19.蓝天白云下,青山绿水间,支一顶帐篷,邀亲朋好友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某景区为吸引游客,准备购买A,B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需5 200元;若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需2 800元.
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格.
(2)若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的$\frac{1}{3}$,为使购买帐篷的总费用最低,应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶?购买帐篷的总费用最低为多少元?

19.(1)设每顶$A$ 种型号帐篷的价格为$x$ 元,每顶$B$ 种型号帐篷的价格为$y$ 元，
根据题意,得$\begin{cases}2x+4y=5\ 200,\\3x+y=2\ 800.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=600,\\y=1\ 000.\end{cases}$
$\therefore$ 每顶$A$ 种型号帐篷的价格为 600 元,每顶$B$ 种型号帐篷的价格为 1 000 元.
(2)设购买$A$ 种型号帐篷$m$ 顶,则购买$B$ 种型号帐篷$(20-m)$顶,总费用为$w$ 元,
由题意,得$w=600m+1\ 000(20-m)=-400m+20\ 000.$
由题意,得$m≤\dfrac{1}{3}(20-m)$，
解得$m≤5.$
又$\because$ 两种型号的帐篷均需购买，
$\therefore\begin{cases}m≥1,\\20-m≥1.\end{cases}$
解得$1≤ m≤19.$
综上,$m$ 的取值范围是$1≤ m≤5$ 且$m$ 为整数.
$\because -400＜0$，
$\therefore w$ 随$m$ 的增大而减小.
$\therefore$ 当$m=5$ 时,$w$ 取最小值,即当购买$A$ 种型号帐篷 5 顶时,总费用最低，
总费用为$600×5+1\ 000×(20-5)=18\ 000$(元).
$\therefore 20-m=20-5=15.$
故应购买$A$ 种型号帐篷 5 顶,$B$ 种型号帐篷 15 顶,购买帐篷的总费用最低为 18 000 元.

20.如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,过点A的直线交y轴于点$B(0,3)$.
(1)求m的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.

20.(1)把点$A(2,m)$代入$y=2x-\dfrac{5}{2}$,得$m=\dfrac{3}{2}.$
$\therefore$ 点$A$ 的坐标为$(2,\dfrac{3}{2})$
设直线$AB$ 的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,把点$A(2,\dfrac{3}{2})$,$B(0,3)$代入得
$\begin{cases}2k+b=\dfrac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4},\\b=3.\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$ 的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3.$
(2)$\because$ 点$P(t,y_1)$在线段$AB$ 上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，
$\therefore y_1=-\dfrac{3}{4}t+3(0≤ t≤2)$,$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}.$
$\therefore y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}.$
$\because -\dfrac{11}{4}＜0$，
$\therefore y_1-y_2$ 的值随$x$ 的增大而减小.
$\therefore$ 当$t=0$ 时,$y_1-y_2$ 有最大值,最大值为$\dfrac{15}{2}.$