10. 一次函数$y = x + 1$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A$,$B$两点,点$C$在$x$轴上.若$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点$C$共有个.

10. 4 解析:分 AB = AC,BA = BC,CA = CB 三种情况进行讨论, 可借助圆规寻找点 C 的位置.

解：一次函数$y=x+1$与$x$轴交于$A(-1,0)$，与$y$轴交于$B(0,1)$，则$OA=1$，$OB=1$，$AB=\sqrt{(-1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$。
情况1：$AB=AC$
以$A$为圆心，$AB$为半径画圆，与$x$轴交于$C_1(-1-\sqrt{2},0)$，$C_2(-1+\sqrt{2},0)$。
情况2：$BA=BC$
以$B$为圆心，$BA$为半径画圆，与$x$轴交于$C_3(1,0)$（$A$点除外）。
情况3：$CA=CB$
线段$AB$垂直平分线为$y=-x$，与$x$轴交于$C_4(0,0)$。
综上，满足条件的点$C$共有4个。
4

11. 在平面直角坐标系中,点$A$的坐标为$(-1,-1)$,点$B$的坐标为$(2,7)$,$M$为$x$轴上的一个动点.若要使$MB - MA$的值最大,则点$M$的坐标为.

$11. (-\frac{3}{2},0) $解析:作点 B 关于 x 轴的对称点 B', 则直线 AB' 与 x 轴的交点的坐标即为所求.

作点$B$关于$x$轴的对称点$B'(2,-7)$。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,-1)$，$B'(2,-7)$代入得：
$\begin{cases}-k + b = -1 \\2k + b = -7\end{cases}$
解得$k=-2$，$b=-3$，所以直线$AB'$的解析式为$y=-2x - 3$。
令$y=0$，则$-2x - 3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$，所以点$M$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$。
$(-\frac{3}{2},0)$

12. (2023·温州)如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y = 2x - \dfrac{5}{2}$上,过点$A$的直线交$y$轴于点$B(0,3)$.
(1) 求$m$的值和直线$AB$对应的函数表达式;
(2) 若点$P(t,y_1)$在线段$AB$上,点$Q(t - 1,y_2)$在直线$y = 2x - \dfrac{5}{2}$上,求$y_1 - y_2$的最大值.
]

12.
(1) 把 A(2,m)代入$ y = 2x - \frac{5}{2}, $得$ m = \frac{3}{2}. $设直线 AB 对应的函数表达式为 y = kx + b. 把$ A(2,\frac{3}{2}),B(0,3)$代入, 得$ \begin{cases}2k + b = \frac{3}{2} \\ b = 3 \end{cases} $解得$ \begin{cases}k = -\frac{3}{4} \\ b = 3 \end{cases} $
∴ 直线 AB 对应的函数表达式为$ y = -\frac{3}{4}x + 3 (2) $
∵ 点$ P(t,y_1)$在线段 AB 上, 点$ Q(t - 1,y_2)$在直线$ y = 2x - \frac{5}{2} $上,
∴$ y_1 = -\frac{3}{4}t + 3,y_2 = 2(t - 1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2},0≤t≤2,$
∴$ y_1 - y_2 = -\frac{3}{4}t + 3 - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2} $
∵$ -\frac{11}{4}＜0,$
∴$ y_1 - y_2 $的值随 t 的增大而减小. 又
∵ 0≤t≤2,
∴ 当 t = 0 时$, y_1 - y_2 $取得最大值, 为$\frac{15}{2}$

13. (2025·太仓期末)如图,一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象与$y$轴交于点$A(0,2)$,与$x$轴交于点$B(-4,0)$.
(1) 求该一次函数的表达式.
(2) $P(a,0)$是$x$轴上的动点,一次函数$y = mx + n(m \neq 0)$的图象经过点$P$,且与一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象交于点$C$,且点$C$的横坐标为$2$,连接$AP$.
① 若$S_{\triangle PAC} = \dfrac{5}{2}$,求$a$的值;
② 当$x ＞ 2$时,对于$x$的每一个值,函数$y = mx + n(m \neq 0)$的值都大于$y = kx + b(k \neq 0)$的值,则$a$的取值范围是.
]

13.
(1)
∵ 一次函数 y = kx + b(k≠0)的图象与 y 轴交于点 A(0,2), 与 x 轴交于点 B(-4,0),
∴$ \begin{cases}-4k + b = 0 \\ b = 2 \end{cases} $
∴$ \begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b = 2 \end{cases} $
∴ 该一次函数的表达式为$ y = \frac{1}{2}x + 2 (2) ① $将 x = 2 代入$ y = \frac{1}{2}x + 2, $得$ y = \frac{1}{2}×2 + 2 = 3, $
∴ C(2,3).
∵ B(-4,0),P(a,0),
∴ PB = |a - (-4)| = |a + 4|.
∵$ S_{△BPC} - S_{△BPA} = S_{△APC},$
∴$ \frac{1}{2}$|a + 4|$×3 - \frac{1}{2}$|a + 4|$×2 = \frac{5}{2}, $解得 a = 1 或 a = -9 ② -4＜a＜2