1. 甲、乙两人在一条 400 m 长的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的人原地休息.已知甲先出发 3 s,在跑步过程中,甲、乙两人之间的距离$y(m)$与乙出发的时间$x(s)$之间的函数关系如图所示.有下列结论:①乙的速度为 5 m/s;②离开起点后,甲、乙两人第一次相遇时,距离起点 12 m;③当甲、乙两人之间的距离超过 32 m 时,$44\lt x\lt 89$;④当乙到达终点时,甲距离终点还有 68 m.其中,正确的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1. B
解析
解：①甲的速度：$12÷3 = 4\, m/s$。设乙的速度为$v\, m/s$，由图知，乙出发$80\, s$后停止运动，此时乙跑完全程，$80v=400$，解得$v = 5\, m/s$，①正确。
②设乙出发$t\, s$后第一次相遇，$5t=4(t + 3)$，解得$t=12\, s$，距离起点：$5×12=60\, m$，②错误。
③乙出发前甲跑了$12\, m$，乙出发后两人距离先减小后增大再减小。相遇前：$12 + 4x-5x＞32$，即$-x＞20$，无解；相遇后到乙到达终点前：$5x-(4x + 12)＞32$，解得$x＞44$；乙到达终点后，甲继续跑，甲距离终点$400-[4(x + 3)]$，乙静止，两人距离$400-[4(x + 3)]＞32$，即$4x＜356$，$x＜89$，故$44＜x＜89$，③正确。
④乙到达终点时，甲跑的时间为$80 + 3=83\, s$，甲跑的路程：$4×83 = 332\, m$，甲距离终点：$400-332=68\, m$，④正确。
正确结论为①③④，共3个。
B
②设乙出发$t\, s$后第一次相遇，$5t=4(t + 3)$，解得$t=12\, s$，距离起点：$5×12=60\, m$，②错误。
③乙出发前甲跑了$12\, m$，乙出发后两人距离先减小后增大再减小。相遇前：$12 + 4x-5x＞32$，即$-x＞20$，无解；相遇后到乙到达终点前：$5x-(4x + 12)＞32$，解得$x＞44$；乙到达终点后，甲继续跑，甲距离终点$400-[4(x + 3)]$，乙静止，两人距离$400-[4(x + 3)]＞32$，即$4x＜356$，$x＜89$，故$44＜x＜89$，③正确。
④乙到达终点时，甲跑的时间为$80 + 3=83\, s$，甲跑的路程：$4×83 = 332\, m$，甲距离终点：$400-332=68\, m$，④正确。
正确结论为①③④，共3个。
B
2. (2024·龙东地区)甲、乙两货车分别从相距 225 km 的 A,B 两地同时出发,甲货车从 A 地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往 B 地,乙货车沿同一条公路从 B 地驶往 A 地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回 B 地,结果比甲货车晚半小时到达 B 地.如图是甲、乙两货车距 A 地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1) 甲货车到达配货站之前的速度是
(2) 求甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中,甲货车距 A 地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数表达式;
(3) 甲、乙两货车在行驶的过程中,出发后
(1) 甲货车到达配货站之前的速度是
30
km/h,乙货车的速度是40
km/h;(2) 求甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中,甲货车距 A 地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数表达式;
(3) 甲、乙两货车在行驶的过程中,出发后
$\frac{3}{2}$或$\frac{45}{14}$或5
h,甲、乙两货车与配货站的距离相等.答案
2. (1) 30 40 解析：由题图可知，甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5 = 30(km/h)；乙货车的速度是(225 - 105)×2÷6 = 40(km/h)。
(2)
∵3.5 + 0.5 = 4(h)，6 - 0.5 = 5.5(h)，
∴E(4,105)，F(5.5,225)。设线段EF对应的函数表达式为y = kx + b(4≤x≤5.5)。将E(4,105)和F(5.5,225)分别代入，得$\begin{cases}4k + b = 105,\\5.5k + b = 225,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 80,\\b = -215,\end{cases}$
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = 80x - 215(4≤x≤5.5)
(3)$\frac{3}{2}$或$\frac{45}{14}$或5 解析：易得线段CM对应的函数表达式为y = -40x + 225(0≤x≤3)，线段MN对应的函数表达式为y = 40x - 15(3＜x≤6)，线段OD对应的函数表达式为y = 30x(0≤x≤3.5)。当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为 -40x + 225 - 105 = (-40x + 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = -40x + 120，解得x =$\frac{3}{2}$；当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为40x - 15 - 105 = (40x - 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = 40x - 120，解得x =$\frac{45}{14}$；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两货车与配货站的距离相等，根据“相遇时两货车与A地距离相等”，得80x - 215 = 40x - 15，解得x = 5。
∴出发后$\frac{3}{2}$h或$\frac{45}{14}$h或5h，甲、乙两货车与配货站的距离相等。
(2)
∵3.5 + 0.5 = 4(h)，6 - 0.5 = 5.5(h)，
∴E(4,105)，F(5.5,225)。设线段EF对应的函数表达式为y = kx + b(4≤x≤5.5)。将E(4,105)和F(5.5,225)分别代入，得$\begin{cases}4k + b = 105,\\5.5k + b = 225,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 80,\\b = -215,\end{cases}$
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = 80x - 215(4≤x≤5.5)
(3)$\frac{3}{2}$或$\frac{45}{14}$或5 解析：易得线段CM对应的函数表达式为y = -40x + 225(0≤x≤3)，线段MN对应的函数表达式为y = 40x - 15(3＜x≤6)，线段OD对应的函数表达式为y = 30x(0≤x≤3.5)。当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为 -40x + 225 - 105 = (-40x + 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = -40x + 120，解得x =$\frac{3}{2}$；当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为40x - 15 - 105 = (40x - 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = 40x - 120，解得x =$\frac{45}{14}$；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两货车与配货站的距离相等，根据“相遇时两货车与A地距离相等”，得80x - 215 = 40x - 15，解得x = 5。
∴出发后$\frac{3}{2}$h或$\frac{45}{14}$h或5h，甲、乙两货车与配货站的距离相等。
3. 某市制米厂接到加工大米的任务,要求 5 天内加工完 220 吨大米,制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务,乙车间加工中途停工一段时间维修设备,然后改变加工效率继续加工,直到与甲车间同时完成加工任务.甲、乙两车间各自加工大米的质量$y$(吨)与甲车间的加工时间$x$(天)之间的函数关系如图①所示;未加工大米的质量$w$(吨)与甲车间的加工时间$x$(天)之间的函数关系如图②所示.请结合图象回答下列问题:
(1) 甲车间每天加工大米
(2) 求乙车间维修设备后,乙车间加工大米的质量$y$(吨)与$x$(天)之间的函数表达式.
(3) 如果 55 吨大米恰好装满一节车厢,那么加工多长时间恰好装满第一节车厢? 再加工多长时间恰好装满第二节车厢?
(1) 甲车间每天加工大米
20
吨,$a$的值为15
.(2) 求乙车间维修设备后,乙车间加工大米的质量$y$(吨)与$x$(天)之间的函数表达式.
(3) 如果 55 吨大米恰好装满一节车厢,那么加工多长时间恰好装满第一节车厢? 再加工多长时间恰好装满第二节车厢?
答案
3. (1) 20 15 解析：由题图②，可知第一天甲、乙两车间共加工220 - 185 = 35(吨)，第二天，乙车间停止工作，甲车间单独加工185 - 165 = 20(吨)，则乙车间一天加工35 - 20 = 15(吨)，即a = 15。
(2)设乙车间维修设备后，乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数表达式为y = kx + b。把(2,15)，(5,120)代入，得$\begin{cases}15 = 2k + b,\\120 = 5k + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 35,\\b = -55,\end{cases}$
∴所求函数表达式为y = 35x - 55
(3)由题图②，可知当w = 220 - 55 = 165时，恰好是第二天加工结束。
∴加工2天恰好装满第一节车厢。当2≤x≤5时，甲、乙两车间每天加工的总质量为$\frac{165}{5 - 2}$= 55(吨)，
∴再加工1天恰好装满第二节车厢
(2)设乙车间维修设备后，乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数表达式为y = kx + b。把(2,15)，(5,120)代入，得$\begin{cases}15 = 2k + b,\\120 = 5k + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 35,\\b = -55,\end{cases}$
∴所求函数表达式为y = 35x - 55
(3)由题图②，可知当w = 220 - 55 = 165时，恰好是第二天加工结束。
∴加工2天恰好装满第一节车厢。当2≤x≤5时，甲、乙两车间每天加工的总质量为$\frac{165}{5 - 2}$= 55(吨)，
∴再加工1天恰好装满第二节车厢
