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9 用配方法解下列方程：
(1) $ m^2 = 8m + 20 $；
(2) $ x^2 - 2 = -10x $；
(3) $ y^2 + 1 = -2\sqrt{2}y $；
(4) $ x^2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}x $。
(1) $ m^2 = 8m + 20 $；
(2) $ x^2 - 2 = -10x $；
(3) $ y^2 + 1 = -2\sqrt{2}y $；
(4) $ x^2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}x $。
答案
9. (1) $m_1=-2,m_2=10$ (2) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}$
(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$ (4) $x_1=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4},x_2=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$
(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$ (4) $x_1=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4},x_2=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$
解析
【分析】
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路分为四步：①移项：将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，整理为$x^2+bx=c$的形式；②配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，得到$(x+n)^2=p$的形式；③开方：若$p≥0$，对等式两边直接开平方，若$p＜0$则方程无实数根；④求解：解开方后得到的两个一元一次方程，得到原方程的根。四个小题均按该步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 移项，得$m^2-8m=20$，
配方，两边同时加$(-8÷2)^2=16$，得$m^2-8m+16=20+16$，
即$(m-4)^2=36$，
开平方，得$m-4=\pm6$，
解得$m_1=4+6=10$，$m_2=4-6=-2$。
(2) 移项，得$x^2+10x=2$，
配方，两边同时加$(10÷2)^2=25$，得$x^2+10x+25=2+25$，
即$(x+5)^2=27$，
开平方，得$x+5=\pm3\sqrt{3}$，
解得$x_1=-5+3\sqrt{3}$，$x_2=-5-3\sqrt{3}$。
(3) 移项，得$y^2+2\sqrt{2}y=-1$，
配方，两边同时加$(2\sqrt{2}÷2)^2=2$，得$y^2+2\sqrt{2}y+2=-1+2$，
即$(y+\sqrt{2})^2=1$，
开平方，得$y+\sqrt{2}=\pm1$，
解得$y_1=-\sqrt{2}+1$，$y_2=-\sqrt{2}-1$。
(4) 移项，得$x^2-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$，
配方，两边同时加$(-\frac{5}{2}÷2)^2=\frac{25}{16}$，得$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，
开平方，得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $m_1=-2,m_2=10$；(2) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}$；(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$；(4) $x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方的操作步骤，解题时要注意配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路分为四步：①移项：将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，整理为$x^2+bx=c$的形式；②配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，得到$(x+n)^2=p$的形式；③开方：若$p≥0$，对等式两边直接开平方，若$p＜0$则方程无实数根；④求解：解开方后得到的两个一元一次方程，得到原方程的根。四个小题均按该步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 移项，得$m^2-8m=20$，
配方，两边同时加$(-8÷2)^2=16$，得$m^2-8m+16=20+16$，
即$(m-4)^2=36$，
开平方，得$m-4=\pm6$，
解得$m_1=4+6=10$，$m_2=4-6=-2$。
(2) 移项，得$x^2+10x=2$，
配方，两边同时加$(10÷2)^2=25$，得$x^2+10x+25=2+25$，
即$(x+5)^2=27$，
开平方，得$x+5=\pm3\sqrt{3}$，
解得$x_1=-5+3\sqrt{3}$，$x_2=-5-3\sqrt{3}$。
(3) 移项，得$y^2+2\sqrt{2}y=-1$，
配方，两边同时加$(2\sqrt{2}÷2)^2=2$，得$y^2+2\sqrt{2}y+2=-1+2$，
即$(y+\sqrt{2})^2=1$，
开平方，得$y+\sqrt{2}=\pm1$，
解得$y_1=-\sqrt{2}+1$，$y_2=-\sqrt{2}-1$。
(4) 移项，得$x^2-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$，
配方，两边同时加$(-\frac{5}{2}÷2)^2=\frac{25}{16}$，得$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，
开平方，得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $m_1=-2,m_2=10$；(2) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}$；(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$；(4) $x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方的操作步骤，解题时要注意配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
10 有$n$个关于$x$的一元二次方程：$x^2+2x-8=0$；$x^2+2×2x-8×2^2=0$；…；$x^2+2nx-8n^2=0$. 小静同学解第1个方程$x^2+2x-8=0$的步骤如下：① $x^2+2x=8$；② $x^2+2x+1=8+1$；③ $(x+1)^2=9$；④ $x+1=±3$；⑤ $x=1±3$；⑥ $x_1=4,x_2=-2$.
（1）小静同学的解法是从步骤
（2）用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$（用含$n$的式子表示方程的根）.
（1）小静同学的解法是从步骤
⑤
开始出现错误的（填序号）；（2）用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$（用含$n$的式子表示方程的根）.
答案
10. (1) ⑤ (2) $\because x^2+2nx-8n^2=0,\therefore x^2+2nx=8n^2,\therefore x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2,\therefore (x+n)^2=9n^2,\therefore x+n=\pm3n,\therefore x=-n\pm3n,\therefore x_1=-4n,x_2=2n$
解析
【分析】
（1）判断小静的错误步骤需对照配方法解一元二次方程的标准步骤逐一核对：步骤①移项、步骤②配方、步骤③写成完全平方式、步骤④开平方均操作正确，步骤④得到$x+1=\pm3$后，移项应将+1移到等号右侧变号，即$x=-1\pm3$，小静步骤⑤符号书写错误，因此从步骤⑤开始出错。
（2）解第$n$个方程遵循配方法的固定流程：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，开平方后移项即可求出含参数$n$的根。
【解析】
（1）小静解第1个方程的步骤④为$x+1=\pm3$，移项可得$x=-1\pm3$，步骤⑤将常数项符号写错，因此从步骤⑤开始出现错误。
（2）用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$：
移项，得$x^2+2nx=8n^2$，
配方，两边同时加$n^2$，得$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$，
整理得$(x+n)^2=9n^2$，
开平方，得$x+n=\pm3n$，
移项得$x=-n\pm3n$，
因此$x_1=-n+3n=2n$，$x_2=-n-3n=-4n$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{⑤}$；(2) $\boldsymbol{x_1=2n,x_2=-4n}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题核心考查配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤，既考查对基础运算规则的掌握，也考查含参数方程的求解能力，易错点为移项时符号出错、开平方漏写正负号，熟练掌握配方法的固定操作流程即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
（1）判断小静的错误步骤需对照配方法解一元二次方程的标准步骤逐一核对：步骤①移项、步骤②配方、步骤③写成完全平方式、步骤④开平方均操作正确，步骤④得到$x+1=\pm3$后，移项应将+1移到等号右侧变号，即$x=-1\pm3$，小静步骤⑤符号书写错误，因此从步骤⑤开始出错。
（2）解第$n$个方程遵循配方法的固定流程：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，开平方后移项即可求出含参数$n$的根。
【解析】
（1）小静解第1个方程的步骤④为$x+1=\pm3$，移项可得$x=-1\pm3$，步骤⑤将常数项符号写错，因此从步骤⑤开始出现错误。
（2）用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$：
移项，得$x^2+2nx=8n^2$，
配方，两边同时加$n^2$，得$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$，
整理得$(x+n)^2=9n^2$，
开平方，得$x+n=\pm3n$，
移项得$x=-n\pm3n$，
因此$x_1=-n+3n=2n$，$x_2=-n-3n=-4n$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{⑤}$；(2) $\boldsymbol{x_1=2n,x_2=-4n}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题核心考查配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤，既考查对基础运算规则的掌握，也考查含参数方程的求解能力，易错点为移项时符号出错、开平方漏写正负号，熟练掌握配方法的固定操作流程即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
11 先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若$m^2 + 6mn + 10n^2 - 8n + 16 = 0$，求$m$和$n$的值.
解：∵ $m^2 + 6mn + 10n^2 - 8n + 16 = 0$，∴ $m^2 + 6mn + 9n^2 + n^2 - 8n + 16 = 0$. ∴ $(m + 3n)^2 + (n - 4)^2 = 0$. ∴ $m + 3n = 0$，$n - 4 = 0$. ∴ $m = -12$，$n = 4$.
（1）若$x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 4 = 0$，求$x^y$的值；
（2）已知整数$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，满足$a^2 + b^2 = 8a + 10b - 41$，$a≠b≠c$，且$c$是$△ ABC$中最短边的长，求$c$的值.
例题：若$m^2 + 6mn + 10n^2 - 8n + 16 = 0$，求$m$和$n$的值.
解：∵ $m^2 + 6mn + 10n^2 - 8n + 16 = 0$，∴ $m^2 + 6mn + 9n^2 + n^2 - 8n + 16 = 0$. ∴ $(m + 3n)^2 + (n - 4)^2 = 0$. ∴ $m + 3n = 0$，$n - 4 = 0$. ∴ $m = -12$，$n = 4$.
（1）若$x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 4 = 0$，求$x^y$的值；
（2）已知整数$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，满足$a^2 + b^2 = 8a + 10b - 41$，$a≠b≠c$，且$c$是$△ ABC$中最短边的长，求$c$的值.
答案
11. (1) 由题意,可得$(x^2 + y^2 - 2xy)+(y^2 - 4y + 4)=0,(x - y)^2+(y - 2)^2=0,\therefore x - y=0,y - 2=0,\therefore x=y=2,\therefore x^y=2^2=4$
(2) 由题意,可得$a^2 - 8a + 16 + b^2 - 10b + 25 = 0$,即$(a - 4)^2 + (b - 5)^2=0,\therefore a - 4=0,b - 5=0,\therefore a=4,b=5,\therefore 5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$,即$1 ＜ c ＜ 9. \because a,b,c$为整数,$a≠b≠c$,且$c$是$△ ABC$中最短边的长,$\therefore c=3$或$2$
(2) 由题意,可得$a^2 - 8a + 16 + b^2 - 10b + 25 = 0$,即$(a - 4)^2 + (b - 5)^2=0,\therefore a - 4=0,b - 5=0,\therefore a=4,b=5,\therefore 5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$,即$1 ＜ c ＜ 9. \because a,b,c$为整数,$a≠b≠c$,且$c$是$△ ABC$中最短边的长,$\therefore c=3$或$2$
解析
【分析】
这道题的解题核心是利用配方法将原式拆凑为完全平方的和，再结合“若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求解。
对于（1）：先将原式分组，把含x、y的二次项凑为完全平方，剩余含y的项凑为另一个完全平方，令两个平方分别为0即可求出x、y的值，再代入计算$x^y$。
对于（2）：先将等式右侧的项移到左侧，分别把含a、含b的项凑为完全平方，求出a、b的值后，结合三角形三边关系得到c的取值范围，再根据“c是最短边、三边长互不相等且为整数”的限制条件确定c的取值。
【解析】
（1）对已知等式变形分组：
$\because x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 4 = 0$
$\therefore (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 0$
由完全平方公式得：$(x - y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
$\because$ 平方数为非负数，两个非负数的和为0，则每个平方都为0
$\therefore \begin{cases}x - y = 0 \\ y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$x=y=2$
代入得：$x^y=2^2=4$
（2）对已知等式移项整理：
$\because a^2 + b^2 = 8a + 10b - 41$
$\therefore a^2 - 8a + 16 + b^2 - 10b + 25 = 0$
由完全平方公式得：$(a - 4)^2 + (b - 5)^2 = 0$
同理可得：$\begin{cases}a - 4 = 0 \\ b - 5 = 0\end{cases}$
解得：$a=4$，$b=5$
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
得：$5-4 ＜ c ＜ 5+4$，即$1 ＜ c ＜ 9$
$\because$ a、b、c为整数，$a≠b≠c$，且c是最短边
$\therefore c ＜ 4$，结合$c＞1$，得$c=2$或$c=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的关键是掌握拆项凑完全平方的配方法，结合偶次幂的非负性求解未知量，求边长时要注意题干中的限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
这道题的解题核心是利用配方法将原式拆凑为完全平方的和，再结合“若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求解。
对于（1）：先将原式分组，把含x、y的二次项凑为完全平方，剩余含y的项凑为另一个完全平方，令两个平方分别为0即可求出x、y的值，再代入计算$x^y$。
对于（2）：先将等式右侧的项移到左侧，分别把含a、含b的项凑为完全平方，求出a、b的值后，结合三角形三边关系得到c的取值范围，再根据“c是最短边、三边长互不相等且为整数”的限制条件确定c的取值。
【解析】
（1）对已知等式变形分组：
$\because x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 4 = 0$
$\therefore (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 0$
由完全平方公式得：$(x - y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
$\because$ 平方数为非负数，两个非负数的和为0，则每个平方都为0
$\therefore \begin{cases}x - y = 0 \\ y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$x=y=2$
代入得：$x^y=2^2=4$
（2）对已知等式移项整理：
$\because a^2 + b^2 = 8a + 10b - 41$
$\therefore a^2 - 8a + 16 + b^2 - 10b + 25 = 0$
由完全平方公式得：$(a - 4)^2 + (b - 5)^2 = 0$
同理可得：$\begin{cases}a - 4 = 0 \\ b - 5 = 0\end{cases}$
解得：$a=4$，$b=5$
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
得：$5-4 ＜ c ＜ 5+4$，即$1 ＜ c ＜ 9$
$\because$ a、b、c为整数，$a≠b≠c$，且c是最短边
$\therefore c ＜ 4$，结合$c＞1$，得$c=2$或$c=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的关键是掌握拆项凑完全平方的配方法，结合偶次幂的非负性求解未知量，求边长时要注意题干中的限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
