提取公因数$\frac{7}{16}$得：
$=(8.4+7.6)×\frac{7}{16}$
$=16×\frac{7}{16}$
$=7$
（2）将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数）：
原式$=11×11×\frac{1}{11}×11$
约分计算：
$=11×(11×\frac{1}{11})×11$
$=11×1×11$
$=121$
（3）$\because |a+1|≥0$，$(b-2025)^2≥0$，且$|a+1|+(b-2025)^2=0$
$\therefore \begin{cases}a+1=0 \\ b-2025=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1 \\ b=2025\end{cases}$
将a、b代入式子：
$(b-2026)^{a+2026}=(2025-2026)^{-1+2026}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
（1）7；（2）121；（3）$-1$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、非负数的性质
【点评】
这三道题是有理数运算的常见基础题型，解题时要注意观察式子特征，灵活运用运算律简化运算，同时要牢记绝对值和偶次幂的非负性，遇到多个非负数和为0的情况可直接令每个非负数为0求解参数，计算乘方时注意底数符号和指数奇偶性的对应关系。
【难度系数】
0.8
（1）本题是小数与分数的混合乘加运算，观察发现两个乘法项可转化为含有相同因数的形式，优先用乘法分配律简化计算，避免复杂通分。（2）本题是同级乘除混合运算，先将除法统一转化为乘法，再通过约分简化计算，注意同级运算遵循从左到右的顺序。（3）本题结合非负数性质考查乘方运算，首先根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，求出a、b的值后代入式子计算乘方即可。
【解析】
（1）先对第一项变形：$16.8×\frac{7}{32} = (16.8÷2)×\frac{7}{32÷2}=8.4×\frac{7}{16}$，
原式$=8.4×\frac{7}{16}+7.6×\frac{7}{16}$
提取公因数$\frac{7}{16}$得：
$=(8.4+7.6)×\frac{7}{16}$
$=16×\frac{7}{16}$
$=7$
（2）将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数）：
原式$=11×11×\frac{1}{11}×11$
约分计算：
$=11×(11×\frac{1}{11})×11$
$=11×1×11$
$=121$
（3）$\because |a+1|≥0$，$(b-2025)^2≥0$，且$|a+1|+(b-2025)^2=0$
$\therefore \begin{cases}a+1=0 \\ b-2025=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1 \\ b=2025\end{cases}$
将a、b代入式子：
$(b-2026)^{a+2026}=(2025-2026)^{-1+2026}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
（1）7；（2）121；（3）$-1$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、非负数的性质
【点评】
这三道题是有理数运算的常见基础题型，解题时要注意观察式子特征，灵活运用运算律简化运算，同时要牢记绝对值和偶次幂的非负性，遇到多个非负数和为0的情况可直接令每个非负数为0求解参数，计算乘方时注意底数符号和指数奇偶性的对应关系。
【难度系数】
0.8
4 新考向新定义题 [2024 甘肃]定义一种新运算 *，规定运算法则为 $ m * n = m^n - m × n $（$ m,n $ 均为整数，且 $ m ≠ 0 $）。例如：$ 2 * 3 = 2^3 - 2 × 3 = 2 $，则 $ (-2) * 2 = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
4.8
解析
【分析】
本题是新定义运算题，解题时首先要准确理解给定的新运算*的规则：两个数进行*运算，结果等于第一个数的第二个数次方，减去这两个数的乘积。求解时只需将待求式中的对应数值代入规则，再按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算加减）计算即可，计算过程中要特别注意负数运算的符号问题。
【解析】
根据新运算法则$m * n = m^n - m × n$，将$m=-2$，$n=2$代入得：
$\begin{aligned}(-2)*2&=(-2)^2 - (-2)×2 \\&=4 - (-4) \\&=4 + 4 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心考查对新运算规则的迁移应用能力和有理数运算的基本功，解题的关键是找准参数对应关系，代入后严格按运算顺序计算，重点注意负数乘方、有理数减法的符号处理。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算题，解题时首先要准确理解给定的新运算*的规则：两个数进行*运算，结果等于第一个数的第二个数次方，减去这两个数的乘积。求解时只需将待求式中的对应数值代入规则，再按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算加减）计算即可，计算过程中要特别注意负数运算的符号问题。
【解析】
根据新运算法则$m * n = m^n - m × n$，将$m=-2$，$n=2$代入得：
$\begin{aligned}(-2)*2&=(-2)^2 - (-2)×2 \\&=4 - (-4) \\&=4 + 4 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心考查对新运算规则的迁移应用能力和有理数运算的基本功，解题的关键是找准参数对应关系，代入后严格按运算顺序计算，重点注意负数乘方、有理数减法的符号处理。
【难度系数】
0.8
5 计算：
(1) $-2^{3} ÷ \frac{4}{9} × (\frac{1}{6} - \frac{1}{3})$；
(2) $-8 - 3 × (-1)^{3} - (-4)^{4}$；
(3) $[-4^{2} × (-\frac{1}{4})^{2} - 0.8] ÷ (-5\frac{2}{5})$；
(4) $-|-2| - (1\frac{1}{3} + \frac{1}{8} - 2.75) × (-24)$。
(1) $-2^{3} ÷ \frac{4}{9} × (\frac{1}{6} - \frac{1}{3})$；
(2) $-8 - 3 × (-1)^{3} - (-4)^{4}$；
(3) $[-4^{2} × (-\frac{1}{4})^{2} - 0.8] ÷ (-5\frac{2}{5})$；
(4) $-|-2| - (1\frac{1}{3} + \frac{1}{8} - 2.75) × (-24)$。
答案
5.(1)3 (2)$-261$ (3)$\frac{1}{3}$ (4)$-33$
解析
【分析】
解决有理数混合运算类题目需严格遵循运算规则：①运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算；同级运算按从左到右的顺序计算。②计算前先观察式子特征，可运用乘法分配律简化计算的优先用运算律，减少计算量。③计算全程要注意符号判断，比如负数的奇次幂为负、偶次幂为正，两数相乘除同号得正、异号得负，避免符号错误。
【解析】
(1) 第一步先算乘方和括号内的运算：
$-2^3=-8$，$\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$
原式转化为同级运算：
$-8 ÷ \frac{4}{9} × (-\frac{1}{6})$
除以一个分数等于乘它的倒数，按从左到右计算：
$=-8 × \frac{9}{4} × (-\frac{1}{6})$
$=-18 × (-\frac{1}{6})=3$
(2) 先算乘方：
$(-1)^3=-1$，$(-4)^4=256$
代入原式按先乘除后加减计算：
$-8 - 3 × (-1) - 256$
$=-8 +3 -256$
$=-5 -256=-261$
(3) 先算中括号内的乘方：
$-4^2=-16$，$(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
计算中括号内的运算，再统一把小数、带分数化为分数：
中括号内：$-16 × \frac{1}{16} - 0.8=-1 - \frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$
除数$-5\frac{2}{5}=-\frac{27}{5}$
原式转化为：
$(-\frac{9}{5}) ÷ (-\frac{27}{5})=(-\frac{9}{5}) × (-\frac{5}{27})=\frac{1}{3}$
(4) 先算绝对值，再用乘法分配律计算乘法部分：
$-|-2|=-2$，把括号内的数统一为分数：$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$2.75=\frac{11}{4}$
用乘法分配律展开：
$(\frac{4}{3}+\frac{1}{8}-\frac{11}{4})×(-24)=\frac{4}{3}×(-24)+\frac{1}{8}×(-24)-\frac{11}{4}×(-24)=-32-3+66=31$
代入原式计算：
$-2 - 31=-33$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-261}$；(3) $\boxed{\frac{1}{3}}$；(4) $\boxed{-33}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的常规训练题，重点考察运算顺序的掌握和符号判断能力，合理运用运算律可有效降低计算出错率，需要熟练掌握相关运算规则，为后续代数运算打好基础。
【难度系数】
0.7
解决有理数混合运算类题目需严格遵循运算规则：①运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算；同级运算按从左到右的顺序计算。②计算前先观察式子特征，可运用乘法分配律简化计算的优先用运算律，减少计算量。③计算全程要注意符号判断，比如负数的奇次幂为负、偶次幂为正，两数相乘除同号得正、异号得负，避免符号错误。
【解析】
(1) 第一步先算乘方和括号内的运算：
$-2^3=-8$，$\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$
原式转化为同级运算：
$-8 ÷ \frac{4}{9} × (-\frac{1}{6})$
除以一个分数等于乘它的倒数，按从左到右计算：
$=-8 × \frac{9}{4} × (-\frac{1}{6})$
$=-18 × (-\frac{1}{6})=3$
(2) 先算乘方：
$(-1)^3=-1$，$(-4)^4=256$
代入原式按先乘除后加减计算：
$-8 - 3 × (-1) - 256$
$=-8 +3 -256$
$=-5 -256=-261$
(3) 先算中括号内的乘方：
$-4^2=-16$，$(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
计算中括号内的运算，再统一把小数、带分数化为分数：
中括号内：$-16 × \frac{1}{16} - 0.8=-1 - \frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$
除数$-5\frac{2}{5}=-\frac{27}{5}$
原式转化为：
$(-\frac{9}{5}) ÷ (-\frac{27}{5})=(-\frac{9}{5}) × (-\frac{5}{27})=\frac{1}{3}$
(4) 先算绝对值，再用乘法分配律计算乘法部分：
$-|-2|=-2$，把括号内的数统一为分数：$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$2.75=\frac{11}{4}$
用乘法分配律展开：
$(\frac{4}{3}+\frac{1}{8}-\frac{11}{4})×(-24)=\frac{4}{3}×(-24)+\frac{1}{8}×(-24)-\frac{11}{4}×(-24)=-32-3+66=31$
代入原式计算：
$-2 - 31=-33$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-261}$；(3) $\boxed{\frac{1}{3}}$；(4) $\boxed{-33}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的常规训练题，重点考察运算顺序的掌握和符号判断能力，合理运用运算律可有效降低计算出错率，需要熟练掌握相关运算规则，为后续代数运算打好基础。
【难度系数】
0.7
6 计算$(-3)^4 - 7^2 - \dfrac{2^6}{(-2)^3}$的结果为 （
A.$-138$
B.$-122$
C.$24$
D.$40$
D
）A.$-138$
B.$-122$
C.$24$
D.$40$
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。首先分别计算出各个乘方的结果，再计算除法运算，最后依次进行加减运算即可，运算过程中要注意准确判断乘方的符号，避免符号错误。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算各乘方项：
$(-3)^4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81$，
$7^2 = 7×7 = 49$，
$2^6 = 2×2×2×2×2×2 = 64$，
$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$；
2. 计算除法运算：
$\dfrac{2^6}{(-2)^3} = \dfrac{64}{-8} = -8$；
3. 计算加减运算：
原式$= 81 - 49 - (-8)$
$= 81 - 49 + 8$
$= 32 + 8$
$= 40$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算、有理数除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查有理数混合运算的规则，解题的易错点是乘方的符号判断以及除法运算后负号的处理，按顺序逐步演算即可有效避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。首先分别计算出各个乘方的结果，再计算除法运算，最后依次进行加减运算即可，运算过程中要注意准确判断乘方的符号，避免符号错误。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算各乘方项：
$(-3)^4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81$，
$7^2 = 7×7 = 49$，
$2^6 = 2×2×2×2×2×2 = 64$，
$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$；
2. 计算除法运算：
$\dfrac{2^6}{(-2)^3} = \dfrac{64}{-8} = -8$；
3. 计算加减运算：
原式$= 81 - 49 - (-8)$
$= 81 - 49 + 8$
$= 32 + 8$
$= 40$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算、有理数除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查有理数混合运算的规则，解题的易错点是乘方的符号判断以及除法运算后负号的处理，按顺序逐步演算即可有效避免出错。
【难度系数】
0.7
7 三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多可以有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
7.C
解析
【分析】
解题首先回忆有理数乘除运算的符号判定规则：几个非零有理数做乘除运算时，结果的正负由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时结果为正，为奇数时结果为负。首先题目明确运算结果是正数，说明三个有理数都不为0（如果有0结果为0，不符合正数的要求），接下来要找最多的负数个数，只需满足负因数个数为偶数即可，3个数里偶数个负数的情况为0个或2个，因此最多有2个负数。
【解析】
根据有理数乘除运算的符号规律：
1. 若运算结果为正数，说明参与运算的有理数不含0（若含0，运算结果为0，不符合正数要求），且负因数的个数为偶数；
2. 现有3个有理数，可选的偶数个负因数的情况为0个或2个，因此负数最多有2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘除符号法则；有理数正负性判断
【点评】
本题考查有理数乘除运算中的符号判定，解题核心是掌握负因数个数与运算结果符号的对应关系，注意排除乘数含0的特殊情况，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆有理数乘除运算的符号判定规则：几个非零有理数做乘除运算时，结果的正负由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时结果为正，为奇数时结果为负。首先题目明确运算结果是正数，说明三个有理数都不为0（如果有0结果为0，不符合正数的要求），接下来要找最多的负数个数，只需满足负因数个数为偶数即可，3个数里偶数个负数的情况为0个或2个，因此最多有2个负数。
【解析】
根据有理数乘除运算的符号规律：
1. 若运算结果为正数，说明参与运算的有理数不含0（若含0，运算结果为0，不符合正数要求），且负因数的个数为偶数；
2. 现有3个有理数，可选的偶数个负因数的情况为0个或2个，因此负数最多有2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘除符号法则；有理数正负性判断
【点评】
本题考查有理数乘除运算中的符号判定，解题核心是掌握负因数个数与运算结果符号的对应关系，注意排除乘数含0的特殊情况，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
