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11.(2025·崇川区月考)关于$x$的方程$a(x+m+2)^2+b=0$的根是$x_1=-1,x_2=3(a,m,b$均为常数$,a≠0)$,则方程$a(x+m)^2+b=0$的根是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
11.$x_1=1,x_2=5$
12. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$\frac{1}{4}(2x+3)^2=0$；
(2)$(\sqrt{2}x-2)^2=6$；
(3)$(x+\sqrt{2})^2=(1+\sqrt{2})^2$；
(4)$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$.
(1)$\frac{1}{4}(2x+3)^2=0$；
(2)$(\sqrt{2}x-2)^2=6$；
(3)$(x+\sqrt{2})^2=(1+\sqrt{2})^2$；
(4)$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$.
答案
12.(1)$x_1=x_2=-1.5$
(2)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3)$x_1=1,x_2=-2\sqrt{2}-1$
(4)$m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
(2)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3)$x_1=1,x_2=-2\sqrt{2}-1$
(4)$m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
13.在解一元二次方程时,发现有这样一种解法,
如:解方程 $ x(x+8)=4 $.
解:原方程可变形,得$[(x+4)-4][(x+4)+4]=4,(x+4)^2 - 4^2 = 4$,
$(x+4)^2 = 20$,
直接开平方,得$ x_1 = -4 + 2\sqrt{5}, x_2 = -4 - 2\sqrt{5} $.
我们称这种解法为"平均数法".
请用"平均数法"解方程:$(x-2)(x+6)=4$.
如:解方程 $ x(x+8)=4 $.
解:原方程可变形,得$[(x+4)-4][(x+4)+4]=4,(x+4)^2 - 4^2 = 4$,
$(x+4)^2 = 20$,
直接开平方,得$ x_1 = -4 + 2\sqrt{5}, x_2 = -4 - 2\sqrt{5} $.
我们称这种解法为"平均数法".
请用"平均数法"解方程:$(x-2)(x+6)=4$.
答案
13.解:原方程可变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$,
$(x+2)^2-4^2=4,(x+2)^2=20$,
$\therefore x=-2\pm2\sqrt{5},\therefore x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}.$
$(x+2)^2-4^2=4,(x+2)^2=20$,
$\therefore x=-2\pm2\sqrt{5},\therefore x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}.$
14. 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数,如$[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3$. 函数$y=[x](-2≤ x＜2)$的图象如图所示,试求方程$[x]=\frac{1}{2}x^2(-2≤ x＜2)$的解.
答案
14.解:当$1≤ x＜2$时,$\frac{1}{2}x^2=1$,解得$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$(舍去);
当$0≤ x＜1$时,$\frac{1}{2}x^2=0$,解得$x=0$;
当$-1≤ x＜0$时,$\frac{1}{2}x^2=-1$,方程没有实数解;
当$-2≤ x＜-1$时,$\frac{1}{2}x^2=-2$,方程没有实数解.
所以方程$[x]=\frac{1}{2}x^2(-2≤ x＜2)$的解为$x=0$或$x=\sqrt{2}.$
当$0≤ x＜1$时,$\frac{1}{2}x^2=0$,解得$x=0$;
当$-1≤ x＜0$时,$\frac{1}{2}x^2=-1$,方程没有实数解;
当$-2≤ x＜-1$时,$\frac{1}{2}x^2=-2$,方程没有实数解.
所以方程$[x]=\frac{1}{2}x^2(-2≤ x＜2)$的解为$x=0$或$x=\sqrt{2}.$
