14. (2025·苏州期末)某学校科技社团成员组装了一艘舰艇模型,并在一条笔直河道内进行往返航行测试,中途设置一个观测点$P$.他们根据测试结果绘制了如图所示的函数图象,其中$t(min)$表示航行时间,$s(m)$表示舰艇模型离出发点的距离.已知水流的速度为$30\ m/min$.
(1) 根据图象回
答:在$OA$段,舰艇模型是水航行(填“顺”或“逆”);该舰艇模型在静水中的航行速度为$m/min$.
(2) 该舰艇模型先后两次经过观测点$P$的时间差为$1.6\ min$,求观测点$P$与出发点之间的距离.
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14.
(1) 顺 120 解析:设顺水速度为$ v_{顺}, $逆水速度为$ v_{逆}, $静水速度为$ v_{静}, $水流速度为$ v_{水}. $
∵$ v_{顺} = v_{静} + v_{水}, v_{逆} = v_{静} - v_{水}, $
∴$ v_{顺} ＞ v_{逆}. $根据图象可知, 从出发点到终点, 即 OA 段, 用时 3min; 从终点到出发点, 即 AB 段, 用时 8 - 3 = 5(min).
∵ 路程相同, 时间越短, 速度越大,
∴ 在 OA 段, 舰艇模型是顺水航行. 设$ v_{静} = x m/min, $则 3(x + 30) = 5(x - 30), 解得 x = 120.
∴ 该舰艇模型在静水中的航行速度为 120 m/min.
(2) 设点 P 与出发点之间的距离为 y m. 由
(1)可知$, v_{静} = 120 m/min,v_{水} = 30 m/min. $
∵ 去程用时 3 min,
∴ 起点与终点的距离为 3×(120 + 30) = 3×150 = 450(m),
∴ 点 P 与终点之间的距离为(450 - y)m. 根据题意, 得$ \frac{450 - y}{120 + 30} + \frac{450 - y}{120 - 30} = 1.6, $解得 y = 360.
答: 观测点 P 与出发点之间的距离为 360 m

15. 某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如下表:

(1) 求甲、乙两种水果的进价.
(2) 销售完前两次购进的水果后,该水果店老板决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共$200$千克,且投入的资金不超过$3360$元.将其中的$m$千克甲种水果和$3m$千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以$17$元/千克、乙种水果以$30$元/千克的价格销售.若第三次购进的$200$千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于$800$元,求正整数$m$的最大值.

15.
(1) 设甲种水果的进价为 a 元/千克, 乙种水果的进价为 b 元/千克. 根据题意, 得$ \begin{cases}60a + 40b = 1520 \\ 30a + 50b = 1360 \end{cases} $解得$ \begin{cases}a = 12 \\ b = 20 \end{cases} $
∴ 甲种水果的进价为 12 元/千克, 乙种水果的进价为 20 元/千克
(2) 设第三次购进 x 千克甲种水果, 则购进(200 - x)千克乙种水果. 根据题意, 得 12x + 20(200 - x)≤3360, 解得 x≥80. 设获得的利润为 w 元. 根据题意, 得 w = (17 - 12)(x - m) + (30 - 20)(200 - x - 3m) = -5x - 35m + 2000.
∵ -5＜0,
∴ w 随 x 的增大而减小,
∴ 当 x = 80 时, w 的值最大, 最大值为 -35m + 1600. 根据题意, 得 -35m + 1600≥800, 解得$ m≤\frac{160}{7}, $
∴ 正整数 m 的最大值为 22