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9. 点M在线段AB上,现有四个等式:①$AM=BM$;②$BM=\frac{1}{2}AB$;③$AB=2BM$;④$AM+BM=AB$,其中能得出M是AB的中点的条件有()。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
根据线段中点的定义，结合点M在线段AB上的前提逐一判断：
① 由AM=BM，可知M将线段AB分成相等的两段，可推出M是AB的中点；
② 由BM=1/2 AB，可得AM=AB-BM=1/2 AB，即AM=BM，可推出M是AB的中点；
③ 由AB=2BM，变形可得BM=1/2 AB，同理得AM=BM，可推出M是AB的中点；
④ 点M在线段AB上时，无论M的位置如何，都满足AM+BM=AB，无法推出M是AB的中点。
综上，符合要求的条件共3个。
① 由AM=BM，可知M将线段AB分成相等的两段，可推出M是AB的中点；
② 由BM=1/2 AB，可得AM=AB-BM=1/2 AB，即AM=BM，可推出M是AB的中点；
③ 由AB=2BM，变形可得BM=1/2 AB，同理得AM=BM，可推出M是AB的中点；
④ 点M在线段AB上时，无论M的位置如何，都满足AM+BM=AB，无法推出M是AB的中点。
综上，符合要求的条件共3个。
10. 若$∠1=50°5',∠2=50.5°$,则$∠1$与$∠2$的大小关系是()。
A.$∠1＜∠2$
B.$∠1=∠2$
C.$∠1＞∠2$
D.无法确定
A.$∠1＜∠2$
B.$∠1=∠2$
C.$∠1＞∠2$
D.无法确定
答案
A
解析
根据角度换算规则1°=60'，先将∠2的单位统一为度分形式：0.5°=0.5×60'=30'，因此∠2=50°30'。对比∠1=50°5'，可得50°5'＜50°30'，即∠1＜∠2。
11. 若∠1与∠2互为补角，且∠1＜∠2，则∠1的余角是（）。
A.∠1
B.∠1+∠2
C.$\frac{1}{2}(∠1+∠2)$
D.$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$
A.∠1
B.∠1+∠2
C.$\frac{1}{2}(∠1+∠2)$
D.$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$
答案
D
解析
根据补角的定义，∠1与∠2互为补角，可得∠1+∠2=180°。由余角的定义可知，∠1的余角为90°-∠1，将90°替换为$\frac{1}{2}(∠1+∠2)$，代入化简得：$90°-∠1=\frac{1}{2}(∠1+∠2)-∠1=\frac{1}{2}(∠2-∠1)$。
12. 若$∠ AOB=30°$,过点$O$引一条射线$OC$,使$∠ BOC=15°$,则$∠ AOC$的度数为________。
答案
$15°$或$45°$
解析
本题需分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时，$∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 30° - 15° = 15°$；
2. 当射线OC在∠AOB的外部时，$∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 30° + 15° = 45°$。
因此$∠AOC$的度数为$15°$或$45°$。
1. 当射线OC在∠AOB的内部时，$∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 30° - 15° = 15°$；
2. 当射线OC在∠AOB的外部时，$∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 30° + 15° = 45°$。
因此$∠AOC$的度数为$15°$或$45°$。
13. 一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角。
答案
这个角的度数为45°
解析
首先明确余角、补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
设这个角的度数为x，
则它的补角为(180°-x)，它的余角为(90°-x)，
根据题目给出的等量关系列一元一次方程：
180° - x = 3×(90° - x)
展开计算：180° - x = 270° - 3x
移项合并同类项：2x = 90°
解得：x = 45°
验证：45°的补角是135°，余角是45°，135°是45°的3倍，符合题干条件。
设这个角的度数为x，
则它的补角为(180°-x)，它的余角为(90°-x)，
根据题目给出的等量关系列一元一次方程：
180° - x = 3×(90° - x)
展开计算：180° - x = 270° - 3x
移项合并同类项：2x = 90°
解得：x = 45°
验证：45°的补角是135°，余角是45°，135°是45°的3倍，符合题干条件。
