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【知识推导】设$AP=m$，$PB=n$，按照定义$\frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}=x(m＞n＞0)$恒成立，请你推导黄金比$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$(参考数据：$\sqrt{5}\approx2.236$)。
答案
∵ $\frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}$，
∴ $n(m+n)=m^2$，整理，得$n^2+mn-m^2=0$。
∵ $m＞0$，
∴ $(\frac{n}{m})^2+\frac{n}{m}-1=0$，此时$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5$，
∴ $\frac{n}{m}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(负值舍去)，即$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
解析
【分析】
本题的核心目标是推导黄金比的表达式，解题思路可按三步展开：第一步，利用比例的基本性质，将给出的分式比例式转化为整式方程，消去分母；第二步，由于所求的x是n与m的比值，且m＞0，可将整式方程两边同时除以m²，把含两个变量m、n的方程转化为仅关于比值x的一元二次方程；第三步，用一元二次方程求根公式解方程，再结合x是正数的实际意义舍去不符合要求的负根，即可得到黄金比。
【解析】
∵ $\frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}$，
∴ $n(m+n)=m^2$，整理，得$n^2+mn-m^2=0$。
∵ $m＞0$，
∴ $(\frac{n}{m})^2+\frac{n}{m}-1=0$，此时$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5$，
∴ $\frac{n}{m}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(负值舍去)，即$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
【答案】
$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
【知识点】
比例的基本性质，一元二次方程求解，黄金比
【点评】
本题是黄金分割相关的基础推导题，通过将二元比例式转化为关于比值的一元二次方程求解，既巩固了比例运算、一元二次方程求解的相关技能，也能直观理解黄金比的数学由来。
【难度系数】
0.7
本题的核心目标是推导黄金比的表达式，解题思路可按三步展开：第一步，利用比例的基本性质，将给出的分式比例式转化为整式方程，消去分母；第二步，由于所求的x是n与m的比值，且m＞0，可将整式方程两边同时除以m²，把含两个变量m、n的方程转化为仅关于比值x的一元二次方程；第三步，用一元二次方程求根公式解方程，再结合x是正数的实际意义舍去不符合要求的负根，即可得到黄金比。
【解析】
∵ $\frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}$，
∴ $n(m+n)=m^2$，整理，得$n^2+mn-m^2=0$。
∵ $m＞0$，
∴ $(\frac{n}{m})^2+\frac{n}{m}-1=0$，此时$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5$，
∴ $\frac{n}{m}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(负值舍去)，即$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
【答案】
$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
【知识点】
比例的基本性质，一元二次方程求解，黄金比
【点评】
本题是黄金分割相关的基础推导题，通过将二元比例式转化为关于比值的一元二次方程求解，既巩固了比例运算、一元二次方程求解的相关技能，也能直观理解黄金比的数学由来。
【难度系数】
0.7
【拓展应用】如图②，已知线段AC，按下列步骤画图：① 过点C画$CD⊥ AC$，使$CD=\frac{1}{2}AC$；② 连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；③ 以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B。在所画图中，B是线段AC的黄金分割点吗？请说明理由。
答案
B是线段AC的黄金分割点 理由:依题意画出图形如图①所示
。设$CD=t(t＞0)$，由画图可知$DE=CD=t$。$\because CD=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2CD=2t$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{5}t$，$\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)t$。由画图可知$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore B$是线段AC的黄金分割点。解析
【分析】
要判断点B是否为AC的黄金分割点，只需验证AB与AC的比值是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题时可先设参数表示CD的长度，结合已知$CD=\frac{1}{2}AC$得到AC的长度，再在直角三角形ACD中用勾股定理求出AD的长度；接着根据作图性质得到$DE=CD$、$AB=AE$，进而推导AB的长度，最后计算AB和AC的比值，与黄金比对比即可得出结论。
【解析】
解：B是线段AC的黄金分割点，理由如下：
设$CD=t(t＞0)$，
由作图可知，以D为圆心DC长为半径画弧交AD于E，因此$DE=CD=t$。
$\because CD=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2CD=2t$。
$\because CD⊥ AC$，$\therefore △ ACD$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(2t)^2+t^2}=\sqrt{5}t$，
$\therefore AE=AD-DE=\sqrt{5}t - t=(\sqrt{5}-1)t$。
由作图可知，以A为圆心AE长为半径画弧交AC于B，因此$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比值要求，
故B是线段AC的黄金分割点。
【答案】
B是线段AC的黄金分割点 理由:依题意画出图形如图①所示。设$CD=t(t＞0)$，由画图可知$DE=CD=t$。$\because CD=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2CD=2t$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{5}t$，$\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)t$。由画图可知$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore B$是线段AC的黄金分割点。
【知识点】
黄金分割；勾股定理；尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查黄金分割的判定，解题的关键是根据作图过程梳理出各线段之间的等量关系，通过设参数计算线段比值来验证结论，能够帮助巩固几何作图性质、勾股定理和黄金分割的相关知识。
【难度系数】
0.7
要判断点B是否为AC的黄金分割点，只需验证AB与AC的比值是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题时可先设参数表示CD的长度，结合已知$CD=\frac{1}{2}AC$得到AC的长度，再在直角三角形ACD中用勾股定理求出AD的长度；接着根据作图性质得到$DE=CD$、$AB=AE$，进而推导AB的长度，最后计算AB和AC的比值，与黄金比对比即可得出结论。
【解析】
解：B是线段AC的黄金分割点，理由如下：
设$CD=t(t＞0)$，
由作图可知，以D为圆心DC长为半径画弧交AD于E，因此$DE=CD=t$。
$\because CD=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2CD=2t$。
$\because CD⊥ AC$，$\therefore △ ACD$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(2t)^2+t^2}=\sqrt{5}t$，
$\therefore AE=AD-DE=\sqrt{5}t - t=(\sqrt{5}-1)t$。
由作图可知，以A为圆心AE长为半径画弧交AC于B，因此$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比值要求，
故B是线段AC的黄金分割点。
【答案】
B是线段AC的黄金分割点 理由:依题意画出图形如图①所示
。设$CD=t(t＞0)$，由画图可知$DE=CD=t$。$\because CD=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2CD=2t$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{5}t$，$\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)t$。由画图可知$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore B$是线段AC的黄金分割点。【知识点】
黄金分割；勾股定理；尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查黄金分割的判定，解题的关键是根据作图过程梳理出各线段之间的等量关系，通过设参数计算线段比值来验证结论，能够帮助巩固几何作图性质、勾股定理和黄金分割的相关知识。
【难度系数】
0.7
【折纸探究】如图③，按下列步骤折纸：① 将一张边长为1的正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF，再展开；② 折出矩形BCFE的对角线BF；③ 将边AB折到BF上，点A的对应点为A'，得到折痕BG。求证：G为线段AD的黄金分割点(AG＞GD)。
答案
如图②
，连接GF。$\because$ 正方形ABCD的边长为1，EF为折痕，$\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，$∠ C=∠ A=∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。$\because BG$是折痕，$\therefore AG=A'G$，$A'B=AB=1$，$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°$，$\therefore A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。设$AG=A'G=a$，则$DG=1-a$。在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中，$A'F^2+A'G^2=FG^2$；在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$DF^2+DG^2=FG^2$，$\therefore A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$，即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$，解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore G$是AD的黄金分割点$(AG＞GD)$。解析
【分析】
要证明G是AD的黄金分割点，需证明$\frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），已知正方形边长AD=1，故只需算出AG的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题思路如下：1. 先根据正方形对折的性质得到CF的长度，用勾股定理算出BF的长度；2. 利用折叠的性质得到对应边AG=A'G、AB=A'B=1，进而求出A'F的长度；3. 设AG为a，用含a的式子表示DG，再通过公共边GF，分别在Rt△GA'F和Rt△GDF中用勾股定理表示$GF^2$，列方程求解a，最后验证AG与AD的比值是否为黄金比即可。
【解析】
连接GF。$\because$ 正方形ABCD的边长为1，EF为折痕，$\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，$∠ C=∠ A=∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。$\because BG$是折痕，$\therefore AG=A'G$，$A'B=AB=1$，$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°$，$\therefore A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。设$AG=A'G=a$，则$DG=1-a$。在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中，$A'F^2+A'G^2=FG^2$；在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$DF^2+DG^2=FG^2$，$\therefore A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$，即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$，解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore G$是AD的黄金分割点$(AG＞GD)$。
【答案】
如图②，连接GF。$\because$ 正方形ABCD的边长为1，EF为折痕，$\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，$∠ C=∠ A=∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。$\because BG$是折痕，$\therefore AG=A'G$，$A'B=AB=1$，$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°$，$\therefore A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。设$AG=A'G=a$，则$DG=1-a$。在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中，$A'F^2+A'G^2=FG^2$；在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$DF^2+DG^2=FG^2$，$\therefore A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$，即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$，解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore G$是AD的黄金分割点$(AG＞GD)$。
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，黄金分割的定义
【点评】
本题结合折叠操作考查黄金分割的证明，解题关键是利用折叠的性质得到相等线段，再通过勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，能很好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
要证明G是AD的黄金分割点，需证明$\frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），已知正方形边长AD=1，故只需算出AG的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题思路如下：1. 先根据正方形对折的性质得到CF的长度，用勾股定理算出BF的长度；2. 利用折叠的性质得到对应边AG=A'G、AB=A'B=1，进而求出A'F的长度；3. 设AG为a，用含a的式子表示DG，再通过公共边GF，分别在Rt△GA'F和Rt△GDF中用勾股定理表示$GF^2$，列方程求解a，最后验证AG与AD的比值是否为黄金比即可。
【解析】
连接GF。$\because$ 正方形ABCD的边长为1，EF为折痕，$\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，$∠ C=∠ A=∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。$\because BG$是折痕，$\therefore AG=A'G$，$A'B=AB=1$，$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°$，$\therefore A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。设$AG=A'G=a$，则$DG=1-a$。在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中，$A'F^2+A'G^2=FG^2$；在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$DF^2+DG^2=FG^2$，$\therefore A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$，即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$，解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore G$是AD的黄金分割点$(AG＞GD)$。
【答案】
如图②
，连接GF。$\because$ 正方形ABCD的边长为1，EF为折痕，$\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，$∠ C=∠ A=∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。$\because BG$是折痕，$\therefore AG=A'G$，$A'B=AB=1$，$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°$，$\therefore A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。设$AG=A'G=a$，则$DG=1-a$。在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中，$A'F^2+A'G^2=FG^2$；在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$DF^2+DG^2=FG^2$，$\therefore A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$，即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$，解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore G$是AD的黄金分割点$(AG＞GD)$。【知识点】
折叠的性质，勾股定理，黄金分割的定义
【点评】
本题结合折叠操作考查黄金分割的证明，解题关键是利用折叠的性质得到相等线段，再通过勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，能很好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
