一般地,解析式形如的函数,叫做二次函数。其中是自变量,分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$，$a$，$b$，$c$为常数）；$x$；$a$，$b$，$c$

思考 一个函数是二次函数必须满足的条件是什么？

一个函数是二次函数必须满足的条件是函数表达式为整式，自变量最高次数是2且二次项系数不为0。

1. 函数表达式是整式；2. 自变量的最高次数是2；3. 二次项系数不为0。

练习 自变量是 $ x $ 的函数 $ y = (m - 1) \cdot x^{m^2 + 1} $ 是一个二次函数,则 $ m = $。

$-1$

根据二次函数的定义，函数 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）是二次函数。
对于给定的函数 $y = (m - 1) \cdot x^{m^2 + 1}$，要使其为二次函数，必须满足两个条件：
$m - 1 \neq 0$，即 $m \neq 1$，
$m^2 + 1 = 2$，以确保 $x$ 的最高次数为 2。
解第二个方程 $m^2 + 1 = 2$，得到 $m^2 = 1$，即 $m = \pm 1$。
但由于 $m \neq 1$，所以 $m = -1$。

例 1 已知自变量是 $ x $ 的函数 $ y = -(m + 2)x^{m^2 - 2} $($ m $ 为常数),求当 $ m $ 为何值时：
(1)$ y $ 是 $ x $ 的一次函数；
(2)$ y $ 是 $ x $ 的二次函数。
名师导引 一次函数满足的条件是：自变量次数为 $ 1 $,系数不为 $ 0 $；二次函数满足的条件是：自变量最高次数为 $ 2 $,二次项系数不为 $ 0 $。

(1) 由题意得 $m^2 - 2 = 1$ 且 $-(m + 2) \neq 0$，
解方程 $m^2 - 2 = 1$，得 $m^2 = 3$，$m = \pm \sqrt{3}$，
由 $-(m + 2) \neq 0$，得 $m \neq -2$，
所以当 $m = \sqrt{3}$ 或 $m = -\sqrt{3}$ 时，$y$ 是 $x$ 的一次函数。
(2) 由题意得 $m^2 - 2 = 2$ 且 $-(m + 2) \neq 0$，
解方程 $m^2 - 2 = 2$，得 $m^2 = 4$，$m = \pm 2$，
由 $-(m + 2) \neq 0$，得 $m \neq -2$，
所以当 $m = 2$ 时，$y$ 是 $x$ 的二次函数。

变式训练(2024 河东一模)函数 $ y = (a - 2)x^{a^2 - a} $ 是一个二次函数,则 $ a = $。

$-1$

根据二次函数的定义，函数 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）是二次函数，其形式中 $x$ 的最高次数为 $2$，并且该次数的系数不为 $0$。
对于给定的函数 $y = (a - 2)x^{a^2 - a}$，要使其为二次函数，必须满足两个条件：
$a^2 - a = 2$，以确保 $x$ 的最高次数为 $2$。
$a - 2 \neq 0$，以确保二次项的系数不为 $0$。
首先解方程 $a^2 - a = 2$，移项得 $a^2 - a - 2 = 0$。
因式分解得 $(a - 2)(a + 1) = 0$。
解得 $a = 2$ 或 $a = -1$。
然后考虑第二个条件 $a - 2 \neq 0$，排除 $a = 2$。
因此，$a = -1$。

例 2 填空(不用写出自变量的取值范围)：
(1)直角三角形的两条直角边的长度之和为 $ 7 $,一条直角边长为 $ x $,则它的面积 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为。
(2)某商品现价是 $ 20 $ 元,由于市场因素,准备进行两次降价,如果每次降价的百分率都是 $ x $,则经过两次降价后该商品的价格 $ y $(元)与 $ x $ 的函数关系式为。
(3)某商品进价为每件 $ 80 $ 元,经市场调查发现,该商品每件每降价 $ 1 $ 元,则一天可多卖出 $ 2 $ 件,当每件售价为 $ 100 $ 元时,一天可卖出 $ 50 $ 件。若每件售价为 $ x(80 ＜ x ＜ 100) $ 元,则一天卖出该商品所获利润 $ y $(元)与 $ x $(元/件)的函数关系式为。

(1)
另一条直角边长为$7 - x$，
根据直角三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab$（$a,b$为两条直角边），
可得$y=\frac{1}{2}x(7 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x$。
(2)
第一次降价后的价格是$20(1 - x)$元，
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，
所以经过两次降价后该商品的价格$y = 20(1 - x)^{2}$。
(3)
当每件售价为$x$元时，相比$100$元降价了$(100 - x)$元，
则一天多卖出$2(100 - x)$件，
那么一天卖出的数量为$50 + 2(100 - x)=250 - 2x$件，
每件的利润为$(x - 80)$元，
所以$y=(x - 80)(250 - 2x)=-2x^{2}+410x - 20000$。
故答案依次为：(1)$y =-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x$；(2)$y = 20(1 - x)^{2}$；(3)$y=-2x^{2}+410x - 20000$。

变式训练(2024 西城二模)下列问题中,$ y $ 与 $ x $ 满足的关系式是二次函数的是(填序号)：①面积为 $ 10 \, cm^2 $ 的矩形中,矩形的长 $ y(cm) $ 与宽 $ x(cm) $ 的关系；②底面圆的半径为 $ 5 \, cm $ 的圆柱中,侧面积 $ y(cm^2) $ 与圆柱的高 $ x(cm) $ 的关系；③某商品每件进价为 $ 80 $ 元,若以每件 $ x $ 元出售,可卖出 $ (100 - 2x) $ 件,利润 $ y $(元)与每件进价 $ x $(元)的关系。

③

① 面积为 $10 cm^2$ 的矩形，长 $y cm$ 与宽 $x cm$ 的关系为 $xy = 10$，即 $y = \frac{10}{x}$，这不是二次函数。
② 底面圆的半径为 $5 cm$ 的圆柱，侧面积 $y cm^2$ 与圆柱的高 $x cm$ 的关系为 $y = 2\pi × 5 × x = 10\pi x$，这是一次函数，不是二次函数。
③某商品每件进价为80元，若以每件$x$元出售，可卖出$(100 - 2x)$件，则$y = (x - 80)(100 - 2x) =-2x^2+260x-8000$，是二次函数。
综上，只有③满足。