4. 参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，若共要比赛110场，则共有个队参加比赛。

4.11

设共有$x$个队参加比赛。
每两个队之间都进行两场比赛，每个队要和其他$(x - 1)$个队比赛，每场比赛涉及两个队，所以比赛总场数为$x(x - 1)$。
已知共比赛$110$场，可得方程：$x(x - 1)=110$
$x^2 - x - 110=0$
$(x - 11)(x + 10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$（队数不能为负数，舍去）
11

5. 在同一平面内的$n$条直线两两相交，最多共有28个交点，则$n=$。

5.8

在同一平面内，$n$条直线两两相交，交点最多时，每条直线都与其他$n - 1$条直线相交，且交点不重合。此时交点总数为$\frac{n(n - 1)}{2}$。
已知最多有28个交点，则$\frac{n(n - 1)}{2}=28$，
$n(n - 1)=56$，
$n^2 - n - 56=0$，
$(n - 8)(n + 7)=0$，
解得$n = 8$或$n=-7$（直线条数不能为负，舍去），
所以$n = 8$。
8

6. (湖北随州中考改编)某水果店在两周内，标价为20元/千克的某种水果，经过两次降价后的价格为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同。求该种水果每次降价的百分率。

6.解:该种水果每次降价的百分率是10%.

解：设该种水果每次降价的百分率是$x$。
根据题意，得$20(1 - x)^2 = 16.2$
方程两边同时除以20，得$(1 - x)^2 = 0.81$
开平方，得$1 - x = \pm 0.9$
解得$x_1 = 0.1$，$x_2 = 1.9$（不合题意，舍去）
$0.1 = 10\%$
答：该种水果每次降价的百分率是$10\%$。

7. 某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按此人发送的人数再加1向外转发短信，经过两轮短信的发送，共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问：第一轮和第二轮各有多少人收到新年问候的短信？

7.解:第一轮有5人收到短信,第二轮有30人收到短信.

解:设第一轮有$x$人收到短信。
根据题意，第一轮发送后有$x$人收到，第二轮这$x$人每人向$(x + 1)$人发送，所以第二轮收到短信的人数为$x(x + 1)$。
两轮共有$35$人收到信息，则可列方程：$x + x(x + 1)=35$。
化简方程得：$x + x^2 + x=35$，即$x^2 + 2x - 35=0$。
因式分解得：$(x + 7)(x - 5)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-7$（人数不能为负数，舍去）。
所以第一轮收到短信的人数为$5$人，第二轮收到短信的人数为$x(x + 1)=5×(5 + 1)=30$人。
答：第一轮有$5$人收到短信，第二轮有$30$人收到短信。

8. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为165.5亿元，问：2，3月份平均每月的增长率是多少？

8.解:平均每月增长率为10%.

解：设2，3月份平均每月的增长率是$x$。
1月份工业产值为50亿元，2月份工业产值为$50(1 + x)$亿元，3月份工业产值为$50(1 + x)^2$亿元。
根据第一季度总产值为165.5亿元，可列方程：
$50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 165.5$
化简得：$50[1 + (1 + x) + (1 + x)^2] = 165.5$
$1 + 1 + x + 1 + 2x + x^2 = 3.31$
$x^2 + 3x + 3 = 3.31$
$x^2 + 3x - 0.31 = 0$
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -3.1$（不合题意，舍去）
答：2，3月份平均每月的增长率是10%。