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1 [2025 苏州工业园区期中]用配方法解一元二次方程$2x^2 - 2x -1=0$，下列变形正确的是（
A.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{4}$
B.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{2}$
C.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$
D.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{2}$
C
）A.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{4}$
B.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{2}$
C.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$
D.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路可分为三步：①先将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，再对比选项即可得到答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 2x -1=0$进行变形：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以2，得
$x^2 - x - \dfrac{1}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - x = \dfrac{1}{2}$
3. 配方：一次项系数为$-1$，其一半的平方为$(\dfrac{-1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，给等式两边同时加$\dfrac{1}{4}$，得
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$
左边整理为完全平方式，右边计算后得
$(x-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{3}{4}$
对比选项，C选项变形正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础常考题，解题核心是牢记配方法的操作步骤，注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边要同时加相同的数，避免漏加右侧常数项的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路可分为三步：①先将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，再对比选项即可得到答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 2x -1=0$进行变形：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以2，得
$x^2 - x - \dfrac{1}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - x = \dfrac{1}{2}$
3. 配方：一次项系数为$-1$，其一半的平方为$(\dfrac{-1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，给等式两边同时加$\dfrac{1}{4}$，得
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$
左边整理为完全平方式，右边计算后得
$(x-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{3}{4}$
对比选项，C选项变形正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础常考题，解题核心是牢记配方法的操作步骤，注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边要同时加相同的数，避免漏加右侧常数项的错误。
【难度系数】
0.7
2 对于任意实数$x$,用配方法可以说明代数式$4x^2 -24x +37$的值一定是 （
A.正数
B.负数
C.零
D.无理数
A
）A.正数
B.负数
C.零
D.无理数
答案
2. A
解析
【分析】
要判断该代数式的取值情况，需按要求用配方法变形：首先提取二次项系数4，将含x的项整理到括号内，再在括号内凑完全平方公式，将原式转化为“非负项+常数”的形式，最后结合平方的非负性即可判断代数式的取值。
【解析】
对代数式$4x^2 -24x +37$配方：
第一步，提取二次项系数，将含$x$的项合并：
$4x^2 -24x +37=4(x^2 - 6x) + 37$
第二步，在括号内凑完全平方，$x^2-6x$加上9即可凑成$(x-3)^2$，为保证式子值不变，需减去多算的$4×9$：
$\begin{aligned}原式&=4(x^2 - 6x +9 -9) +37\\&=4[(x-3)^2 -9]+37\\&=4(x-3)^2 - 36 + 37\\&=4(x-3)^2 +1\end{aligned}$
第三步，利用平方的非负性判断：
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-3)^2≥0$
∴ $4(x-3)^2≥0$
∴ $4(x-3)^2 +1≥1＞0$
即该代数式的值一定是正数。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的使用，熟练掌握二次项系数不为1时的配方法步骤是解题的前提，结合偶次幂的非负性即可快速判断代数式的取值范围，属于配方法的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
要判断该代数式的取值情况，需按要求用配方法变形：首先提取二次项系数4，将含x的项整理到括号内，再在括号内凑完全平方公式，将原式转化为“非负项+常数”的形式，最后结合平方的非负性即可判断代数式的取值。
【解析】
对代数式$4x^2 -24x +37$配方：
第一步，提取二次项系数，将含$x$的项合并：
$4x^2 -24x +37=4(x^2 - 6x) + 37$
第二步，在括号内凑完全平方，$x^2-6x$加上9即可凑成$(x-3)^2$，为保证式子值不变，需减去多算的$4×9$：
$\begin{aligned}原式&=4(x^2 - 6x +9 -9) +37\\&=4[(x-3)^2 -9]+37\\&=4(x-3)^2 - 36 + 37\\&=4(x-3)^2 +1\end{aligned}$
第三步，利用平方的非负性判断：
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-3)^2≥0$
∴ $4(x-3)^2≥0$
∴ $4(x-3)^2 +1≥1＞0$
即该代数式的值一定是正数。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的使用，熟练掌握二次项系数不为1时的配方法步骤是解题的前提，结合偶次幂的非负性即可快速判断代数式的取值范围，属于配方法的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
3（1）$3x^2 + 2x +$
（2）$\frac{1}{3}x^2 - 4x +$
$\dfrac{1}{3}$
$= 3(x +$ $\dfrac{1}{3}$
$)^2$；（2）$\frac{1}{3}x^2 - 4x +$
12
$= \frac{1}{3}(x -$ 6
$)^2$。答案
3. (1) $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ (2) 12 6
解析
【分析】
这是二次项系数不为1的配方法题型，解题思路为：第一步先提取二次项系数，将二次项和一次项放到括号内；第二步根据完全平方公式的结构，给括号内补充一次项系数一半的平方；第三步计算需要加在原式上的常数项（括号内补充的数乘提取的二次项系数），同时得到完全平方式中括号里的常数项，即可填出两个空。
【解析】
（1）先提取二次项系数3，对前两项变形：
$3x^2 + 2x = 3(x^2 + \dfrac{2}{3}x)$
括号内一次项系数为$\dfrac{2}{3}$，其一半为$\dfrac{1}{3}$，平方为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
为保证等式成立，原式需要补充的常数项为$3×\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$，即第一个空填$\dfrac{1}{3}$
此时括号内可化为完全平方式：$x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}=(x+\dfrac{1}{3})^2$，因此第二个空填$\dfrac{1}{3}$。
（2）先提取二次项系数$\dfrac{1}{3}$，对前两项变形：
$\dfrac{1}{3}x^2 -4x = \dfrac{1}{3}(x^2 -12x)$
括号内一次项系数为$-12$，其一半为$-6$，平方为$(-6)^2=36$
为保证等式成立，原式需要补充的常数项为$\dfrac{1}{3}×36=12$，即第一个空填$12$
此时括号内可化为完全平方式：$x^2-12x+36=(x-6)^2$，因此第二个空填$6$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3}$；(2) $12$，$6$
【知识点】
配方法、完全平方公式、整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查二次项系数不为1时的配方步骤，掌握“先提二次项系数，再补一次项系数一半的平方”的规律即可快速解题，是后续用配方法解一元二次方程的必备基础。
【难度系数】
0.8
这是二次项系数不为1的配方法题型，解题思路为：第一步先提取二次项系数，将二次项和一次项放到括号内；第二步根据完全平方公式的结构，给括号内补充一次项系数一半的平方；第三步计算需要加在原式上的常数项（括号内补充的数乘提取的二次项系数），同时得到完全平方式中括号里的常数项，即可填出两个空。
【解析】
（1）先提取二次项系数3，对前两项变形：
$3x^2 + 2x = 3(x^2 + \dfrac{2}{3}x)$
括号内一次项系数为$\dfrac{2}{3}$，其一半为$\dfrac{1}{3}$，平方为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
为保证等式成立，原式需要补充的常数项为$3×\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$，即第一个空填$\dfrac{1}{3}$
此时括号内可化为完全平方式：$x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}=(x+\dfrac{1}{3})^2$，因此第二个空填$\dfrac{1}{3}$。
（2）先提取二次项系数$\dfrac{1}{3}$，对前两项变形：
$\dfrac{1}{3}x^2 -4x = \dfrac{1}{3}(x^2 -12x)$
括号内一次项系数为$-12$，其一半为$-6$，平方为$(-6)^2=36$
为保证等式成立，原式需要补充的常数项为$\dfrac{1}{3}×36=12$，即第一个空填$12$
此时括号内可化为完全平方式：$x^2-12x+36=(x-6)^2$，因此第二个空填$6$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3}$；(2) $12$，$6$
【知识点】
配方法、完全平方公式、整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查二次项系数不为1时的配方步骤，掌握“先提二次项系数，再补一次项系数一半的平方”的规律即可快速解题，是后续用配方法解一元二次方程的必备基础。
【难度系数】
0.8
4 用配方法解一元二次方程 $5x^2 -20x +3=0$ 时，将它化为 $(x+h)^2 =k$ 的形式，则 $h+k$ 的值为
$\dfrac{7}{5}$
。答案
4. $\dfrac{7}{5}$
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；第二步，将常数项移到等号右侧；第三步，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧合并同类项，即可得到$(x+h)^2 =k$的形式；最后对应找到$h$、$k$的值，计算$h+k$即可。
【解析】
解：对一元二次方程$5x^2 -20x +3=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以5，得
$x^2 -4x + \dfrac{3}{5} =0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = -\dfrac{3}{5}$
3. 配方：两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$，得
$x^2 -4x +4 = -\dfrac{3}{5} +4$
左边化为完全平方式，右边合并计算：
$(x-2)^2 = \dfrac{17}{5}$
将上式与$(x+h)^2 =k$对比，可得$h=-2$，$k=\dfrac{17}{5}$
则$h+k = -2 + \dfrac{17}{5} = \dfrac{-10}{5} + \dfrac{17}{5} = \dfrac{7}{5}$
【答案】
$\dfrac{7}{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，尤其要注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方时等号两边需同时加相同的数，还要注意$h$的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；第二步，将常数项移到等号右侧；第三步，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧合并同类项，即可得到$(x+h)^2 =k$的形式；最后对应找到$h$、$k$的值，计算$h+k$即可。
【解析】
解：对一元二次方程$5x^2 -20x +3=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以5，得
$x^2 -4x + \dfrac{3}{5} =0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = -\dfrac{3}{5}$
3. 配方：两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$，得
$x^2 -4x +4 = -\dfrac{3}{5} +4$
左边化为完全平方式，右边合并计算：
$(x-2)^2 = \dfrac{17}{5}$
将上式与$(x+h)^2 =k$对比，可得$h=-2$，$k=\dfrac{17}{5}$
则$h+k = -2 + \dfrac{17}{5} = \dfrac{-10}{5} + \dfrac{17}{5} = \dfrac{7}{5}$
【答案】
$\dfrac{7}{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，尤其要注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方时等号两边需同时加相同的数，还要注意$h$的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
5 教材变式题 用配方法解下列方程：
（1）$4x^2 + 8x + 3 = 0$；
（2）$[2025苏州期中]-3x^2 + 4x + 1 = 0$；
（3）$2x^2 + x - 2 = 0$；
（4）$2y^2 - 2 = 3y$。
（1）$4x^2 + 8x + 3 = 0$；
（2）$[2025苏州期中]-3x^2 + 4x + 1 = 0$；
（3）$2x^2 + x - 2 = 0$；
（4）$2y^2 - 2 = 3y$。
答案
5. (1) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{3}{2}$ (2) $x_1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2}{3}-\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
(3) $x_1=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{17}}{4}$ (4) $y_1=2,y_2=-\dfrac{1}{2}$
(3) $x_1=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{17}}{4}$ (4) $y_1=2,y_2=-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，通用解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；③移项：把常数项移到方程等号的右侧；④配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧变形为完全平方式，右侧合并为常数；⑤开平方：根据平方根的定义，对左右两边同时开平方，转化为两个一元一次方程；⑥解一元一次方程，得到原方程的解。按照该步骤逐个求解四个方程即可。
【解析】
（1）解方程$4x^2 + 8x + 3 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以4，得：$x^2 + 2x + \dfrac{3}{4} = 0$
移项，得：$x^2 + 2x = -\dfrac{3}{4}$
配方，两边加$1^2$，得：$x^2 + 2x + 1 = -\dfrac{3}{4} + 1$，即$(x+1)^2 = \dfrac{1}{4}$
开平方，得：$x + 1 = \pm \dfrac{1}{2}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = -\dfrac{3}{2}$
（2）解方程$-3x^2 + 4x + 1 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以$-3$，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
移项，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x = \dfrac{1}{3}$
配方，两边加$(-\dfrac{2}{3})^2$，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9}$，即$(x - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{7}{9}$
开平方，得：$x - \dfrac{2}{3} = \pm \dfrac{\sqrt{7}}{3}$
解得$x_1 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{\sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \dfrac{2}{3} - \dfrac{\sqrt{7}}{3}$
（3）解方程$2x^2 + x - 2 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以2，得：$x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1 = 0$
移项，得：$x^2 + \dfrac{1}{2}x = 1$
配方，两边加$(\dfrac{1}{4})^2$，得：$x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16} = 1 + \dfrac{1}{16}$，即$(x + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
开平方，得：$x + \dfrac{1}{4} = \pm \dfrac{\sqrt{17}}{4}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{17}}{4}$
（4）解方程$2y^2 - 2 = 3y$
整理为一般形式：$2y^2 - 3y - 2 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以2，得：$y^2 - \dfrac{3}{2}y - 1 = 0$
移项，得：$y^2 - \dfrac{3}{2}y = 1$
配方，两边加$(-\dfrac{3}{4})^2$，得：$y^2 - \dfrac{3}{2}y + \dfrac{9}{16} = 1 + \dfrac{9}{16}$，即$(y - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{25}{16}$
开平方，得：$y - \dfrac{3}{4} = \pm \dfrac{5}{4}$
解得$y_1 = 2$，$y_2 = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{3}{2}$ (2) $x_1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2}{3}-\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
(3) $x_1=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{17}}{4}$ (4) $y_1=2,y_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.平方根的定义
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查二次项系数不为1时配方法的应用，解题时要严格按照配方法的步骤操作，尤其要注意配方时两边同时加的是一次项系数一半的平方，移项时注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，通用解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；③移项：把常数项移到方程等号的右侧；④配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧变形为完全平方式，右侧合并为常数；⑤开平方：根据平方根的定义，对左右两边同时开平方，转化为两个一元一次方程；⑥解一元一次方程，得到原方程的解。按照该步骤逐个求解四个方程即可。
【解析】
（1）解方程$4x^2 + 8x + 3 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以4，得：$x^2 + 2x + \dfrac{3}{4} = 0$
移项，得：$x^2 + 2x = -\dfrac{3}{4}$
配方，两边加$1^2$，得：$x^2 + 2x + 1 = -\dfrac{3}{4} + 1$，即$(x+1)^2 = \dfrac{1}{4}$
开平方，得：$x + 1 = \pm \dfrac{1}{2}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = -\dfrac{3}{2}$
（2）解方程$-3x^2 + 4x + 1 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以$-3$，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
移项，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x = \dfrac{1}{3}$
配方，两边加$(-\dfrac{2}{3})^2$，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9}$，即$(x - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{7}{9}$
开平方，得：$x - \dfrac{2}{3} = \pm \dfrac{\sqrt{7}}{3}$
解得$x_1 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{\sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \dfrac{2}{3} - \dfrac{\sqrt{7}}{3}$
（3）解方程$2x^2 + x - 2 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以2，得：$x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1 = 0$
移项，得：$x^2 + \dfrac{1}{2}x = 1$
配方，两边加$(\dfrac{1}{4})^2$，得：$x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16} = 1 + \dfrac{1}{16}$，即$(x + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
开平方，得：$x + \dfrac{1}{4} = \pm \dfrac{\sqrt{17}}{4}$
解得$x_1 = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{17}}{4}$
（4）解方程$2y^2 - 2 = 3y$
整理为一般形式：$2y^2 - 3y - 2 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以2，得：$y^2 - \dfrac{3}{2}y - 1 = 0$
移项，得：$y^2 - \dfrac{3}{2}y = 1$
配方，两边加$(-\dfrac{3}{4})^2$，得：$y^2 - \dfrac{3}{2}y + \dfrac{9}{16} = 1 + \dfrac{9}{16}$，即$(y - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{25}{16}$
开平方，得：$y - \dfrac{3}{4} = \pm \dfrac{5}{4}$
解得$y_1 = 2$，$y_2 = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{3}{2}$ (2) $x_1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2}{3}-\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
(3) $x_1=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{17}}{4}$ (4) $y_1=2,y_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.平方根的定义
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查二次项系数不为1时配方法的应用，解题时要严格按照配方法的步骤操作，尤其要注意配方时两边同时加的是一次项系数一半的平方，移项时注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
6 若方程$4x^2 - (m + 2)x + 1 = 0$的左边可以写成一个完全平方式，则实数m的值为 （
A.2或－2
B.6或－6
C.2或－6
D.－2或6
C
）A.2或－2
B.6或－6
C.2或－6
D.－2或6
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。观察方程左边的二次三项式，二次项$4x^2=(2x)^2$，常数项$1=1^2$，因此这个完全平方式只能是$(2x+1)^2$或$(2x-1)^2$两种情况，接下来将两个完全平方式展开，和原式的一次项系数对比，列方程求解即可得到m的值，注意不要漏掉任意一种完全平方式的情况。
【解析】
完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知$4x^2 - (m + 2)x + 1$是完全平方式，其中$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，因此该式可写成$(2x+1)^2$或$(2x-1)^2$：
1. 当式子为$(2x+1)^2$时，展开得$4x^2+4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m+2)=4$
解得：$m=-6$
2. 当式子为$(2x-1)^2$时，展开得$4x^2-4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m+2)=-4$
解得：$m=2$
综上，m的值为2或-6。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、配方法、一元一次方程求解
【点评】
本题是配方法的典型基础题，核心是掌握完全平方式的两种形式（和的平方、差的平方），解题时容易漏写其中一种情况导致错解，做题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。观察方程左边的二次三项式，二次项$4x^2=(2x)^2$，常数项$1=1^2$，因此这个完全平方式只能是$(2x+1)^2$或$(2x-1)^2$两种情况，接下来将两个完全平方式展开，和原式的一次项系数对比，列方程求解即可得到m的值，注意不要漏掉任意一种完全平方式的情况。
【解析】
完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知$4x^2 - (m + 2)x + 1$是完全平方式，其中$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，因此该式可写成$(2x+1)^2$或$(2x-1)^2$：
1. 当式子为$(2x+1)^2$时，展开得$4x^2+4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m+2)=4$
解得：$m=-6$
2. 当式子为$(2x-1)^2$时，展开得$4x^2-4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m+2)=-4$
解得：$m=2$
综上，m的值为2或-6。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、配方法、一元一次方程求解
【点评】
本题是配方法的典型基础题，核心是掌握完全平方式的两种形式（和的平方、差的平方），解题时容易漏写其中一种情况导致错解，做题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7
7 不论$x,y$为何值，用配方法可说明代数式$x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11$的值 （
A.总不小于1
B.总不小于11
C.可以为任何实数
D.可以为负数
A
）A.总不小于1
B.总不小于11
C.可以为任何实数
D.可以为负数
答案
7. A 【解析】$x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11 = (x^2 + 6x + 9) + (4y^2 - 4y + 1) + 1 = (x + 3)^2 + (2y - 1)^2 + 1. \because (x + 3)^2 ≥ 0, (2y - 1)^2 ≥ 0, \therefore (x + 3)^2 + (2y - 1)^2 + 1 ≥ 1, 即x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11 ≥ 1.$
解析
【分析】
要判断代数式的取值范围，我们采用配方法求解：首先将代数式中含x的项、含y的项分别分组，再拆分常数项，分别与x、y的项凑成完全平方的形式，最后结合平方数的非负性，就能推导得出代数式的最小值，进而判断其取值范围。
【解析】
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11&=(x^2 + 6x) + (4y^2 - 4y) + 11\\&=(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 - 4y + 1) + 11 - 9 -1\\&=(x+3)^2 + (2y - 1)^2 + 1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x+3)^2≥0$，$(2y - 1)^2≥0$，
因此$(x+3)^2 + (2y - 1)^2 + 1≥0+0+1=1$，
即该代数式的值总不小于1。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型基础题型，解题核心是合理拆分常数项，将含相同字母的项凑成完全平方式，再结合平方的非负性确定代数式的取值范围，熟练掌握配方技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断代数式的取值范围，我们采用配方法求解：首先将代数式中含x的项、含y的项分别分组，再拆分常数项，分别与x、y的项凑成完全平方的形式，最后结合平方数的非负性，就能推导得出代数式的最小值，进而判断其取值范围。
【解析】
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11&=(x^2 + 6x) + (4y^2 - 4y) + 11\\&=(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 - 4y + 1) + 11 - 9 -1\\&=(x+3)^2 + (2y - 1)^2 + 1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x+3)^2≥0$，$(2y - 1)^2≥0$，
因此$(x+3)^2 + (2y - 1)^2 + 1≥0+0+1=1$，
即该代数式的值总不小于1。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型基础题型，解题核心是合理拆分常数项，将含相同字母的项凑成完全平方式，再结合平方的非负性确定代数式的取值范围，熟练掌握配方技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
