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3. 如图,用花、白两种正方形瓷砖拼成大的正方形图形,要求中间用白瓷砖,四周用花瓷砖。
(1) 如果所拼的图形用了 100 块白瓷砖,那么花瓷砖用了多少块?
(2) 如果所拼的图形用了 100 块花瓷砖,那么白瓷砖用了多少块?
(1) 如果所拼的图形用了 100 块白瓷砖,那么花瓷砖用了多少块?
(2) 如果所拼的图形用了 100 块花瓷砖,那么白瓷砖用了多少块?
答案
3. （1）$100=10^2$ $(10+2)^2-100=44$(块)或$4×(10+1)=44$(块) （2）$100÷4-1=24$ $24×24=576$(块)
解析
【分析】
我们先观察给出的3个图形，先找白瓷砖、花瓷砖的数量规律：
第一个图形：大正方形边长是3，中间白瓷砖是1行1列，共$1=1^2$块，花瓷砖是四周的部分；
第二个图形：大正方形边长是4，中间白瓷砖是2行2列，共$4=2^2$块；
第三个图形：大正方形边长是5，中间白瓷砖是3行3列，共$9=3^2$块。
可以总结出规律：如果白瓷砖总块数是$n^2$，说明白瓷砖排成n行n列，那么大正方形的边长就是$n+2$（因为白瓷砖四周各多1层花瓷砖，上下各加1行，左右各加1列），花瓷砖的数量可以用“大正方形总瓷砖数-白瓷砖数”计算，也可以总结出简化公式：$4×(n+1)$块。
解题时，第(1)问已知白瓷砖数量，先求出n，再代入公式算花瓷砖数量；第(2)问已知花瓷砖数量，先逆推求出n，再计算白瓷砖的总块数。
【解析】
首先总结规律：设中间白瓷砖排成n行n列，则白瓷砖总块数为$n^2$块，花瓷砖的块数为$4×(n+1)$块。
(1) 已知白瓷砖共100块，因为$100=10^2$，所以$n=10$。
花瓷砖块数：$4×(10+1)=44$（块），或用大正方形总块数减去白瓷砖块数：$(10+2)^2 - 100 = 144 - 100 = 44$（块）。
(2) 已知花瓷砖共100块，根据花瓷砖公式逆推n：
$n+1 = 100÷4 = 25$，所以$n=25-1=24$。
白瓷砖总块数：$24×24=576$（块）。
【答案】
（1）44块；（2）576块
【知识点】
图形找规律，正方形面积计算，逆推运算
【点评】
本题的核心是通过观察已知图形总结白瓷砖边长、大正方形边长和花瓷砖数量之间的关系，再利用规律正向或逆向求解，解题时注意白瓷砖的边长比大正方形的边长短2，避免计算时混淆两个边长的关系。
【难度系数】
0.7
我们先观察给出的3个图形，先找白瓷砖、花瓷砖的数量规律：
第一个图形：大正方形边长是3，中间白瓷砖是1行1列，共$1=1^2$块，花瓷砖是四周的部分；
第二个图形：大正方形边长是4，中间白瓷砖是2行2列，共$4=2^2$块；
第三个图形：大正方形边长是5，中间白瓷砖是3行3列，共$9=3^2$块。
可以总结出规律：如果白瓷砖总块数是$n^2$，说明白瓷砖排成n行n列，那么大正方形的边长就是$n+2$（因为白瓷砖四周各多1层花瓷砖，上下各加1行，左右各加1列），花瓷砖的数量可以用“大正方形总瓷砖数-白瓷砖数”计算，也可以总结出简化公式：$4×(n+1)$块。
解题时，第(1)问已知白瓷砖数量，先求出n，再代入公式算花瓷砖数量；第(2)问已知花瓷砖数量，先逆推求出n，再计算白瓷砖的总块数。
【解析】
首先总结规律：设中间白瓷砖排成n行n列，则白瓷砖总块数为$n^2$块，花瓷砖的块数为$4×(n+1)$块。
(1) 已知白瓷砖共100块，因为$100=10^2$，所以$n=10$。
花瓷砖块数：$4×(10+1)=44$（块），或用大正方形总块数减去白瓷砖块数：$(10+2)^2 - 100 = 144 - 100 = 44$（块）。
(2) 已知花瓷砖共100块，根据花瓷砖公式逆推n：
$n+1 = 100÷4 = 25$，所以$n=25-1=24$。
白瓷砖总块数：$24×24=576$（块）。
【答案】
（1）44块；（2）576块
【知识点】
图形找规律，正方形面积计算，逆推运算
【点评】
本题的核心是通过观察已知图形总结白瓷砖边长、大正方形边长和花瓷砖数量之间的关系，再利用规律正向或逆向求解，解题时注意白瓷砖的边长比大正方形的边长短2，避免计算时混淆两个边长的关系。
【难度系数】
0.7
4. 如图,这是由几个正方形组成的一朵盛开的玫瑰花,里面的每个正方形的顶点分别是它外面那个正方形各边的中点。如果最外层正方形的面积是160平方厘米,那么这朵玫瑰花涂色部分花瓣的面积是多少?
答案
4. $160÷4=40(\mathrm{cm}^2)$ $40÷4=10(\mathrm{cm}^2)$ $10÷2=5(\mathrm{cm}^2)$ $40+10+5=55(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解决这道题首先要掌握正方形中点连线的面积规律：连接正方形各边中点得到的内部正方形，面积是外层正方形的一半。接下来我们分层计算涂色部分的面积：先求出最外层涂色部分的面积，再依次求出内部两层涂色部分的面积，最后将三部分面积相加即可得到总涂色面积。
【解析】
解：
1. 计算最外层涂色部分的面积：最外层涂色部分占大正方形面积的$\frac{1}{4}$，即$160÷4=40(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算中间层涂色部分的面积：中间层涂色部分是最外层涂色面积的$\frac{1}{4}$，即$40÷4=10(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算最内层涂色部分的面积：最内层涂色部分是中间层涂色面积的$\frac{1}{2}$，即$10÷2=5(\mathrm{cm}^2)$
4. 总涂色面积为三层面积之和：$40+10+5=55(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$55$平方厘米
【知识点】
正方形面积计算、中点四边形面积规律、图形分层计算
【点评】
这道题的解题关键是找到正方形和内部中点正方形的面积关系，通过分层观察涂色部分的占比简化计算，避免了逐个计算小图形面积的繁琐步骤，锻炼了图形观察和规律总结能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要掌握正方形中点连线的面积规律：连接正方形各边中点得到的内部正方形，面积是外层正方形的一半。接下来我们分层计算涂色部分的面积：先求出最外层涂色部分的面积，再依次求出内部两层涂色部分的面积，最后将三部分面积相加即可得到总涂色面积。
【解析】
解：
1. 计算最外层涂色部分的面积：最外层涂色部分占大正方形面积的$\frac{1}{4}$，即$160÷4=40(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算中间层涂色部分的面积：中间层涂色部分是最外层涂色面积的$\frac{1}{4}$，即$40÷4=10(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算最内层涂色部分的面积：最内层涂色部分是中间层涂色面积的$\frac{1}{2}$，即$10÷2=5(\mathrm{cm}^2)$
4. 总涂色面积为三层面积之和：$40+10+5=55(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$55$平方厘米
【知识点】
正方形面积计算、中点四边形面积规律、图形分层计算
【点评】
这道题的解题关键是找到正方形和内部中点正方形的面积关系，通过分层观察涂色部分的占比简化计算，避免了逐个计算小图形面积的繁琐步骤，锻炼了图形观察和规律总结能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图,把一张长方形纸片对折再对折,然后在折叠的角上剪一刀,纸的中间就剪出了一个洞。如果对折10次后,再在折叠的角上剪一刀,那么这张纸上共剪出了多少个洞?
答案
5. 对折10次后纸中间剪出洞的个数是:$2^8=256$(个)
解析
【分析】
我们可以先从简单的对折情况入手，寻找对折次数和洞的数量之间的规律，再用规律计算对折10次的洞数。首先观察题目中对折2次的情况，得到洞数是1个，再推导对折3次、4次的洞数，就能发现每增加1次对折，洞数翻倍的规律，最后根据规律计算对折10次的结果即可。
【解析】
先探究规律：
1. 题目中对折2次时，剪出的洞有1个；
2. 对折3次时，剪出的洞有2个，是对折2次洞数的2倍；
3. 对折4次时，剪出的洞有4个，是对折3次洞数的2倍；
由此可得规律：对折次数每增加1次，洞的数量就扩大为原来的2倍，即对折$n$次（$n≥2$）时，洞的数量为$2^{n-2}$个。
当对折10次时，代入规律可得：
$2^{10-2}=2^8=256$（个）
【答案】
256个
【知识点】
折叠规律探究
归纳推理
乘方计算
【点评】
这道题结合了动手操作和规律探究，需要从简单的情况出发归纳出通用规律，再运用规律解决问题，能很好地锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
我们可以先从简单的对折情况入手，寻找对折次数和洞的数量之间的规律，再用规律计算对折10次的洞数。首先观察题目中对折2次的情况，得到洞数是1个，再推导对折3次、4次的洞数，就能发现每增加1次对折，洞数翻倍的规律，最后根据规律计算对折10次的结果即可。
【解析】
先探究规律：
1. 题目中对折2次时，剪出的洞有1个；
2. 对折3次时，剪出的洞有2个，是对折2次洞数的2倍；
3. 对折4次时，剪出的洞有4个，是对折3次洞数的2倍；
由此可得规律：对折次数每增加1次，洞的数量就扩大为原来的2倍，即对折$n$次（$n≥2$）时，洞的数量为$2^{n-2}$个。
当对折10次时，代入规律可得：
$2^{10-2}=2^8=256$（个）
【答案】
256个
【知识点】
折叠规律探究
归纳推理
乘方计算
【点评】
这道题结合了动手操作和规律探究，需要从简单的情况出发归纳出通用规律，再运用规律解决问题，能很好地锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图,原先甲、乙、丙、丁四人分别坐在1,2,3,4号位子上。后来不停地交换位子:第1次是上下两排交换,第2次是左右两排交换,第3次再上下交换,第4次再左右交换……第73次交换位子后,甲坐在几号位子上?
答案
6. 每经过4次交换,甲又回到1号位子上,其周期数是4。因为$73÷4=18······1$,所以第73次交换位子后,甲坐在3号位子上
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要找到交换位子的周期规律。我们可以先依次列举前几次交换后甲的位置，会发现每经过4次交换，甲就会回到最初的1号位子，也就是周期为4。接下来用总交换次数除以周期，得到的余数对应周期内的第几次交换，就能直接判断出第73次交换后甲的位置：余数是1就对应第1次交换后的位置，余数是2对应第2次的，没有余数就对应周期最后一次（即初始位置）。
【解析】
首先观察甲的位置变化规律：
1. 初始状态（0次交换）：甲在1号位子；
2. 第1次上下交换后，甲到3号位子；
3. 第2次左右交换后，甲到4号位子；
4. 第3次上下交换后，甲到2号位子；
5. 第4次左右交换后，甲回到1号位子。
由此可知，交换的周期为4，每4次交换甲的位置就会循环一次。
计算73次交换包含的周期数和余数：
$73÷4=18······1$，即18个完整周期，还余1次交换。
余数为1，说明第73次交换后甲的位置和第1次交换后的位置相同，为3号位子。
【答案】
3号
【知识点】
周期问题，有余数的除法，规律探究
【点评】
本题侧重考查规律探究能力和周期问题的应用，解题核心是通过列举前几次的变化找到循环周期，再结合有余数的除法计算余数对应位置，思路清晰易懂，细心梳理即可答对。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要找到交换位子的周期规律。我们可以先依次列举前几次交换后甲的位置，会发现每经过4次交换，甲就会回到最初的1号位子，也就是周期为4。接下来用总交换次数除以周期，得到的余数对应周期内的第几次交换，就能直接判断出第73次交换后甲的位置：余数是1就对应第1次交换后的位置，余数是2对应第2次的，没有余数就对应周期最后一次（即初始位置）。
【解析】
首先观察甲的位置变化规律：
1. 初始状态（0次交换）：甲在1号位子；
2. 第1次上下交换后，甲到3号位子；
3. 第2次左右交换后，甲到4号位子；
4. 第3次上下交换后，甲到2号位子；
5. 第4次左右交换后，甲回到1号位子。
由此可知，交换的周期为4，每4次交换甲的位置就会循环一次。
计算73次交换包含的周期数和余数：
$73÷4=18······1$，即18个完整周期，还余1次交换。
余数为1，说明第73次交换后甲的位置和第1次交换后的位置相同，为3号位子。
【答案】
3号
【知识点】
周期问题，有余数的除法，规律探究
【点评】
本题侧重考查规律探究能力和周期问题的应用，解题核心是通过列举前几次的变化找到循环周期，再结合有余数的除法计算余数对应位置，思路清晰易懂，细心梳理即可答对。
【难度系数】
0.7
