14. (2024·常熟期中)如图,在平面直角坐标系中,$A,B$分别为$x$轴正半轴和$y$轴正半轴上两点.以$AB$为斜边作等腰直角三角形$ABC$,使点$C$在直线$AB$下方.
(1)若点$A$的坐标为$(6,0)$,点$B$的坐标为$(0,2)$,则点$C$的坐标为;
(2)若$OA-OB=8$,求点$C$的坐标.

14.
(1)(2,-2)
(2) 如图，过点 C 作 CE ⊥ y 轴于点 E，过点 A 作 AD ⊥ CE，交 EC 的延长线于点 D，则 ∠BEC = ∠CDA = 90°，易得四边形 OEDA 是长方形.
∴ OE = AD，OA = DE.
∵ 以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，
∴ ∠ACB = 90°, AC = BC,
∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°.
∵ 在 Rt△ADC 中，∠CAD + ∠ACD = 90°,
∴ ∠BCE = ∠CAD. 在 △DCA 和 △EBC 中，$\begin{cases} ∠CDA = ∠BEC, \\ ∠CAD = ∠BCE, \\ AC = CB, \end{cases} $
∴ △DCA ≌ △EBC (AAS),
∴ CD = BE, AD = CE，
∴ CE = OE. 设点 C 的坐标为(m,n)，则 CE = m, AD = OE = -n.
∴ m = -n, BE = OB + OE = OB - n,
∴ OA = DE = CE + CD = CE + BE = m + OB - n.
∵ OA - OB = 8,
∴ (m + OB - n) - OB = 8，即 m - n = 8. 联立$ \begin{cases} m = -n, \\ m - n = 8, \end{cases} $解得$\begin{cases} m = 4, \\ n = -4. \end{cases} $
∴ 点 C 的坐标为(4,-4)

15. 在同一平面内,若一个点到一条直线的距离不大于$1$,则称这个点是该直线的“伴侣点”.在平面直角坐标系中,已知点$M(1,0)$,过点$M$作直线$l$平行于$y$轴,点$A,B,C$的坐标分别为$(-1,a),(b,2a),(-\frac {1}{2},a-1)$,将$\triangle ABC$进行平移,平移后点$A$的对应点为$D$,点$B$的对应点为$E$,点$C$的对应点为$F$.
(1)试判断$A$是否是直线$l$的“伴侣点”,并说明理由;
(2)若点$F$刚好落在直线$l$上,点$F$的纵坐标为$a+b$,点$E$落在$x$轴上,且$\triangle MFD$的面积为$\frac {1}{12}$,试判断$B$是否是直线$l$的“伴侣点”,并说明理由.

15.
(1) A 不是直线 l 的“伴侣点” 理由：
∵ A(-1,a),
∴ 易得点 A 到直线 l 的距离为 2.
∵ 2 ＞ 1,
∴ A 不是直线 l 的“伴侣点”.
(2) B 是直线 l 的“伴侣点” 理由：
∵$ C\left(-\frac{1}{2},a - 1\right),$且由题意，得 F(1,a + b),
∴ 横坐标加$ \frac{3}{2},$纵坐标加 b + 1,
∴$ D\left(\frac{1}{2},a + b + 1\right), E\left(b + \frac{3}{2},2a + b + 1\right). $
∵ 点 E 落在 x 轴上，
∴ 2a + b + 1 = 0.
∵ △MFD 的面积为$ \frac{1}{12}，$
∴$ \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × $|a + b|$ = \frac{1}{12}，$
∴$ a + b = \pm \frac{1}{3}. ① $当$ a + b = \frac{1}{3} $时，与 2a + b + 1 = 0 联立，解得$ a = -\frac{4}{3}, b = \frac{5}{3},$此时$ B\left(\frac{5}{3},-\frac{8}{3}\right). $
∵$ \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} ＜ 1, $
∴ B 是直线 l 的“伴侣点”. ② 当$ a + b = -\frac{1}{3} $时，同理，可得$ a = -\frac{2}{3}, b = \frac{1}{3},$此时$ B\left(\frac{1}{3},-\frac{4}{3}\right). $
∵$ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ＜ 1, $
∴ B 是直线 l 的“伴侣点”. 综上所述，B 是直线 l 的“伴侣点”.