8. 荔枝是夏季的时令水果,不易长时间储存。某水果店将进价为 $ 18 $ 元/千克的荔枝,以 $ 28 $ 元/千克售出时,每天能售出 $ 40 $ 千克。经市场调研发现：当荔枝的售价每降低 $ 1 $ 元/千克时,平均每天能多售出 $ 10 $ 千克。若荔枝降价 $ x $ 元/千克,则：
(1)降价后,平均每天可以销售荔枝千克(用含 $ x $ 的代数式表示)；
(2)设荔枝的销售利润为 $ y(y ＞ 0) $ 元,请写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式；

(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到 $ 480 $ 元,且尽可能地减少库存压力,应将价格定为多少元/千克？

(1)$40 + 10x$；(2)$y = -10x^2 + 60x + 400$；(3)24元/千克。

(1) $40 + 10x$
(2) 由题意，每千克利润为$(28 - x - 18) = (10 - x)$元，销售量为$(40 + 10x)$千克，故$y=(10 - x)(40 + 10x)$，展开得$y = -10x^2 + 60x + 400$。
(3) 令$y = 480$，则$-10x^2 + 60x + 400 = 480$，化简得$x^2 - 6x + 8 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
因为要减少库存，需销售量更大，$x = 4$时销售量$40 + 10×4 = 80$千克大于$x = 2$时的$60$千克，故取$x = 4$，售价为$28 - 4 = 24$元/千克。

练习
(1) 函数 $ y = 2x^{2} $,当 $ x = $时,$ y $ 有最(“大”或“小”)值为；当 $ y = 2 $ 时,$ x = $。
(2) 函数 $ y = ax^{2}(a ＜ 0) $,当 $ x = $时,$ y $ 有最(“大”或“小”)值为；若点 $ (b,n) $ 和点 $ (c,n)(b \neq c) $ 都在 $ y = ax^{2} $ 的图象上,则 $ b + c = $。

(1) 0，小，0，$\pm1$
(2) 0，大，0，0

(1) 对于函数 $y = 2x^2$，因为$a=2＞0$，所以开口向上，顶点在原点。
当 $x = 0$ 时，$y$ 有最小值，$y_{最小} = 2 × 0^2 = 0$。
当 $y = 2$ 时，$2x^2 = 2$，解得 $x = \pm 1$。
(2) 对于函数 $y = ax^2 (a ＜ 0)$，因为$a＜0$，所以开口向下，顶点在原点。
当 $x = 0$ 时，$y$ 有最大值，$y_{最大} = a × 0^2 = 0$。
若点 $(b, n)$ 和点 $(c, n) (b \neq c)$ 都在 $y = ax^2$ 的图象上，则 $ax^2=n$有两个不同的解，即$b,c$为该方程的两个解，由二次方程的性质，两根之和$b+c=-\frac{0}{a}=0$。

探究一 画二次函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的大致图象
例 1 在同一直角坐标系中,画出函数 $ y = x^{2} $ 和 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的大致图象,并分别写出函数图象的顶点坐标、对称轴方程。
解：(1) 列表。
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| $y = -\frac{1}{2}x^{2}$ | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 |
(2) 描点,并连线。

函数 $ y = x^{2} $ 的顶点坐标为,对称轴为；函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的顶点坐标为,对称轴为。
名师导引 画二次函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的大致图象时,先取适当的对称点进行计算并列表(一般取 7 组对应的 $ x $ 与 $ y $ 值),然后描点,最后用平滑的曲线按图象发展趋势从左往右连线。
变式训练 在同一直角坐标系中,画出函数 $ y = 2x^{2} $ 和 $ y = -2x^{2} $ 的图象。
(1) 列表。
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = 2x^{2}$ | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
| $y = -2x^{2}$ | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 |
(2) 描点,并连线。

解：
例1
(1) 列表。
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| $y = -\frac{1}{2}x^{2}$ | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 |
(2) 描点，并连线。
函数 $y = x^{2}$ 的顶点坐标为 $(0,0)$，对称轴为 $y$ 轴（或 $x = 0$）；
函数 $y = -\frac{1}{2}x^{2}$ 的顶点坐标为 $(0,0)$，对称轴为 $y$ 轴（或 $x = 0$）。
变式训练
(1) 列表。
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = 2x^{2}$ | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
| $y = -2x^{2}$ | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 |
(2) 描点，并连线。