登录
1.(2023 淮北期中)下列函数中,是二次函数的是(
A.$ y = 2x + 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 - x^2 $
C.$ y = 3x^2 + 1 $
D.$ y = \frac{1}{x^2} + 1 $
C
)A.$ y = 2x + 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 - x^2 $
C.$ y = 3x^2 + 1 $
D.$ y = \frac{1}{x^2} + 1 $
答案
C
解析
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\neq0$）。
A选项$y=2x + 1$是一次函数，不符合；
B选项$y=(x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$，化简后为一次函数，不符合；
C选项$y=3x^2 + 1$符合二次函数一般形式，其中$a=3\neq0$，符合；
D选项$y=\frac{1}{x^2} + 1$，自变量在分母中，不是整式函数，不符合。
A选项$y=2x + 1$是一次函数，不符合；
B选项$y=(x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$，化简后为一次函数，不符合；
C选项$y=3x^2 + 1$符合二次函数一般形式，其中$a=3\neq0$，符合；
D选项$y=\frac{1}{x^2} + 1$，自变量在分母中，不是整式函数，不符合。
2. 下列每组变量之间的关系为二次函数的是(
A.正方形周长 $ y $ 与边长 $ x $ 的关系
B.菱形面积 $ S $ 一定时,两条对角线的长 $ a $ 与 $ b $ 的关系
C.速度 $ v $ 一定时,路程 $ s $ 与时间 $ t $ 的关系
D.等边三角形的面积 $ S $ 与边长 $ x $ 的关系
D
)A.正方形周长 $ y $ 与边长 $ x $ 的关系
B.菱形面积 $ S $ 一定时,两条对角线的长 $ a $ 与 $ b $ 的关系
C.速度 $ v $ 一定时,路程 $ s $ 与时间 $ t $ 的关系
D.等边三角形的面积 $ S $ 与边长 $ x $ 的关系
答案
D
解析
A选项：正方形的周长 $y$ 与边长 $x$ 的关系是 $y = 4x$，这是一次函数，不是二次函数。
B选项：菱形面积 $S$ 一定时，两条对角线的长 $a$ 与 $b$ 的关系是 $S = \frac{1}{2}ab$，即 $ab = 2S$，这不是 $a$ 关于 $b$ 的二次函数。
C选项：速度 $v$ 一定时，路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系是 $s = vt$，这是正比例函数，不是二次函数。
D选项：等边三角形的面积 $S$ 与边长 $x$ 的关系是 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}$，这满足二次函数的定义。
B选项：菱形面积 $S$ 一定时，两条对角线的长 $a$ 与 $b$ 的关系是 $S = \frac{1}{2}ab$，即 $ab = 2S$，这不是 $a$ 关于 $b$ 的二次函数。
C选项：速度 $v$ 一定时，路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系是 $s = vt$，这是正比例函数，不是二次函数。
D选项：等边三角形的面积 $S$ 与边长 $x$ 的关系是 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}$，这满足二次函数的定义。
3. 某药企的某药品经过两次降价,每盒零售价由 $ 16 $ 元降为 $ y $ 元,设平均每次降价的百分率是 $ x $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为
$y=16(1-x)^2$
。答案
$y=16(1-x)^2$
解析
每次降价后的价格是前一次价格的$(1-x)$倍，其中$x$为平均每次降价的百分率，
第一次降价后的价格为：$16(1-x)$，
第二次降价后的价格为：$16(1-x)(1-x)=16(1-x)^2$，
所以，$y=16(1-x)^2$。
第一次降价后的价格为：$16(1-x)$，
第二次降价后的价格为：$16(1-x)(1-x)=16(1-x)^2$，
所以，$y=16(1-x)^2$。
4.(2023 宁强期末)已知自变量是 $ x $ 的函数 $ y = (m + 1) \cdot x^{|m| + 1} + 2x - 3 $ 是二次函数,那么 $ m $ 的值为
1
。答案
1（或 填 $1$）
解析
根据题意，函数 $y = (m + 1) \cdot x^{|m| + 1} + 2x - 3$ 是二次函数，那么它的最高次项必须是 $x^2$。
因此，$|m| + 1 = 2$。
解这个方程，得到 $|m| = 1$，即 $m = 1$ 或 $m = -1$。
但是，由于二次函数的最高次项系数 $m + 1$ 不能为0，所以 $m + 1 \neq 0$，即 $m \neq -1$。
综合以上分析，只有 $m = 1$ 满足所有条件。
因此，$|m| + 1 = 2$。
解这个方程，得到 $|m| = 1$，即 $m = 1$ 或 $m = -1$。
但是，由于二次函数的最高次项系数 $m + 1$ 不能为0，所以 $m + 1 \neq 0$，即 $m \neq -1$。
综合以上分析，只有 $m = 1$ 满足所有条件。
5. 下列函数中：① $ y = 1 - 3x^2 $；② $ y = 6x^2 + 2x $；③ $ y = 3x^3 + 2x $；④ $ y = x(x + 5) + 2 $；⑤ $ y = x + \frac{1}{x} $,哪些是二次函数？若是二次函数,请写出二次项系数、一次项系数及常数项。
答案
①是二次函数，二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1。
②是二次函数，二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0。
④是二次函数，将$y = x(x + 5) + 2$展开得$y = x^2 + 5x + 2$，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为2。
③$y = 3x^3 + 2x$中自变量$x$的最高次数是3，不是二次函数。
⑤$y = x+\frac{1}{x}$中$\frac{1}{x}$是反比例函数形式，不是二次函数。
综上，二次函数是①②④，其对应系数分别为：①二次项系数 - 3，一次项系数 0，常数项 1；②二次项系数 6，一次项系数 2，常数项 0；④二次项系数 1，一次项系数 5，常数项 2。
②是二次函数，二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0。
④是二次函数，将$y = x(x + 5) + 2$展开得$y = x^2 + 5x + 2$，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为2。
③$y = 3x^3 + 2x$中自变量$x$的最高次数是3，不是二次函数。
⑤$y = x+\frac{1}{x}$中$\frac{1}{x}$是反比例函数形式，不是二次函数。
综上，二次函数是①②④，其对应系数分别为：①二次项系数 - 3，一次项系数 0，常数项 1；②二次项系数 6，一次项系数 2，常数项 0；④二次项系数 1，一次项系数 5，常数项 2。
6. 重庆小面是重庆十大名小吃之一,麻辣味浓,一碗小面加入十几种佐料,还上过《舌尖上的中国》。某商家以每瓶 $ 15 $ 元购进一批重庆小面佐料,在销售中发现,当每瓶售价为 $ 20 $ 元时,每天售出 $ 50 $ 瓶；当每瓶售价提高 $ 1 $ 元时,则每天少售出 $ 2 $ 瓶。设该佐料每瓶售价为 $ x $ 元,每天售出 $ y $ 瓶。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2)设该佐料每天的利润为 $ w $ 元,求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。(不用写出自变量的取值范围)
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2)设该佐料每天的利润为 $ w $ 元,求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。(不用写出自变量的取值范围)
答案
(1)根据题意，当售价为$20$元时，销售量为$50$瓶。每当售价提高$1$元，销售量减少$2$瓶。
设售价为$x$元，销售量为$y$瓶，则销售量与售价的关系可以表示为：
$y = 50 - 2(x - 20)$。
进一步化简得：
$y = - 2x + 90$。
(2)解：每瓶的进价为$15$元，售价为$x$元，则每瓶的利润为$(x - 15)$元。
每天的销售量为$y = - 2x + 90$瓶。
因此，每天的利润$w$可以表示为：
$w = (x - 15)(- 2x + 90)$。
进一步化简得：
$w = - 2x^{2} + 120x - 1350$。
设售价为$x$元，销售量为$y$瓶，则销售量与售价的关系可以表示为：
$y = 50 - 2(x - 20)$。
进一步化简得：
$y = - 2x + 90$。
(2)解：每瓶的进价为$15$元，售价为$x$元，则每瓶的利润为$(x - 15)$元。
每天的销售量为$y = - 2x + 90$瓶。
因此，每天的利润$w$可以表示为：
$w = (x - 15)(- 2x + 90)$。
进一步化简得：
$w = - 2x^{2} + 120x - 1350$。
7.(2023 博乐市月考)已知函数 $ y = (a + 3)x^{a^2 + a - 4} + (a + 2)x + 3 $($ a $ 为常数)。求当 $ a $ 为何值时：
(1)$ y $ 是 $ x $ 的二次函数；
(2)$ y $ 是 $ x $ 的一次函数。
(1)$ y $ 是 $ x $ 的二次函数；
(2)$ y $ 是 $ x $ 的一次函数。
答案
(1) 由二次函数定义，得$\begin{cases}a^2 + a - 4 = 2 \\ a + 3 \neq 0\end{cases}$
解方程$a^2 + a - 4 = 2$，即$a^2 + a - 6 = 0$，因式分解得$(a + 3)(a - 2) = 0$，解得$a = -3$或$a = 2$。
又$a + 3 \neq 0$，即$a \neq -3$，故$a = 2$。
(2) 分三种情况：
情况①：$a + 3 = 0$，即$a = -3$，此时函数为$y = -x + 3$，是一次函数。
情况②：$a^2 + a - 4 = 1$，即$a^2 + a - 5 = 0$，解得$a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$，此时一次项系数$2a + 5 \neq 0$，是一次函数。
情况③：$a^2 + a - 4 = 0$，即$a^2 + a - 4 = 0$，解得$a = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$，此时一次项系数$a + 2 \neq 0$，是一次函数。
综上，$a = -3$或$a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$或$a = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$。
(1) $a = 2$
(2) $a = -3$，$a = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$，$a = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$，$a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$，$a = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$
解方程$a^2 + a - 4 = 2$，即$a^2 + a - 6 = 0$，因式分解得$(a + 3)(a - 2) = 0$，解得$a = -3$或$a = 2$。
又$a + 3 \neq 0$，即$a \neq -3$，故$a = 2$。
(2) 分三种情况：
情况①：$a + 3 = 0$，即$a = -3$，此时函数为$y = -x + 3$，是一次函数。
情况②：$a^2 + a - 4 = 1$，即$a^2 + a - 5 = 0$，解得$a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$，此时一次项系数$2a + 5 \neq 0$，是一次函数。
情况③：$a^2 + a - 4 = 0$，即$a^2 + a - 4 = 0$，解得$a = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$，此时一次项系数$a + 2 \neq 0$，是一次函数。
综上，$a = -3$或$a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$或$a = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$。
(1) $a = 2$
(2) $a = -3$，$a = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$，$a = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$，$a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$，$a = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$
