11.【操作思考】在如图1所示的网格中建立平面直角坐标系$xOy$.先画出正比例函数$y=x$的图象,再画出$△ ABC$关于直线$y=x$对称的$△ DEF$.


【猜想验证】猜想:点$P(a,b)$关于直线$y=x$对称的点$Q$的坐标为______.
验证点$P(a,b)$在第一象限时的情况.(请将下面的证明过程补充完整)
证明:如图2,过点$P$作$PH⊥ x$轴,垂足为$H$,$···$
【应用拓展】在$△ ABC$中,点$A$的坐标为$(3,3)$,点$B$的坐标为$(-2,-1)$,点$C$在射线$BO$上,且$AO$平分$∠ BAC$,则点$C$的坐标为______.

; $(b,a)$ ; 【猜想验证】​$(b，a)$​将证明过程补充完整如下：如图 2，过点​$P$​作​$PH⊥x$​轴，垂足为​$H$​，过点​$Q$​作​$QI⊥y$​轴，垂足为​$I$​，连接​$OQ$​。​$∵$​点​$P$​、​$Q$​关于直线​$y = x$​对称，​$∴OP = OQ$​，​$PQ⊥ON$​，​$∠QON=∠PON$​。由题意，得​$∠ION=∠HON = 45°$​，​$∴∠ION-∠QON=∠HON-∠PON$​，即​$∠IOQ=∠HOP$​。在​$\triangle IOQ$​和​$\triangle HOP$​中，​$\{\begin {array}{l}∠QIO=∠PHO，\\∠IOQ=∠HOP，\\OQ = OP，\end {array}.$​​$∴\triangle IOQ\cong \triangle HOP$​（​$AAS$​），​$∴IQ = HP = b$​，​$OI = OH = a$​，​$∴$​点​$Q$​的坐标为​$(b，a)$​。 ; 【应用拓展】​$(1，\frac {1}{2})$​解析：如图 3，过点 B 作​$BB'⊥OA$​，交直线 AO 于点 K 交 AC 的延长线于点​$B'$​。
∵点 A 的坐标为​$(3，3)$​，∴直线 OA 的函数表达式为​$y = x$​。∵AO 平分​$∠BAC$​，∴​$∠BAO = ∠B'AO$​。∵​$∠BKA = ∠B'KA = 90°$​，​$AK = AK$​，∴​$△BKA≌△B'KA(\mathrm {ASA})$​，∴​$BK = B'K$​。∵​$BB'⊥AO$​，∴点 B、​$B'$​关于直线​$y = x$​对称。∵点​$B(-2，-1)$​，∴点​$B'(-1，-2)$​。设直线​$AB'$​的函数表达式为​$y = kx + b$​，把点​$A(3，3)$​、​$B'(-1，-2)$​的坐标代入，得​$\begin {cases}3k + b = 3\\-k + b = -2\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}k = \frac {5}{4}\\b = -\frac {3}{4}\end {cases}$​，∴直线​$AB'$​的函数表达式为​$y = \frac {5}{4}x - \frac {3}{4}$​。又∵直线 BO 的函数表达式为​$y = \frac {1}{2}x$​，∴联立得方程组​$\begin {cases}y = \frac {5}{4}x - \frac {3}{4}\\y = \frac {1}{2}x\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}x = 1\\y = \frac {1}{2}\end {cases}$​，∴点 C 的坐标为​$(1，\frac {1}{2})$​。 ; $(1,\frac{1}{2})$