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9 如图所示为有三道环路的数字迷宫,每一个入口处都设置一个数,要求每一个进入者刚开始都把自己当成数“1”,进入时必须乘入口处的数,并将结果带到下一个入口,依次累乘下去,在通过最后一个入口时,只有当乘积是24时,才能进入迷宫中心.你进入迷宫中心的路径算式为
答案不唯一,如1×(-1)×3×(-8)=24
.答案
答案不唯一,如$1×(-1)×3×(-8)=24$
解析
【分析】
首先明确迷宫规则：初始数值为1，需要从外到内依次选取每层入口的数进行累乘，最终乘积为24即可进入中心。解题时先梳理清楚三层环路各自对应的入口数字，再结合有理数乘法的运算法则，尝试组合三层的数字，因为1乘任何数结果不变，所以只需三层数字的乘积为24，就能得到符合要求的路径算式。
【解析】
首先列出各层可选的入口数：
最外层（第一道环路）：-6、-1、4；
中间层（第二道环路）：2、3、-3、1；
最内层（第三道环路）：8、-8、-2。
根据要求，初始数为1，累乘三层各一个数结果为24即可，我们可以选择最外层的-1、中间层的3、最内层的-8，计算过程如下：
$1×(-1)×3×(-8)$
$=(-1)×3×(-8)$
$=(-3)×(-8)$
$=24$
符合要求，除此之外还有其他组合也满足条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$1×(-1)×3×(-8)=24$
【知识点】
有理数乘法运算，有理数混合运算
【点评】
本题是开放性题目，主要考查对有理数乘法运算的掌握程度，解题时只要熟悉有理数乘法的符号判定和计算方法，通过尝试不同的数字组合就能得到正确结果，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
首先明确迷宫规则：初始数值为1，需要从外到内依次选取每层入口的数进行累乘，最终乘积为24即可进入中心。解题时先梳理清楚三层环路各自对应的入口数字，再结合有理数乘法的运算法则，尝试组合三层的数字，因为1乘任何数结果不变，所以只需三层数字的乘积为24，就能得到符合要求的路径算式。
【解析】
首先列出各层可选的入口数：
最外层（第一道环路）：-6、-1、4；
中间层（第二道环路）：2、3、-3、1；
最内层（第三道环路）：8、-8、-2。
根据要求，初始数为1，累乘三层各一个数结果为24即可，我们可以选择最外层的-1、中间层的3、最内层的-8，计算过程如下：
$1×(-1)×3×(-8)$
$=(-1)×3×(-8)$
$=(-3)×(-8)$
$=24$
符合要求，除此之外还有其他组合也满足条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$1×(-1)×3×(-8)=24$
【知识点】
有理数乘法运算，有理数混合运算
【点评】
本题是开放性题目，主要考查对有理数乘法运算的掌握程度，解题时只要熟悉有理数乘法的符号判定和计算方法，通过尝试不同的数字组合就能得到正确结果，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
10 计算：
(1) $(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$；
(2) $32×(-\dfrac{12}{13})-(-11)×\dfrac{12}{13}-21÷(-\dfrac{13}{12})$；
(3) $-1^4-\dfrac{1}{6}×[2-(-3)^2]$；
(4) $(-3-1)×(-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{1}{2})^3$；
(5) $(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})^2×3$；
(6) $(-1\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{4})+(-3)^2÷\dfrac{1}{2}-(-4^2)$。
(1) $(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$；
(2) $32×(-\dfrac{12}{13})-(-11)×\dfrac{12}{13}-21÷(-\dfrac{13}{12})$；
(3) $-1^4-\dfrac{1}{6}×[2-(-3)^2]$；
(4) $(-3-1)×(-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{1}{2})^3$；
(5) $(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})^2×3$；
(6) $(-1\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{4})+(-3)^2÷\dfrac{1}{2}-(-4^2)$。
答案
(1) 6 (2) 0 (3) $\dfrac{1}{6}$ (4) -5 (5) -3 (6) 35
解析
【分析】
解决有理数混合运算类题目，首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内部的运算。如果式子中存在相同的因数，可以逆用乘法分配律简化计算；计算过程中要格外注意符号的判断，比如负数乘除法的符号规则、乘方运算中带括号和不带括号的负号的区别，避免符号出错。
【解析】
(1) 先算括号内和乘方：
$7-5=2$，$2^2=4$
再算乘除：
$(-1)×(-4)=4$，$4÷2=2$
最后算加减：
$4+2=6$
(2) 先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律：
原式$=-32×\dfrac{12}{13}+11×\dfrac{12}{13}+21×\dfrac{12}{13}$
$=\dfrac{12}{13}×(-32+11+21)$
$=\dfrac{12}{13}×0=0$
(3) 先算乘方，再算括号内，后算乘除，最后算加减：
$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$
括号内：$2-9=-7$
乘法运算：$\dfrac{1}{6}×(-7)=-\dfrac{7}{6}$
加减运算：$-1-(-\dfrac{7}{6})=-1+\dfrac{7}{6}=\dfrac{1}{6}$
(4) 先算括号内和乘方，再算乘除，最后算加减：
$-3-1=-4$，$(-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$
乘除运算：$(-4)×\dfrac{9}{4}=-9$，$\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{1}{8})=\dfrac{1}{2}×(-8)=-4$
加减运算：$-9-(-4)=-9+4=-5$
(5) 先算乘方，再将除法转化为乘法，最后用乘法分配律计算：
$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$
原式$=(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})÷\dfrac{1}{4}×3$
$=(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})×4×3$
$=(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})×12$
$=\dfrac{3}{4}×12+\dfrac{1}{3}×12-\dfrac{5}{6}×12-\dfrac{1}{2}×12$
$=9+4-10-6=-3$
(6) 先算乘方和乘法，再算加减：
$(-1\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{4})=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{3}{4})=1$
$(-3)^2=9$，$9÷\dfrac{1}{2}=18$
$-(-4^2)=-(-16)=16$
相加得：$1+18+16=35$
【答案】
(1) $6$；(2) $0$；(3) $\dfrac{1}{6}$；(4) $-5$；(5) $-3$；(6) $35$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本组题目核心考察有理数混合运算的规则应用，计算时要注意区分$-1^4$和$(-1)^4$这类乘方的符号差异，灵活运用运算律可以简化计算过程，降低错误率，做完后可按运算顺序反向检查结果是否正确。
【难度系数】
0.7
解决有理数混合运算类题目，首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内部的运算。如果式子中存在相同的因数，可以逆用乘法分配律简化计算；计算过程中要格外注意符号的判断，比如负数乘除法的符号规则、乘方运算中带括号和不带括号的负号的区别，避免符号出错。
【解析】
(1) 先算括号内和乘方：
$7-5=2$，$2^2=4$
再算乘除：
$(-1)×(-4)=4$，$4÷2=2$
最后算加减：
$4+2=6$
(2) 先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律：
原式$=-32×\dfrac{12}{13}+11×\dfrac{12}{13}+21×\dfrac{12}{13}$
$=\dfrac{12}{13}×(-32+11+21)$
$=\dfrac{12}{13}×0=0$
(3) 先算乘方，再算括号内，后算乘除，最后算加减：
$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$
括号内：$2-9=-7$
乘法运算：$\dfrac{1}{6}×(-7)=-\dfrac{7}{6}$
加减运算：$-1-(-\dfrac{7}{6})=-1+\dfrac{7}{6}=\dfrac{1}{6}$
(4) 先算括号内和乘方，再算乘除，最后算加减：
$-3-1=-4$，$(-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$
乘除运算：$(-4)×\dfrac{9}{4}=-9$，$\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{1}{8})=\dfrac{1}{2}×(-8)=-4$
加减运算：$-9-(-4)=-9+4=-5$
(5) 先算乘方，再将除法转化为乘法，最后用乘法分配律计算：
$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$
原式$=(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})÷\dfrac{1}{4}×3$
$=(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})×4×3$
$=(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})×12$
$=\dfrac{3}{4}×12+\dfrac{1}{3}×12-\dfrac{5}{6}×12-\dfrac{1}{2}×12$
$=9+4-10-6=-3$
(6) 先算乘方和乘法，再算加减：
$(-1\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{4})=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{3}{4})=1$
$(-3)^2=9$，$9÷\dfrac{1}{2}=18$
$-(-4^2)=-(-16)=16$
相加得：$1+18+16=35$
【答案】
(1) $6$；(2) $0$；(3) $\dfrac{1}{6}$；(4) $-5$；(5) $-3$；(6) $35$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本组题目核心考察有理数混合运算的规则应用，计算时要注意区分$-1^4$和$(-1)^4$这类乘方的符号差异，灵活运用运算律可以简化计算过程，降低错误率，做完后可按运算顺序反向检查结果是否正确。
【难度系数】
0.7
11 整体思想 已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$|x|=4$，求$x - |a + b - 2| + |1 - 2 × c × d|$的值。
答案
因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,$|x|=4$,所以$a+b=0,c×d=1,x=±4$.所以原式$=x-|0-2|+|1-2×1|=x-2+1=x-1$.当$x=4$时,原式$=4-1=3$;当$x=-4$时,原式$=-4-1=-5$
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数、倒数、绝对值的相关性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，绝对值为4的数有两个，为±4。本题采用整体思想，不需要求出a、b、c、d的具体值，直接将a+b、cd的结果代入原式，先化简绝对值部分，再分x的两种取值计算结果即可。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，$|x|=4$，
∴$a+b=0$，$cd=1$，$x=±4$。
将上述关系代入原式：
$\begin{aligned}原式&=x - |0 - 2| + |1 - 2×1|\\&=x - |-2| + |-1|\\&=x - 2 + 1\\&=x - 1\end{aligned}$
当$x=4$时，原式$=4 - 1=3$；
当$x=-4$时，原式$=-4 - 1=-5$。
【答案】
3或-5
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的运算
【点评】
本题重点考查整体代入思想的应用，解题时利用相反数、倒数的性质整体代入计算即可，无需单独求解每个字母的值，注意绝对值对应的数有正负两个，计算时不要漏解。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆相反数、倒数、绝对值的相关性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，绝对值为4的数有两个，为±4。本题采用整体思想，不需要求出a、b、c、d的具体值，直接将a+b、cd的结果代入原式，先化简绝对值部分，再分x的两种取值计算结果即可。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，$|x|=4$，
∴$a+b=0$，$cd=1$，$x=±4$。
将上述关系代入原式：
$\begin{aligned}原式&=x - |0 - 2| + |1 - 2×1|\\&=x - |-2| + |-1|\\&=x - 2 + 1\\&=x - 1\end{aligned}$
当$x=4$时，原式$=4 - 1=3$；
当$x=-4$时，原式$=-4 - 1=-5$。
【答案】
3或-5
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的运算
【点评】
本题重点考查整体代入思想的应用，解题时利用相反数、倒数的性质整体代入计算即可，无需单独求解每个字母的值，注意绝对值对应的数有正负两个，计算时不要漏解。
【难度系数】
0.75
12 新考向 新定义题 对于有理数$a,b$，定义新运算“$\bigotimes$”：$a\bigotimes b = a× b - a - b$，如$1\bigotimes 2 = 1× 2 - 1 - 2 = -1$。
（1）计算：$(-2)\bigotimes 3 =$。
（2）比较大小：$4\bigotimes (-2)\_\_\_\_\_\_(-2)\bigotimes 4$；$(-5)\bigotimes (-3)\_\_\_\_\_\_(-3)\bigotimes (-5)$；$(-\dfrac{1}{2})\bigotimes 5\_\_\_\_\_\_5\bigotimes (-\dfrac{1}{2})$（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）。
（3）我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么由（2）中的计算结果，你认为这种新运算“$\bigotimes$”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明。
（1）计算：$(-2)\bigotimes 3 =$。
（2）比较大小：$4\bigotimes (-2)\_\_\_\_\_\_(-2)\bigotimes 4$；$(-5)\bigotimes (-3)\_\_\_\_\_\_(-3)\bigotimes (-5)$；$(-\dfrac{1}{2})\bigotimes 5\_\_\_\_\_\_5\bigotimes (-\dfrac{1}{2})$（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）。
（3）我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么由（2）中的计算结果，你认为这种新运算“$\bigotimes$”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明。
答案
(1) -7 (2) = = = (3) 这种新运算“$\bigotimes$”满足交换律 理由:因为$a\bigotimes b=a×b-a-b,b\bigotimes a=b×a-b-a$,所以$a\bigotimes b=b\bigotimes a$,即这种新运算“$\bigotimes$”满足交换律.
解析
【分析】
这是一道新定义运算题，解题核心是准确理解新运算“$\bigotimes$”的规则，将新符号运算转化为我们熟悉的有理数四则运算求解。①第(1)问直接把$a=-2$、$b=3$代入给定的新运算公式，按有理数混合运算顺序计算即可；②第(2)问分别计算每组左右两个新运算的结果，再比较大小；③第(3)问结合第(2)问的相等结论，从一般情况推导$a\bigotimes b$和$b\bigotimes a$的表达式，利用乘法交换律判断是否相等，即可验证是否满足交换律。
【解析】
(1) 根据新运算规则，代入$a=-2$，$b=3$：
$(-2)\bigotimes 3 = (-2)×3 - (-2) - 3 = -6 + 2 - 3 = -7$
(2) 分别计算每组两边的结果：
① 计算$4\bigotimes (-2)$：$4×(-2) - 4 - (-2) = -8 -4 +2 = -10$
计算$(-2)\bigotimes 4$：$(-2)×4 - (-2) -4 = -8 +2 -4 = -10$
故$4\bigotimes (-2) = (-2)\bigotimes 4$
② 计算$(-5)\bigotimes (-3)$：$(-5)×(-3) - (-5) - (-3) =15 +5 +3=23$
计算$(-3)\bigotimes (-5)$：$(-3)×(-5) - (-3) - (-5)=15+3+5=23$
故$(-5)\bigotimes (-3) = (-3)\bigotimes (-5)$
③ 计算$(-\dfrac{1}{2})\bigotimes 5$：$(-\dfrac{1}{2})×5 - (-\dfrac{1}{2}) -5 = -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}-5=-2-5=-7$
计算$5\bigotimes (-\dfrac{1}{2})$：$5×(-\dfrac{1}{2}) -5 - (-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{5}{2}-5+\dfrac{1}{2}=-2-5=-7$
故$(-\dfrac{1}{2})\bigotimes 5 = 5\bigotimes (-\dfrac{1}{2})$
(3) 这种新运算“$\bigotimes$”满足交换律，理由如下：
∵ $a\bigotimes b = a×b -a -b$，$b\bigotimes a = b×a -b -a$
又
∵ 有理数乘法满足交换律，即$a×b = b×a$
∴ $a×b -a -b = b×a -b -a$，即$a\bigotimes b = b\bigotimes a$
因此该新运算满足交换律。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$
(2) $\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{=}$
(3) 这种新运算“$\bigotimes$”满足交换律，理由：因为$a\bigotimes b=a×b-a-b$，$b\bigotimes a=b×a-b-a$，所以$a\bigotimes b=b\bigotimes a$，即满足交换律。
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、运算律探究
【点评】
本题是典型的新定义类题型，侧重考查对新规则的理解转化能力和有理数运算的准确度，通过从特殊计算到一般规律的推导，也锻炼了归纳探究的思维，只要严格按照新运算规则计算，注意符号问题，即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
这是一道新定义运算题，解题核心是准确理解新运算“$\bigotimes$”的规则，将新符号运算转化为我们熟悉的有理数四则运算求解。①第(1)问直接把$a=-2$、$b=3$代入给定的新运算公式，按有理数混合运算顺序计算即可；②第(2)问分别计算每组左右两个新运算的结果，再比较大小；③第(3)问结合第(2)问的相等结论，从一般情况推导$a\bigotimes b$和$b\bigotimes a$的表达式，利用乘法交换律判断是否相等，即可验证是否满足交换律。
【解析】
(1) 根据新运算规则，代入$a=-2$，$b=3$：
$(-2)\bigotimes 3 = (-2)×3 - (-2) - 3 = -6 + 2 - 3 = -7$
(2) 分别计算每组两边的结果：
① 计算$4\bigotimes (-2)$：$4×(-2) - 4 - (-2) = -8 -4 +2 = -10$
计算$(-2)\bigotimes 4$：$(-2)×4 - (-2) -4 = -8 +2 -4 = -10$
故$4\bigotimes (-2) = (-2)\bigotimes 4$
② 计算$(-5)\bigotimes (-3)$：$(-5)×(-3) - (-5) - (-3) =15 +5 +3=23$
计算$(-3)\bigotimes (-5)$：$(-3)×(-5) - (-3) - (-5)=15+3+5=23$
故$(-5)\bigotimes (-3) = (-3)\bigotimes (-5)$
③ 计算$(-\dfrac{1}{2})\bigotimes 5$：$(-\dfrac{1}{2})×5 - (-\dfrac{1}{2}) -5 = -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}-5=-2-5=-7$
计算$5\bigotimes (-\dfrac{1}{2})$：$5×(-\dfrac{1}{2}) -5 - (-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{5}{2}-5+\dfrac{1}{2}=-2-5=-7$
故$(-\dfrac{1}{2})\bigotimes 5 = 5\bigotimes (-\dfrac{1}{2})$
(3) 这种新运算“$\bigotimes$”满足交换律，理由如下：
∵ $a\bigotimes b = a×b -a -b$，$b\bigotimes a = b×a -b -a$
又
∵ 有理数乘法满足交换律，即$a×b = b×a$
∴ $a×b -a -b = b×a -b -a$，即$a\bigotimes b = b\bigotimes a$
因此该新运算满足交换律。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$
(2) $\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{=}$
(3) 这种新运算“$\bigotimes$”满足交换律，理由：因为$a\bigotimes b=a×b-a-b$，$b\bigotimes a=b×a-b-a$，所以$a\bigotimes b=b\bigotimes a$，即满足交换律。
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、运算律探究
【点评】
本题是典型的新定义类题型，侧重考查对新规则的理解转化能力和有理数运算的准确度，通过从特殊计算到一般规律的推导，也锻炼了归纳探究的思维，只要严格按照新运算规则计算，注意符号问题，即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
