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7. 观察与计算。
(1)
$1+2+1=2^2=4$
$1+2+3+2+1=3^2=9$
计算$1+2+3+\dots+99+100+99+98+\dots+3+2+1$的值。
(2) $\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
计算$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\dots+\frac{1}{2005×2006}$的值。
(1)
$1+2+1=2^2=4$
$1+2+3+2+1=3^2=9$
计算$1+2+3+\dots+99+100+99+98+\dots+3+2+1$的值。
(2) $\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
计算$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\dots+\frac{1}{2005×2006}$的值。
答案
7. （1）10000 （2）$\frac{501}{1003}$
解析
【分析】
(1) 先观察给出的两个示例算式：第一个算式中最大的加数是2，计算结果等于2的平方；第二个算式中最大的加数是3，计算结果等于3的平方。可总结规律：形如$1+2+\dots+n+\dots+2+1$的对称数列求和，结果等于数列里最大数$n$的平方。本题最大加数是100，直接套用规律计算即可。
(2) 先观察给出的分数拆分规律：分母为两个相邻正整数的乘积时，该分数可以拆成以这两个数为分母、分子为1的分数的差，即$\frac{1}{a×(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$。先把原式中每个分数按这个规律拆分，中间的分数会相互抵消，最后只剩首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据示例总结的规律：
$1+2+1=2^2$，最大加数为2；
$1+2+3+2+1=3^2$，最大加数为3；
可得通用规律：$1+2+\dots+n+\dots+2+1=n^2$。
本题中最大加数是100，因此：
$1+2+3+\dots+99+100+99+\dots+2+1=100^2=10000$。
(2) 根据裂项规律$\frac{1}{n×(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，拆分原式的每个加数：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
……
$\frac{1}{2005×2006}=\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}$
代入原式可得：
原式$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\dots+(\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006})$
中间项全部相互抵消，仅剩首尾两项：
$=\frac{1}{2} - \frac{1}{2006}$
通分计算：$\frac{1003}{2006} - \frac{1}{2006} = \frac{1002}{2006} = \frac{501}{1003}$
【答案】
(1) $10000$；(2) $\frac{501}{1003}$
【知识点】
数列找规律；分数裂项简便计算
【点评】
这两道是简便计算的经典题型，第一题需要通过观察示例总结对称数列的求和规律，第二题掌握裂项相消的方法即可快速求解，平时学习中要注意积累同类题型的通用规律，能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.6
(1) 先观察给出的两个示例算式：第一个算式中最大的加数是2，计算结果等于2的平方；第二个算式中最大的加数是3，计算结果等于3的平方。可总结规律：形如$1+2+\dots+n+\dots+2+1$的对称数列求和，结果等于数列里最大数$n$的平方。本题最大加数是100，直接套用规律计算即可。
(2) 先观察给出的分数拆分规律：分母为两个相邻正整数的乘积时，该分数可以拆成以这两个数为分母、分子为1的分数的差，即$\frac{1}{a×(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$。先把原式中每个分数按这个规律拆分，中间的分数会相互抵消，最后只剩首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据示例总结的规律：
$1+2+1=2^2$，最大加数为2；
$1+2+3+2+1=3^2$，最大加数为3；
可得通用规律：$1+2+\dots+n+\dots+2+1=n^2$。
本题中最大加数是100，因此：
$1+2+3+\dots+99+100+99+\dots+2+1=100^2=10000$。
(2) 根据裂项规律$\frac{1}{n×(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，拆分原式的每个加数：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
……
$\frac{1}{2005×2006}=\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}$
代入原式可得：
原式$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\dots+(\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006})$
中间项全部相互抵消，仅剩首尾两项：
$=\frac{1}{2} - \frac{1}{2006}$
通分计算：$\frac{1003}{2006} - \frac{1}{2006} = \frac{1002}{2006} = \frac{501}{1003}$
【答案】
(1) $10000$；(2) $\frac{501}{1003}$
【知识点】
数列找规律；分数裂项简便计算
【点评】
这两道是简便计算的经典题型，第一题需要通过观察示例总结对称数列的求和规律，第二题掌握裂项相消的方法即可快速求解，平时学习中要注意积累同类题型的通用规律，能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.6
8. 把连续奇数 1,3,5,7,…按下图的方法排列。数 1995 在哪条射线上？是这条射线上的第几个数？
答案
8. 1995是第$(1995+1)÷2=998$(个)奇数,因为周期数是8,$998÷8=124······6$,所以1995在射线$c$上,$124×2+2=250$,是第250个数
解析
【分析】
要解决这道题我们可以分三步思考：第一步先确定1995是这列连续奇数中的第几个数；第二步观察数的排列规律，找到循环周期，明确每个余数对应的射线；第三步根据除法得到的余数判断1995所在的射线，再计算它是这条射线上的第几个数。
【解析】
1. 计算1995是第几个奇数：
观察连续奇数1、3、5……的规律，第n个奇数可以表示为$2n-1$，反过来求1995对应的序号n：
$n=(1995+1)÷2=998$，即1995是第998个奇数。
2. 确定排列周期：
观察图中数的排列，从第1个奇数1开始，每8个奇数为一个循环周期，每个周期内余数对应的射线为：余1对应a、余2对应b、余3对应c、余4对应d、余5对应d、余6对应c、余7对应b、整除（余0）对应a。
3. 判断1995所在射线：
用总个数除以周期8：$998÷8=124······6$，余数是6，对应射线c。
4. 计算是射线c上的第几个数：
每个完整周期里射线c上有2个数，124个周期共有$124×2=248$个数，余数6对应这个周期内c上的第2个数，所以总个数为$248+2=250$。
【答案】
1995在射线$c$上，是这条射线上的第250个数。
【知识点】
周期问题，奇数的特征，数列规律探究
【点评】
本题将数列规律和周期问题相结合，需要先通过观察找到排列的周期规律，再结合奇数的性质计算求解，能够有效锻炼学生的观察能力和周期知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题我们可以分三步思考：第一步先确定1995是这列连续奇数中的第几个数；第二步观察数的排列规律，找到循环周期，明确每个余数对应的射线；第三步根据除法得到的余数判断1995所在的射线，再计算它是这条射线上的第几个数。
【解析】
1. 计算1995是第几个奇数：
观察连续奇数1、3、5……的规律，第n个奇数可以表示为$2n-1$，反过来求1995对应的序号n：
$n=(1995+1)÷2=998$，即1995是第998个奇数。
2. 确定排列周期：
观察图中数的排列，从第1个奇数1开始，每8个奇数为一个循环周期，每个周期内余数对应的射线为：余1对应a、余2对应b、余3对应c、余4对应d、余5对应d、余6对应c、余7对应b、整除（余0）对应a。
3. 判断1995所在射线：
用总个数除以周期8：$998÷8=124······6$，余数是6，对应射线c。
4. 计算是射线c上的第几个数：
每个完整周期里射线c上有2个数，124个周期共有$124×2=248$个数，余数6对应这个周期内c上的第2个数，所以总个数为$248+2=250$。
【答案】
1995在射线$c$上，是这条射线上的第250个数。
【知识点】
周期问题，奇数的特征，数列规律探究
【点评】
本题将数列规律和周期问题相结合，需要先通过观察找到排列的周期规律，再结合奇数的性质计算求解，能够有效锻炼学生的观察能力和周期知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
