1. 平面上有三点 $ A $,$ B $,$ C $,如果 $ AB = 8 $,$ AC = 5 $,$ BC = 3 $,则()。
A.点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上
B.点 $ B $ 在线段 $ CA $ 的延长线上
C.点 $ C $ 在直线 $ AB $ 外
D.点 $ C $ 可能在直线 $ AB $ 上,也可能在直线 $ AB $ 外

A

$AB=8$，$AC=5$，$BC=3$，
$AB=AC+BC$，
因此点 C 在线段 AB 上。
故选A。

2. 如图所示,$ B $,$ C $ 是线段 $ AD $ 上任意两点,$ M $ 是 $ AB $ 的中点,$ N $ 是 $ CD $ 中点。若 $ MN = a $,$ BC = b $,则线段 $ AD $ 的长是()。

A.$ 2(a - b) $
B.$ 2a - b $
C.$ a + b $
D.$ a - b $

B

由题意知$M$是$AB$的中点，$N$是$CD$的中点，
根据中点的性质，有：
$AM = MB = \frac{1}{2}AB$，
$CN = ND = \frac{1}{2}CD$，
由线段的和的性质，有：
$MN = MB + BC + CN$，
代入题目给定的$MN = a$和$BC = b$，得：
$a = MB + b + CN$，
从上式可以解出：
$MB + CN = a - b$，
由于$AM = MB$和$CN = ND$，所以：
$AM + DN = MB + CN = a - b$，
再次利用线段的和的性质，有：
$AD = AM + MN + DN$，
代入之前求得的$AM + DN = a - b$和题目给定的$MN = a$，得：
$AD = (a - b) + a = 2a - b$。
故答案为：B. $2a - b$。

3. 在数轴上有 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 四点,它们表示的有理数分别是 $ - 4\frac{1}{2} $,$ 3\frac{1}{4} $,$ - \frac{5}{8} $,$ - 3\frac{1}{4} $,则()。
A.点 $ C $ 是 $ BD $ 的中点
B.点 $ D $ 是 $ AB $ 的中点
C.点 $ C $ 是 $ AD $ 的中点
D.点 $ C $ 是 $ AB $ 的中点

D

首先，将各点所表示的有理数转换为更易计算的分数形式：
$A: -4\frac{1}{2} = -\frac{9}{2}$，
$B: 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$，
$C: -\frac{5}{8}$，
$D: -3\frac{1}{4} = -\frac{13}{4}$。
接下来，分别检验各选项：
A. 检验点$C$是否为$BD$的中点：
$B$和$D$的中点坐标为 $\frac{\frac{13}{4} + (-\frac{13}{4})}{2} = 0 \neq -\frac{5}{8}$，
所以点$C$不是$BD$的中点。
B. 检验点$D$是否为$AB$的中点：
$A$和$B$的中点坐标为 $\frac{-\frac{9}{2} + \frac{13}{4}}{2} = -\frac{5}{8} \neq -\frac{13}{4}$，
所以点$D$不是$AB$的中点。
C. 检验点$C$是否为$AD$的中点：
$A$和$D$的中点坐标为 $\frac{-\frac{9}{2} + (-\frac{13}{4})}{2} = -\frac{31}{8} \neq -\frac{5}{8}$，
所以点$C$不是$AD$的中点。
D. 检验点$C$是否为$AB$的中点（实际应检验是否为$A$和$B$的中点，但考虑到$A,B$对称性，此处逻辑稍作调整，直接计算）：
$A$和$B$的中点坐标为 $\frac{-\frac{9}{2} + \frac{13}{4}}{2} = -\frac{5}{8}$，
这与点$C$的坐标相同，所以点$C$是$AB$（考虑到$A,B$的对称性及中点定义，此处$AB$应理解为线段$AB$）的中点。
故答案为：D.

4. 如图所示,电力部门进行电网改造时,都尽量使电线杆排齐,根据的数学道理说明这样做可以减少电线的用量。

两点之间线段最短

根据数学道理，电力部门在电网改造时尽量使电线杆排齐，可以减少电线的用量，这是因为：
两点之间线段最短。

5. 画直线 $ l $,并在直线 $ l $ 上截取线段 $ AB = 5\ cm $,再在直线 $ l $ 上截取线段 $ BC = 2\ cm $,则线段 $ AC $ 的长是。

7 cm 或 3 cm

根据题意，有两种情况：
当点$C$在$AB$的延长线上时，
$AC = AB + BC = 5\ cm + 2\ cm = 7\ cm$。
当点$C$在$AB$上时，
$AC = AB - BC = 5\ cm - 2\ cm = 3\ cm$。
所以线段$AC$的长为$7\ cm$或$3\ cm$。

6. 如图所示,$ C $,$ D $ 将线段 $ AB $ 平均分成 $ 3 $ 份,点 $ E $ 为 $ CD $ 的中点,已知 $ BE = m $,那么 $ AD $ 的长为。

$\frac{4}{3}m$

设线段$AC=CD=DB = x$，
因为点$E$为$CD$的中点，
所以$DE=\frac{1}{2}x$，
则$BE=BD + DE=x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，
已知$BE = m$，即$\frac{3}{2}x = m$，解得$x=\frac{2}{3}m$，
所以$AD=AC + CD=x + x=2x$，
把$x=\frac{2}{3}m$代入$2x$，得$AD = 2×\frac{2}{3}m=\frac{4}{3}m$。
故答案为：$\frac{4}{3}m$。

7. 根据下列语句画图并计算。
作线段 $ AB $,在线段 $ AB $ 的延长线上取一点 $ C $,使 $ BC = 2AB $。点 $ M $ 是线段 $ AC $ 的中点。若 $ AB = 30\ cm $,求线段 $ BM $ 的长。

图略. 因为 $BC=2AB=2×30=60(cm)$，所以 $AC=AB+BC=90(cm)$. 又点 M 是 AC 的中点，所以 $AM=\frac{1}{2}AC=45(cm)$. 故 $BM=AM-AB=45-30=15(cm)$

根据题意作线段$AB$，并延长$AB$至点$C$，使得$BC = 2AB$。
由于$AB = 30\ cm$，则：
$BC = 2 × 30\ cm = 60\ cm$
$AC = AB + BC = 30\ cm + 60\ cm = 90\ cm$
点$M$是线段$AC$的中点，所以：
$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 90\ cm = 45\ cm$
$BM = AM - AB = 45\ cm - 30\ cm = 15\ cm$
故线段$BM$的长度为$15\ cm$。