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8 如图,在△ABC 和△EDF 中,∠B=∠D=90°,点A,E,C,F 在同一条直线上,AE=CF,BC 的延长线交DF 于点M,∠MCF=∠F.求证:BC=DF.
答案
8. $\because ∠ MCF = ∠ F, ∠ MCF = ∠ ACB, \therefore ∠ ACB = ∠ F$.
$\because AE=CF,\therefore AE+EC=CF+EC$,即$AC=EF$.在$△ ABC$ 和$△ EDF$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\∠ ACB=∠ F,\\AC=EF,\end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ EDF (\mathrm{AAS}),\therefore BC=DF$
$\because AE=CF,\therefore AE+EC=CF+EC$,即$AC=EF$.在$△ ABC$ 和$△ EDF$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\∠ ACB=∠ F,\\AC=EF,\end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ EDF (\mathrm{AAS}),\therefore BC=DF$
解析
【分析】
要证明BC=DF，可通过证明两条线段所在的△ABC和△EDF全等来推导。首先已知两个三角形都有直角，即∠B=∠D=90°，还需推导一组角相等和一组对应边相等：由对顶角相等可得∠MCF=∠ACB，结合已知∠MCF=∠F，即可得∠ACB=∠F；再由AE=CF，两边同时加上公共线段EC，可推得对应边AC=EF。此时两个三角形满足“角角边”的全等判定条件，证得全等后即可得到对应边BC=DF。
【解析】
$\because ∠ MCF = ∠ F$，$∠ MCF = ∠ ACB$（对顶角相等），
$\therefore ∠ ACB = ∠ F$。
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EC=CF+EC$，即$AC=EF$。
在$△ ABC$和$△ EDF$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ D, \\∠ ACB = ∠ F, \\AC = EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDF \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=DF$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$BC=DF$
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 全等三角形AAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，核心考查利用全等证明线段相等的思路，解题时需注意结合图形特征挖掘隐含的对顶角相等、线段和的关系等条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明BC=DF，可通过证明两条线段所在的△ABC和△EDF全等来推导。首先已知两个三角形都有直角，即∠B=∠D=90°，还需推导一组角相等和一组对应边相等：由对顶角相等可得∠MCF=∠ACB，结合已知∠MCF=∠F，即可得∠ACB=∠F；再由AE=CF，两边同时加上公共线段EC，可推得对应边AC=EF。此时两个三角形满足“角角边”的全等判定条件，证得全等后即可得到对应边BC=DF。
【解析】
$\because ∠ MCF = ∠ F$，$∠ MCF = ∠ ACB$（对顶角相等），
$\therefore ∠ ACB = ∠ F$。
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EC=CF+EC$，即$AC=EF$。
在$△ ABC$和$△ EDF$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ D, \\∠ ACB = ∠ F, \\AC = EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDF \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=DF$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$BC=DF$
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 全等三角形AAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，核心考查利用全等证明线段相等的思路，解题时需注意结合图形特征挖掘隐含的对顶角相等、线段和的关系等条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9 [2025 内江改编]如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧，且$AE=BF$，$AE// BF$，$∠ ECD=∠ FDC$.
(1) 求证:$CE=DF$；
(2) 若$AC=2$,$CD=4$,求$AB$的长.
(1) 求证:$CE=DF$；
(2) 若$AC=2$,$CD=4$,求$AB$的长.
答案
9. (1) $\because AE//BF,\therefore ∠ A=∠ B. \because ∠ ACE+∠ ECD=180°$,$∠ BDF + ∠ FDC = 180°$, $∠ ECD = ∠ FDC, \therefore ∠ ACE = ∠ BDF$. 在 $△ ACE$ 和 $△ BDF$ 中, $\begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ ACE=∠ BDF,\\AE=BF,\end{cases}$ $\therefore △ ACE≌△ BDF (\mathrm{AAS}), \therefore CE = DF$
(2) 由(1)知，$△ ACE≌△ BDF,\therefore AC=BD=2. \because CD=4,\therefore AB=AC+CD+BD=2+4+2=8,\therefore AB$ 的长为8
(2) 由(1)知，$△ ACE≌△ BDF,\therefore AC=BD=2. \because CD=4,\therefore AB=AC+CD+BD=2+4+2=8,\therefore AB$ 的长为8
解析
【分析】
(1) 要证明$CE=DF$，可通过证明两条线段所在的$△ ACE$和$△ BDF$全等来推导。首先由$AE// BF$，根据平行线的内错角相等可得$∠ A=∠ B$；已知$∠ ECD=∠ FDC$，两个角分别与$∠ ACE$、$∠ BDF$互补，根据等角的补角相等可推出$∠ ACE=∠ BDF$，结合已知$AE=BF$，即可用AAS判定两个三角形全等，由全等三角形对应边相等即可得$CE=DF$。
(2) 由(1)的全等结论可得对应边$AC=BD$，$AB$由$AC$、$CD$、$BD$三段组成，代入已知的$AC$、$CD$长度即可计算出$AB$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ B$。
$\because ∠ ACE+∠ ECD=180°$，$∠ BDF+∠ FDC=180°$，且$∠ ECD=∠ FDC$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BDF$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ ACE=∠ BDF,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore CE=DF$。
(2) 解：由(1)知$△ ACE≌△ BDF$，$\therefore AC=BD=2$。
$\because CD=4$，
$\therefore AB=AC+CD+BD=2+4+2=8$。
【答案】
(1) 已证$CE=DF$；(2) $AB$的长为$\boldsymbol{8}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定(AAS)；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何常规题型，综合考查了平行线性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是结合已知条件推导三角形全等的判定条件，再利用全等的性质得到对应边相等，进而求解线段长度，解题思路较为固定。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$CE=DF$，可通过证明两条线段所在的$△ ACE$和$△ BDF$全等来推导。首先由$AE// BF$，根据平行线的内错角相等可得$∠ A=∠ B$；已知$∠ ECD=∠ FDC$，两个角分别与$∠ ACE$、$∠ BDF$互补，根据等角的补角相等可推出$∠ ACE=∠ BDF$，结合已知$AE=BF$，即可用AAS判定两个三角形全等，由全等三角形对应边相等即可得$CE=DF$。
(2) 由(1)的全等结论可得对应边$AC=BD$，$AB$由$AC$、$CD$、$BD$三段组成，代入已知的$AC$、$CD$长度即可计算出$AB$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ B$。
$\because ∠ ACE+∠ ECD=180°$，$∠ BDF+∠ FDC=180°$，且$∠ ECD=∠ FDC$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BDF$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ ACE=∠ BDF,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore CE=DF$。
(2) 解：由(1)知$△ ACE≌△ BDF$，$\therefore AC=BD=2$。
$\because CD=4$，
$\therefore AB=AC+CD+BD=2+4+2=8$。
【答案】
(1) 已证$CE=DF$；(2) $AB$的长为$\boldsymbol{8}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定(AAS)；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何常规题型，综合考查了平行线性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是结合已知条件推导三角形全等的判定条件，再利用全等的性质得到对应边相等，进而求解线段长度，解题思路较为固定。
【难度系数】
0.7
10 如图,点A,F,E,C在同一条直线上,AB//CD,∠ABE=∠CDF,AF+AE=AC.
(1) ① $△ ABE ≌$
② $△ BCE ≌$
③ $△ ABC ≌$
(2) 对(1)中的①②加以证明.
(1) ① $△ ABE ≌$
$△ CDF$
;② $△ BCE ≌$
$△ DAF$
;③ $△ ABC ≌$
$△ CDA$
.(2) 对(1)中的①②加以证明.
答案
10. (1) ① $△ CDF$ ② $△ DAF$ ③ $△ CDA$
(2) ① $\because AB//CD,\therefore ∠ BAE=∠ DCF. \because AF+AE=AC,\therefore AE=AC-AF = CF$. 在$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中, $\begin{cases}∠ ABE=∠ CDF,\\∠ BAE=∠ DCF,\\AE=CF,\end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS})$.
② $\because △ ABE ≌ △ CDF,\therefore ∠ AEB=∠ CFD,BE=DF,\therefore ∠ BEC=∠ DFA. \because AF+AE=AC,CE+AE=AC,\therefore AF=CE$.在$△ BCE$和$△ DAF$中,$\begin{cases}BE=DF,\\∠ BEC=∠ DFA,\\CE=AF,\end{cases}$ $\therefore △ BCE≌△ DAF(\mathrm{SAS})$
(2) ① $\because AB//CD,\therefore ∠ BAE=∠ DCF. \because AF+AE=AC,\therefore AE=AC-AF = CF$. 在$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中, $\begin{cases}∠ ABE=∠ CDF,\\∠ BAE=∠ DCF,\\AE=CF,\end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS})$.
② $\because △ ABE ≌ △ CDF,\therefore ∠ AEB=∠ CFD,BE=DF,\therefore ∠ BEC=∠ DFA. \because AF+AE=AC,CE+AE=AC,\therefore AF=CE$.在$△ BCE$和$△ DAF$中,$\begin{cases}BE=DF,\\∠ BEC=∠ DFA,\\CE=AF,\end{cases}$ $\therefore △ BCE≌△ DAF(\mathrm{SAS})$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①AB//CD，可得到内错角相等；②已知∠ABE=∠CDF；③给出线段和的关系AF+AE=AC，可推导等边。
针对(1)的全等三角形判定：
①找与△ABE全等的三角形：已有两组角对应相等，需推导一组等边，由AF+AE=AC结合AC=AE+EC，可得AF=EC，进一步推得AE=CF，结合角的条件可确定全等三角形为△CDF；
②找与△BCE全等的三角形：由①的全等结论可得对应边BE=DF、对应角相等，进而得到∠BEC=∠DFA，再结合已证的AF=CE，可确定全等三角形为△DAF；
③找与△ABC全等的三角形：由AB//CD得内错角相等，结合①的全等得AB=CD，AC为公共边，可确定全等三角形为△CDA。
证明时先证①的全等，再利用①的结论作为②的条件推导即可。
【解析】
(1) ①观察已知角相等和平行线的等角条件，结合推导出的等边，可得△ABE≌△CDF；
②由①的全等性质得到边、角相等，结合线段和的关系推得的等边，可得△BCE≌△DAF；
③由平行线性质、公共边和全等得到的等边，可得△ABC≌△CDA。
(2) 证明：
① $\because AB// CD,\therefore ∠ BAE=∠ DCF$。
$\because AF+AE=AC$，且$AC=AE+EC$，$\therefore AF=EC$，
$\because AE=AF+FE$，$CF=CE+FE$，$\therefore AE=CF$。
在$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}∠ ABE=∠ CDF,\\∠ BAE=∠ DCF,\\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS})$。
② $\because △ ABE ≌ △ CDF,\therefore ∠ AEB=∠ CFD,BE=DF$，
$\because ∠ AEB+∠ BEC=180°$，$∠ CFD+∠ DFA=180°$，$\therefore ∠ BEC=∠ DFA$。
$\because AF+AE=AC,CE+AE=AC,\therefore AF=CE$。
在$△ BCE$和$△ DAF$中,
$\begin{cases}BE=DF,\\∠ BEC=∠ DFA,\\CE=AF,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ DAF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
(1) ① $△ CDF$ ② $△ DAF$ ③ $△ CDA$
(2) ①②证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，需要结合平行线的性质寻找等角，利用线段和的等量关系推导等边，解题时要注意利用已证的全等结论作为后续证明的条件，锻炼由已知推未知的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：①AB//CD，可得到内错角相等；②已知∠ABE=∠CDF；③给出线段和的关系AF+AE=AC，可推导等边。
针对(1)的全等三角形判定：
①找与△ABE全等的三角形：已有两组角对应相等，需推导一组等边，由AF+AE=AC结合AC=AE+EC，可得AF=EC，进一步推得AE=CF，结合角的条件可确定全等三角形为△CDF；
②找与△BCE全等的三角形：由①的全等结论可得对应边BE=DF、对应角相等，进而得到∠BEC=∠DFA，再结合已证的AF=CE，可确定全等三角形为△DAF；
③找与△ABC全等的三角形：由AB//CD得内错角相等，结合①的全等得AB=CD，AC为公共边，可确定全等三角形为△CDA。
证明时先证①的全等，再利用①的结论作为②的条件推导即可。
【解析】
(1) ①观察已知角相等和平行线的等角条件，结合推导出的等边，可得△ABE≌△CDF；
②由①的全等性质得到边、角相等，结合线段和的关系推得的等边，可得△BCE≌△DAF；
③由平行线性质、公共边和全等得到的等边，可得△ABC≌△CDA。
(2) 证明：
① $\because AB// CD,\therefore ∠ BAE=∠ DCF$。
$\because AF+AE=AC$，且$AC=AE+EC$，$\therefore AF=EC$，
$\because AE=AF+FE$，$CF=CE+FE$，$\therefore AE=CF$。
在$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}∠ ABE=∠ CDF,\\∠ BAE=∠ DCF,\\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS})$。
② $\because △ ABE ≌ △ CDF,\therefore ∠ AEB=∠ CFD,BE=DF$，
$\because ∠ AEB+∠ BEC=180°$，$∠ CFD+∠ DFA=180°$，$\therefore ∠ BEC=∠ DFA$。
$\because AF+AE=AC,CE+AE=AC,\therefore AF=CE$。
在$△ BCE$和$△ DAF$中,
$\begin{cases}BE=DF,\\∠ BEC=∠ DFA,\\CE=AF,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ DAF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
(1) ① $△ CDF$ ② $△ DAF$ ③ $△ CDA$
(2) ①②证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，需要结合平行线的性质寻找等角，利用线段和的等量关系推导等边，解题时要注意利用已证的全等结论作为后续证明的条件，锻炼由已知推未知的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
