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1. (2024·兴安盟)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.如图所示的图象反映的过程是该同学从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐,饭后骑自行车到图书馆.图中用$x(min)$表示时间,$y(km)$表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论:① 体育场离该同学家$2.5\ km$;② 该同学在体育场锻炼了$15\ min$;③ 该同学跑步的平均速度是步行平均速度的$2$倍;④ 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的$1.5$倍,则$a$的值是$3.75$.其中,正确结论的个数是(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
]
C
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
]
答案
1. C 解析:①②④正确.
2. (2023·乐山)下列各点在函数$y = 2x - 1$的图象上的是(
A.$(-1,3)$
B.$(0,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(2,3)$
D
)A.$(-1,3)$
B.$(0,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(2,3)$
答案
2. D
解析
将各点代入函数$y = 2x - 1$：
对于点A$(-1,3)$，$y=2×(-1)-1=-3\neq3$，不在函数图象上；
对于点B$(0,1)$，$y=2×0 - 1=-1\neq1$，不在函数图象上；
对于点C$(1,-1)$，$y=2×1 - 1=1\neq-1$，不在函数图象上；
对于点D$(2,3)$，$y=2×2 - 1=3$，在函数图象上。
D
对于点A$(-1,3)$，$y=2×(-1)-1=-3\neq3$，不在函数图象上；
对于点B$(0,1)$，$y=2×0 - 1=-1\neq1$，不在函数图象上；
对于点C$(1,-1)$，$y=2×1 - 1=1\neq-1$，不在函数图象上；
对于点D$(2,3)$，$y=2×2 - 1=3$，在函数图象上。
D
3. (2024·临夏)一次函数$y = kx - 1(k \neq 0)$的函数值$y$随$x$的增大而减小,它的图象不经过的象限是(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3. A
解析
∵一次函数$y = kx - 1(k \neq 0)$的函数值$y$随$x$的增大而减小，
∴$k ＜ 0$。
又
∵$b=-1 ＜ 0$，
∴一次函数$y = kx - 1$的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
A
4. (2025·太仓期末)如图,直线$y = \dfrac{1}{2}x + 4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$,$B$两点,$C$为$x$轴负半轴上的一点,连接$BC$,过点$C$作$CD \perp BC$,与线段$AB$交于点$D$.若$CD = CB$,则点$D$的坐标为(
A.$\left(-\dfrac{13}{3},\dfrac{11}{6}\right)$
B.$\left(-\dfrac{14}{3},\dfrac{5}{3}\right)$
C.$\left(-5,\dfrac{3}{2}\right)$
D.$\left(-\dfrac{16}{3},\dfrac{4}{3}\right)$
]
D
)A.$\left(-\dfrac{13}{3},\dfrac{11}{6}\right)$
B.$\left(-\dfrac{14}{3},\dfrac{5}{3}\right)$
C.$\left(-5,\dfrac{3}{2}\right)$
D.$\left(-\dfrac{16}{3},\dfrac{4}{3}\right)$
]
答案
4. D 解析:
∵$ y=\frac{1}{2}x + 4,$
∴ B(0,4),
∴ OB = 4. 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E, 则易得△BCO≌△CDE,
∴ BO = CE = 4,CO = DE. 设 C(a,0), 则 E(a - 4,0),DE = -a,
∴ D(a - 4,-a). 把点 D 的坐标代入$ y=\frac{1}{2}x + 4, $得$ -a=\frac{1}{2}(a - 4)+4,$
∴$ a=-\frac{4}{3},$
∴$ D(-\frac{16}{3},\frac{4}{3}).$
∵$ y=\frac{1}{2}x + 4,$
∴ B(0,4),
∴ OB = 4. 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E, 则易得△BCO≌△CDE,
∴ BO = CE = 4,CO = DE. 设 C(a,0), 则 E(a - 4,0),DE = -a,
∴ D(a - 4,-a). 把点 D 的坐标代入$ y=\frac{1}{2}x + 4, $得$ -a=\frac{1}{2}(a - 4)+4,$
∴$ a=-\frac{4}{3},$
∴$ D(-\frac{16}{3},\frac{4}{3}).$
5. (2023·盘锦)已知关于$x$的一次函数$y = (2a + 1)x + a - 2$.若$y$随$x$的增大而增大,且图象与$y$轴的交点在原点下方,则实数$a$的取值范围是
-\frac{1}{2}＜a＜2
.答案
$5. -\frac{1}{2}＜a＜2$
解析
解：因为一次函数$y=(2a + 1)x + a - 2$中$y$随$x$的增大而增大，所以$2a + 1＞0$，解得$a＞-\frac{1}{2}$。
又因为图象与$y$轴的交点在原点下方，所以当$x=0$时，$y=a - 2＜0$，解得$a＜2$。
综上，$a$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜2$。
又因为图象与$y$轴的交点在原点下方，所以当$x=0$时，$y=a - 2＜0$，解得$a＜2$。
综上，$a$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜2$。
6. (1) 将一次函数$y = 2x - 4$的图象沿$x$轴向左平移$4$个单位长度,所得到的图象对应的函数表达式为
(2) 一个正比例函数的图象经过点$A(-2,3)$,$B(a,-3)$,则$a$的值为
y = 2x + 4
;(2) 一个正比例函数的图象经过点$A(-2,3)$,$B(a,-3)$,则$a$的值为
2
.答案
6.
(1) y = 2x + 4
(2) 2
(1) y = 2x + 4
(2) 2
7. (2023·济南)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.如图,$l_1$和$l_2$分别表示两人到小亮家的距离$s(km)$和时间$t(h)$之间的关系,则出发
]
0.35
$h$后两人相遇.]
答案
7. 0.35
解析
解：设$l_1$的解析式为$s=k_1t+b$，将$(0,3.5)$，$(0.5,6)$代入得：
$\begin{cases}b=3.5 \\0.5k_1 + b=6\end{cases}$
解得$k_1=5$，$b=3.5$，故$s=5t + 3.5$。
设$l_2$的解析式为$s=k_2t$，将$(0.4,6)$代入得$0.4k_2=6$，解得$k_2=15$，故$s=15t$。
令$5t + 3.5=15t$，解得$t=0.35$。
0.35
$\begin{cases}b=3.5 \\0.5k_1 + b=6\end{cases}$
解得$k_1=5$，$b=3.5$，故$s=5t + 3.5$。
设$l_2$的解析式为$s=k_2t$，将$(0.4,6)$代入得$0.4k_2=6$，解得$k_2=15$，故$s=15t$。
令$5t + 3.5=15t$，解得$t=0.35$。
0.35
8. 已知一次函数$y = 3x - 1$的图象与正比例函数$y = kx$($k$是常数,$k \neq 0$)的图象的交点坐标是$(1,2)$,则方程组$\begin{cases}3x - y = 1,\\kx - y = 0\end{cases}$的解是
\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}
.答案
$8. \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
9. 已知一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象经过点$(0,2)$,且与两坐标轴围成的三角形的面积为$2$,则该一次函数的表达式为
y = x + 2 或 y = -x + 2
.答案
9. y = x + 2 或 y = -x + 2 解析:由题意, 得 b = 2,
∴ y = kx + 2,
∴ 该一次函数的图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为$(-\frac{2}{k},0),(0,2),$
∴$ \frac{1}{2}×$|$-\frac{2}{k}$|×2 = 2,
∴ |$-\frac{2}{k}$| = 2, 解得 k = 1 或 k = -1,
∴ 该一次函数的表达式为 y = x + 2 或 y = -x + 2.
∴ y = kx + 2,
∴ 该一次函数的图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为$(-\frac{2}{k},0),(0,2),$
∴$ \frac{1}{2}×$|$-\frac{2}{k}$|×2 = 2,
∴ |$-\frac{2}{k}$| = 2, 解得 k = 1 或 k = -1,
∴ 该一次函数的表达式为 y = x + 2 或 y = -x + 2.
