1 新情境 传统文化 [2025 高新区期中]在我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图所示为油纸伞的张开示意图，$AE=AF$，$GE=GF$，则$△ AEG ≌ △ AFG$的依据是 （）

A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
（第1题）

1. D

【分析】
要判断△AEG≌△AFG的判定依据，首先梳理已知条件和隐含条件：题目明确给出AE=AF，GE=GF，其次观察图形可知AG是△AEG和△AFG的公共边，公共边天然相等，此时两个三角形三组对应边分别相等，对应全等三角形判定中的“边边边”定理，即可选出正确答案。
【解析】
在$△ AEG$和$△ AFG$中：
$\{\begin{array}{l}AE=AF(\mathrm{已知})\\GE=GF(\mathrm{已知})\\AG=AG(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ AEG ≌ △ AFG(\mathrm{SSS})$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
SSS判定全等三角形；公共边的性质
【点评】
本题结合传统油纸伞的生活情境考查全等三角形的判定，解题的关键是挖掘出图形中隐含的公共边相等的条件，属于基础类考题，需要同学们熟练掌握全等三角形的各类判定定理，学会识别图形中的公共边、公共角、对顶角等常用隐含条件。
【难度系数】
0.9

2 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，AC，BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（）

A.2对
B.3对
C.4对
D.5对

2. B

【分析】
解题时先从已知的边相等条件入手，结合图形中的公共边这一隐含条件，先用SSS判定定理找出两对大的全等三角形，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合对顶角相等的条件，证明剩下的小三角形全等，逐对统计即可得到全等三角形总对数。
【解析】
我们逐对证明全等三角形：
1. 证$△ ABC≌△ DCB$：
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}AB=DC(\mathrm{已知})\\AC=DB(\mathrm{已知})\\BC=CB(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ DCB$（SSS）。
2. 证$△ ABD≌△ DCA$：
在$△ ABD$和$△ DCA$中，
$\begin{cases}AB=DC(\mathrm{已知})\\BD=CA(\mathrm{已知})\\AD=DA(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ DCA$（SSS）。
3. 证$△ AOB≌△ DOC$：
由$△ ABD≌△ DCA$可得$∠ BAO=∠ CDO$（全等三角形对应角相等），
在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}∠ AOB=∠ DOC(\mathrm{对顶角相等})\\∠ BAO=∠ CDO(\mathrm{已证})\\AB=DC(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ DOC$（AAS）。
综上，图中全等三角形共有3对。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形SSS判定、全等三角形AAS判定、全等三角形性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定与计数，解题时要注意挖掘公共边、对顶角这类隐含条件，按顺序列举全等三角形，避免漏数或多算。
【难度系数】
0.7

3 新情境 生活实际 木工师傅在做完门框后为了防止变形，常用如图所示的方法钉上两根斜拉的木条，这样做的数学依据是。

3. 三角形具有稳定性

【分析】
解题时先分析门框的结构变化：首先门框原本是四边形结构，四边形具有不稳定性，容易发生形变；钉上斜拉木条后，斜木条和门框的相邻边会围成三角形，结合三角形的特性可知，三角形有不易变形的特点，由此即可得出对应的数学依据。
【解析】
门框的原始结构为四边形，四边形具有不稳定性，容易在外力影响下变形。钉上两根斜拉木条后，每根斜拉木条都和门框的两条相邻边共同构成了三角形结构，而三角形具有稳定、不易变形的特性，因此可以固定门框结构，避免其变形，对应的数学依据就是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题结合生活中的木工场景，考查几何图形的基本特性的实际应用，引导学生建立数学和生活的联系，学会用所学数学知识解释生活中的常见做法。
【难度系数】
0.9

4 如图,在四边形ABCE中,AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点在同一条直线上.若∠1=31°,∠2=66°,则∠3的度数为.

4. 35°

【分析】
首先观察已知条件，题目给出三组对应边相等：AB=AC，AD=AE，BD=CE，符合全等三角形“SSS”的判定条件，可先证明△ABD≌△ACE，得到对应角∠ABD=∠3。再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠2是△ABD的外角，因此∠2=∠1+∠ABD，代入已知角度即可求出∠3的度数。
【解析】
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC(已知)\\AD=AE(已知)\\BD=CE(已知)\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠ABD=∠3（全等三角形的对应角相等）
∵∠2是△ABD的外角
∴∠2=∠1+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
已知∠1=31°，∠2=66°，代入得：
∠ABD=∠2-∠1=66°-31°=35°
∴∠3=∠ABD=35°
【答案】
35°
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过已知的边相等条件证明三角形全等，再结合外角性质计算角度，解题的关键是准确找到全等三角形，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

5 如图，$AB=DE$，$AC=DC$，$CE=CB$. 求证：$∠ 1=∠ 2$.

5. 在$△ ABC$ 和 $△ DEC$ 中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DC, \\ CB=CE, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ DEC$(SSS),$\therefore ∠ ACB = ∠ DCE, \therefore ∠ ACB - ∠ ACE = ∠ DCE - ∠ ACE, \therefore ∠ 1 = ∠ 2$

【分析】
要证明∠1=∠2，首先从已知条件入手，题目给出了三组对应边相等，可优先考虑用“边边边（SSS）”定理证明三角形全等。首先证明△ABC和△DEC全等，根据全等三角形的性质可得对应角∠ACB=∠DCE，再观察发现这两个角包含公共角∠ACE，将两个角同时减去公共角∠ACE，即可推导出∠1=∠2。
【解析】
在$△ ABC$ 和 $△ DEC$ 中,
$\begin{cases}AB=DE, \\AC=DC, \\CB=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ DCE$,
$\therefore ∠ ACB - ∠ ACE = ∠ DCE - ∠ ACE$,
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$。
【答案】
$∠ 1=∠ 2$，得证。
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，重点考查对SSS判定定理和全等三角形性质的掌握，解题时注意从已知边相等的条件切入，结合角的和差关系即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8

6 如图,平面上有$△ ACD$与$△ BCE$,$AD$与$BE$相交于点$P$.若$AC=BC$,$AD=BE$,$CD=CE$,$∠ ACE=55°$,$∠ BCD=155°$,则$∠ BPD$的度数为 ()

A.$110°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$155°$

6. C

【分析】
首先根据题目给出的三组边对应相等的条件，用SSS判定定理证明△ACD和△BCE全等，得到对应角相等；再利用角的和差关系求出∠ACB的度数；最后结合三角形内角和与邻补角的性质，即可求出∠BPD的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\CD=CE \\AD=BE\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BCE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ A=∠ B$，$∠ ACD=∠ BCE$。
2. 计算$∠ ACB$的度数
$\because ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD$，$∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE$，且$∠ ACD=∠ BCE$
$\therefore ∠ BCD = 2∠ ACB + ∠ ACE$
代入$∠ ACE=55°$，$∠ BCD=155°$得：
$155°=2∠ ACB + 55°$
解得$∠ ACB=50°$。
3. 计算$∠ BPD$的度数
设$AC$交$BE$于点$O$，在$△ AOP$和$△ BOC$中：
$∠ A=∠ B$，$∠ AOP=∠ BOC$（对顶角相等）
$\therefore ∠ APO=∠ BCO=∠ ACB=50°$，即$∠ APB=50°$
$\because ∠ APB + ∠ BPD=180°$（邻补角和为$180°$）
$\therefore ∠ BPD=180°-50°=130°$。
【答案】
C
【知识点】
SSS判定全等；全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，核心是先通过边边边判定全等得到对应角相等，再结合角的关系推导待求角度，解题时注意对八字形角的等量关系、邻补角性质的灵活运用。
【难度系数】
0.65

7 (易错题)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E,D,F$是$BC$的四等分点,$AE=AF$,则图中的全等三角形共有对,分别是.

7. 4 $△ ABE ≌ △ ACF,△ AED ≌ △ AFD,△ ABD ≌ △ ACD,△ ABF ≌ △ ACE$
易错分析：解答本题时容易忽视$△ ABF ≌ △ ACE$,以致漏解.

【分析】
要解决这道题可按以下思路思考：①先整理已知的边相等条件：题目给出AB=AC、AE=AF，又E、D、F是BC的四等分点，可推出BE=ED=DF=FC，进一步通过线段和差得到BD=DC、BF=EC，还有公共边AD；②本题考查用“边边边（SSS）”判定全等三角形，我们只需按顺序找出所有三边对应相等的三角形组合即可，排查时可以从最小的三角形到最大的三角形逐一核对，避免漏解。
【解析】
解：
∵E、D、F是BC的四等分点，
∴BE=ED=DF=FC，
∴BD=ED+BE=DF+FC=DC，BF=BE+ED+DF=ED+DF+FC=EC。
接下来逐一判定全等三角形：
1. 判定$△ ABD≌△ ACD$：
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\ BD=DC(\mathrm{已证})\\ AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ ABD≌△ ACD$（SSS）；
2. 判定$△ AED≌△ AFD$：
在$△ AED$和$△ AFD$中，
$\{\begin{array}{l}AE=AF(\mathrm{已知})\\ ED=DF(\mathrm{已证})\\ AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ AED≌△ AFD$（SSS）；
3. 判定$△ ABE≌△ ACF$：
在$△ ABE$和$△ ACF$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\ BE=FC(\mathrm{已证})\\ AE=AF(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABE≌△ ACF$（SSS）；
4. 判定$△ ABF≌△ ACE$：
在$△ ABF$和$△ ACE$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\ BF=EC(\mathrm{已证})\\ AE=AF(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABF≌△ ACE$（SSS）。
综上，全等三角形共有4对。
【答案】
4；$△ ABE ≌ △ ACF,△ AED ≌ △ AFD,△ ABD ≌ △ ACD,△ ABF ≌ △ ACE$
【知识点】
SSS判定三角形全等；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形判定的易错题，解题时要先梳理所有相等的线段，再按顺序排查全等组合，很容易遗漏$△ ABF$和$△ ACE$这一组全等三角形，做题时要格外注意。
【难度系数】
0.6