7. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB=6$,$AD=10$,将$△ AED$沿$AE$翻折,使得点$D$落在边$BC$上的点$D'$处,则折痕$AE$的长是______.

$\frac{10\sqrt{10}}{3}$

8. 如图,在四边形ABCD中,AB=10,AD=6,AC平分∠BAD,且∠ACB=90°.当点C在BD的垂直平分线上时,$CD^2$的值为________.

20

三、解答题
9. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$CE ⊥ AB$,垂足为$E$,$F$是$AC$的中点,连接$DF$、$EF$.
(1)求证:$DF=EF$.
(2)连接$DE$,若$AC=2$,$DE=1$.
①判断$△ DEF$的形状,并说明理由;
②$\dfrac{BD}{AB}=$______.

$\frac{1}{2}$ ; 解：(1)证明：∵​$CE⊥AB$​，​$AD⊥BC$​，∴​$∠AEC = ∠ADC = 90°$​。又∵​$F$​是​$AC$​的中点，∴​$EF = \frac {1}{2}AC$​，​$DF = \frac {1}{2}AC$​，∴​$DF = EF$​。(2)①​$\triangle DEF$​是等边三角形。理由如下：由(1)知，​$EF = DF = \frac {1}{2}AC$​。又∵​$DE = 1$​，∴​$DE = EF = DF$​，∴​$\triangle DEF$​是等边三角形。

10. 假期，甲、乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发去博物院参观，小区与博物院的路程是4 km，甲骑自行车，乙步行，当甲沿原路回到小区时，乙刚好到达博物院，图中折线OABC、线段OD分别表示甲、乙两人距离小区的路程s(km)与所经过的时间t(min)之间的函数关系.请根据图象回答下列问题：
(1)甲在博物院参观的时间为________min，甲返回小区的速度为________km/min.
(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义.
(3)若甲、乙两人之间的距离为y km，请画出y(km)与所经过的时间t(min)之间的函数图象.

20
; 0.2
; 解：(2) 设直线 ​$ OD $​ 的函数表达式为 ​$ s = kt $​，把 ​$ D(60，4) $​ 代入，得 ​$ 60k = 4 $​，解得 ​$ k=\frac {1}{15} $​，​$∴$​ 直线 ​$ OD $​ 的函数表达式为 ​$ s=\frac {1}{15}t $​。当甲从图书馆返回时，设直线 ​$ BC $​ 的函数表达式为 ​$ s = k_{1}t + b $​，把 ​$ B(40，4) $​，​$ C(60，0) $​ 代入，得 ​$ \begin {cases}40k_{1}+b = 4\\60k_{1}+b = 0\end {cases} $​，解得 ​$ \begin {cases}k_{1}=-\frac {1}{5}\\b = 12\end {cases} $​，​$∴$​ 直线 ​$ BC $​ 的函数表达式为 ​$ s=-\frac {1}{5}t + 12 $​。令 ​$ -\frac {1}{5}t + 12=\frac {1}{15}t $​，解得 ​$ t = 45 $​，当 ​$ t = 45 $​ 时，​
$ s=\frac {1}{15}×45 = 3 $​，​$∴$​ 点 ​$ P $​ 的坐标为 ​$ (45，3) $​。点 ​$ P $​ 的实际意义：当经过的时间为 ​$ 45\ \text{min} $​ 时，甲、乙两人相遇，此时距离小区的路程为 ​$ 3\ \text{km} $​。​$(3) $​如图所示。