登录
1 顶点为$(-5,0)$且开口方向、形状与函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的图像相同的抛物线是(
A.$y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2$
B.$y=-\dfrac{1}{3}x^2 -5$
C.$y=-\dfrac{1}{3}(x+5)^2$
D.$y=\dfrac{1}{3}(x+5)^2$
C
)。A.$y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2$
B.$y=-\dfrac{1}{3}x^2 -5$
C.$y=-\dfrac{1}{3}(x+5)^2$
D.$y=\dfrac{1}{3}(x+5)^2$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手分步推导：第一步，回忆二次函数的性质，抛物线的开口方向和形状完全由二次项系数$a$决定，因此和$y=-\dfrac{1}{3}x^2$开口、形状相同的抛物线，$a$和它相等，先排除$a$不匹配的选项；第二步，已知抛物线顶点在x轴上，对应顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-5,0)$确定$h$的值，代入即可得到解析式，匹配对应选项。
【解析】
1. 确定二次项系数：
因为所求抛物线的开口方向、形状与$y=-\dfrac{1}{3}x^2$相同，所以二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}$，由此排除D选项（D的$a=\dfrac{1}{3}$，开口方向相反）。
2. 代入顶点坐标求解析式：
顶点在x轴上的抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,0)$。已知所求抛物线顶点为$(-5,0)$，因此$h=-5$。
将$a=-\dfrac{1}{3}$、$h=-5$代入顶点式得：
$y=-\dfrac{1}{3}[x-(-5)]^2=-\dfrac{1}{3}(x+5)^2$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是明确二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，顶点式可直接对应顶点坐标，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手分步推导：第一步，回忆二次函数的性质，抛物线的开口方向和形状完全由二次项系数$a$决定，因此和$y=-\dfrac{1}{3}x^2$开口、形状相同的抛物线，$a$和它相等，先排除$a$不匹配的选项；第二步，已知抛物线顶点在x轴上，对应顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-5,0)$确定$h$的值，代入即可得到解析式，匹配对应选项。
【解析】
1. 确定二次项系数：
因为所求抛物线的开口方向、形状与$y=-\dfrac{1}{3}x^2$相同，所以二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}$，由此排除D选项（D的$a=\dfrac{1}{3}$，开口方向相反）。
2. 代入顶点坐标求解析式：
顶点在x轴上的抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,0)$。已知所求抛物线顶点为$(-5,0)$，因此$h=-5$。
将$a=-\dfrac{1}{3}$、$h=-5$代入顶点式得：
$y=-\dfrac{1}{3}[x-(-5)]^2=-\dfrac{1}{3}(x+5)^2$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是明确二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，顶点式可直接对应顶点坐标，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2 抛物线 $y=2(x-3)^2$ 的顶点在(
A.第一象限
B.第二象限
C.$x$ 轴上
D.$y$ 轴上
C
)。A.第一象限
B.第二象限
C.$x$ 轴上
D.$y$ 轴上
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律：对于形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，其顶点坐标为$(h,k)$。接下来将题干中的抛物线解析式和顶点式对照，确定对应的$h$、$k$值，得到顶点坐标后，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断顶点所在的位置即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），顶点坐标为$(h,k)$。
题干中抛物线解析式为$y=2(x-3)^2$，可变形为$y=2(x-3)^2+0$，对应可得$h=3$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
因为纵坐标为0的点在$x$轴上，所以该抛物线的顶点在$x$轴上。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数顶点式的掌握程度，只要能准确从顶点式中提取顶点坐标，结合坐标系点的位置判断规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律：对于形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，其顶点坐标为$(h,k)$。接下来将题干中的抛物线解析式和顶点式对照，确定对应的$h$、$k$值，得到顶点坐标后，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断顶点所在的位置即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），顶点坐标为$(h,k)$。
题干中抛物线解析式为$y=2(x-3)^2$，可变形为$y=2(x-3)^2+0$，对应可得$h=3$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
因为纵坐标为0的点在$x$轴上，所以该抛物线的顶点在$x$轴上。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数顶点式的掌握程度，只要能准确从顶点式中提取顶点坐标，结合坐标系点的位置判断规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3 将抛物线 $ y = 3x^2 $ 向左平移3个单位所得的抛物线的函数表达式为(
A.$ y = 3x^2 - 3 $
B.$ y = 3(x - 3)^2 $
C.$ y = 3x^2 + 3 $
D.$ y = 3(x + 3)^2 $
D
)。A.$ y = 3x^2 - 3 $
B.$ y = 3(x - 3)^2 $
C.$ y = 3x^2 + 3 $
D.$ y = 3(x + 3)^2 $
答案
3.D
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握二次函数图像的平移规律。首先明确平移类型：本题是水平方向向左平移，水平平移遵循“左加右减”的规则，即向左平移时给自变量x加上平移单位，向右平移时给自变量x减去平移单位，且加减操作仅作用于自变量x本身，不改变二次项系数。我们只需将原解析式中的x替换为x+3，即可得到平移后的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
二次函数图像水平平移遵循“左加右减”的规律，该规律仅作用于自变量x：
已知原抛物线的函数表达式为$y=3x^2$，现将其向左平移3个单位，根据“左加”规则，将式中的$x$替换为$x+3$，可得平移后的抛物线表达式为$y=3(x+3)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像平移规律、二次函数表达式确定
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数的平移规则，解题关键是区分水平平移和竖直平移的不同操作，牢记“左加右减针对x，上加下减针对常数项”的口诀，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是掌握二次函数图像的平移规律。首先明确平移类型：本题是水平方向向左平移，水平平移遵循“左加右减”的规则，即向左平移时给自变量x加上平移单位，向右平移时给自变量x减去平移单位，且加减操作仅作用于自变量x本身，不改变二次项系数。我们只需将原解析式中的x替换为x+3，即可得到平移后的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
二次函数图像水平平移遵循“左加右减”的规律，该规律仅作用于自变量x：
已知原抛物线的函数表达式为$y=3x^2$，现将其向左平移3个单位，根据“左加”规则，将式中的$x$替换为$x+3$，可得平移后的抛物线表达式为$y=3(x+3)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像平移规律、二次函数表达式确定
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数的平移规则，解题关键是区分水平平移和竖直平移的不同操作，牢记“左加右减针对x，上加下减针对常数项”的口诀，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
④ 把抛物线 $y=4(x-2)^2$ 向
左
平移 4
个单位，就得到函数 $y=4(x+2)^2$ 的图像。答案
4.左，4
解析
【分析】
要解决抛物线平移的问题，我们可以采用两种常用思路：一是通过顶点坐标的变化判断平移方式，抛物线平移时顶点的平移规律和整个抛物线的平移规律完全一致；二是利用平移口诀“左加右减，上加下减”，其中左右平移看自变量x的变化，上下平移看常数项的变化。我们先找到两个抛物线的顶点坐标，对比顶点的位置变化就能得到平移方向和距离，也可以通过函数表达式中自变量的变化验证结果。
【解析】
对于顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$：
1. 原抛物线$y=4(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
2. 目标抛物线$y=4(x+2)^2$可变形为$y=4(x-(-2))^2$，顶点坐标为$(-2,0)$；
3. 对比两个顶点的位置：点$(2,0)$向左平移4个单位即可得到点$(-2,0)$。
由于抛物线平移时形状、开口方向均不变，仅位置随顶点同步平移，因此原抛物线向左平移4个单位就能得到目标函数的图像。
也可通过平移规律验证：将原函数中的$x$替换为$x+4$，可得$y=4[(x+4)-2]^2=4(x+2)^2$，根据“左加右减”的规则，自变量加4对应向左平移4个单位，结论一致。
【答案】
左，4
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图像平移的基础题型，解题核心是掌握顶点式的顶点坐标判断方法，或者熟练运用“左加右减、上加下减”的平移口诀，两种方法都可以快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要解决抛物线平移的问题，我们可以采用两种常用思路：一是通过顶点坐标的变化判断平移方式，抛物线平移时顶点的平移规律和整个抛物线的平移规律完全一致；二是利用平移口诀“左加右减，上加下减”，其中左右平移看自变量x的变化，上下平移看常数项的变化。我们先找到两个抛物线的顶点坐标，对比顶点的位置变化就能得到平移方向和距离，也可以通过函数表达式中自变量的变化验证结果。
【解析】
对于顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$：
1. 原抛物线$y=4(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
2. 目标抛物线$y=4(x+2)^2$可变形为$y=4(x-(-2))^2$，顶点坐标为$(-2,0)$；
3. 对比两个顶点的位置：点$(2,0)$向左平移4个单位即可得到点$(-2,0)$。
由于抛物线平移时形状、开口方向均不变，仅位置随顶点同步平移，因此原抛物线向左平移4个单位就能得到目标函数的图像。
也可通过平移规律验证：将原函数中的$x$替换为$x+4$，可得$y=4[(x+4)-2]^2=4(x+2)^2$，根据“左加右减”的规则，自变量加4对应向左平移4个单位，结论一致。
【答案】
左，4
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图像平移的基础题型，解题核心是掌握顶点式的顶点坐标判断方法，或者熟练运用“左加右减、上加下减”的平移口诀，两种方法都可以快速得出结果。
【难度系数】
0.85
5 如果抛物线 $ y=(a-3)(x+3)^2 $ 在对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是
$a＜3$
。答案
5.$a＜3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握形如$y=a(x+m)^2$的二次函数的核心性质：该类抛物线的对称轴为直线$x=-m$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小（图像下降），右侧$y$随$x$增大而增大（图像上升）；当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大（图像上升），右侧$y$随$x$增大而减小（图像下降）。题目给出抛物线对称轴左侧上升，说明开口向下，即二次项系数小于0，据此列不等式求解即可。
【解析】
抛物线$y=(a-3)(x+3)^2$是顶点式二次函数，其中二次项系数为$a-3$，对称轴为直线$x=-3$。
由题意，抛物线在对称轴左侧部分上升，可知抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，列不等式：
$a-3＜0$
解得：$a＜3$
【答案】
$a＜3$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，以及不同开口方向下的增减性规律，熟练掌握二次函数基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要掌握形如$y=a(x+m)^2$的二次函数的核心性质：该类抛物线的对称轴为直线$x=-m$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小（图像下降），右侧$y$随$x$增大而增大（图像上升）；当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大（图像上升），右侧$y$随$x$增大而减小（图像下降）。题目给出抛物线对称轴左侧上升，说明开口向下，即二次项系数小于0，据此列不等式求解即可。
【解析】
抛物线$y=(a-3)(x+3)^2$是顶点式二次函数，其中二次项系数为$a-3$，对称轴为直线$x=-3$。
由题意，抛物线在对称轴左侧部分上升，可知抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，列不等式：
$a-3＜0$
解得：$a＜3$
【答案】
$a＜3$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，以及不同开口方向下的增减性规律，熟练掌握二次函数基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
⑥ 将抛物线$y=3(x-m)^2$向左平移两个单位后，对称轴是直线$x=1$，那么$m$的值为
3
。答案
6.3
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先回忆二次函数图象平移的“左加右减”规律，以及顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$；其次根据平移规则推导平移后的对称轴表达式；最后结合题目给出的平移后对称轴为$x=1$列方程求解，即可得到$m$的值。注意平移规则是针对自变量$x$进行变换，避免搞反加减方向。
【解析】
方法1：通过平移后的解析式推导
① 根据二次函数平移“左加右减”的规律，将抛物线$y=3(x-m)^2$向左平移2个单位，需将自变量$x$替换为$x+2$，得到平移后的解析式：
$y=3[(x+2)-m]^2=3(x-(m-2))^2$
② 对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此平移后抛物线的对称轴为直线$x=m-2$。
③ 由题知平移后对称轴是直线$x=1$，列方程得：
$m-2=1$
解得$m=3$。
方法2：直接平移对称轴求解
原抛物线$y=3(x-m)^2$的对称轴为直线$x=m$，抛物线向左平移2个单位时，对称轴也同步向左平移2个单位，因此平移后的对称轴为$x=m-2$。
结合题意$m-2=1$，解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式性质、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数平移的性质和顶点式的基本特征，易错点是容易混淆左右平移对应的“加”“减”方向，熟练掌握平移规律即可快速得分。
【难度系数】
0.75
解题思路可分为三步：首先回忆二次函数图象平移的“左加右减”规律，以及顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$；其次根据平移规则推导平移后的对称轴表达式；最后结合题目给出的平移后对称轴为$x=1$列方程求解，即可得到$m$的值。注意平移规则是针对自变量$x$进行变换，避免搞反加减方向。
【解析】
方法1：通过平移后的解析式推导
① 根据二次函数平移“左加右减”的规律，将抛物线$y=3(x-m)^2$向左平移2个单位，需将自变量$x$替换为$x+2$，得到平移后的解析式：
$y=3[(x+2)-m]^2=3(x-(m-2))^2$
② 对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此平移后抛物线的对称轴为直线$x=m-2$。
③ 由题知平移后对称轴是直线$x=1$，列方程得：
$m-2=1$
解得$m=3$。
方法2：直接平移对称轴求解
原抛物线$y=3(x-m)^2$的对称轴为直线$x=m$，抛物线向左平移2个单位时，对称轴也同步向左平移2个单位，因此平移后的对称轴为$x=m-2$。
结合题意$m-2=1$，解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式性质、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数平移的性质和顶点式的基本特征，易错点是容易混淆左右平移对应的“加”“减”方向，熟练掌握平移规律即可快速得分。
【难度系数】
0.75
7 函数 $y=-(x-\dfrac{1}{3})^2$ 的最大值为
$0$
，函数 $y=-x^2-\dfrac{1}{3}$ 的最大值为 $-\dfrac{1}{3}$
。答案
7.$0,-\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查二次函数最值的求解，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为图像的最高点，函数在顶点处取得最大值，最大值等于顶点的纵坐标$k$。我们只需将两个给定函数转化为标准顶点式，找到对应的$k$值即可得到最大值。
【解析】
1. 求函数$y=-(x-\dfrac{1}{3})^2$的最大值：
该函数为标准二次函数顶点式，其中$a=-1＜0$，对应$k=0$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$，因此当$x=\dfrac{1}{3}$时，函数取得最大值，最大值为$0$。
2. 求函数$y=-x^2-\dfrac{1}{3}$的最大值：
将函数变形为顶点式得$y=-(x-0)^2 + (-\dfrac{1}{3})$，其中$a=-1＜0$，对应$k=-\dfrac{1}{3}$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,-\dfrac{1}{3})$，因此当$x=0$时，函数取得最大值，最大值为$-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$0$；$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值计算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握开口方向向下的二次函数的最大值为顶点纵坐标的性质，只需正确识别顶点式中的参数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数最值的求解，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为图像的最高点，函数在顶点处取得最大值，最大值等于顶点的纵坐标$k$。我们只需将两个给定函数转化为标准顶点式，找到对应的$k$值即可得到最大值。
【解析】
1. 求函数$y=-(x-\dfrac{1}{3})^2$的最大值：
该函数为标准二次函数顶点式，其中$a=-1＜0$，对应$k=0$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$，因此当$x=\dfrac{1}{3}$时，函数取得最大值，最大值为$0$。
2. 求函数$y=-x^2-\dfrac{1}{3}$的最大值：
将函数变形为顶点式得$y=-(x-0)^2 + (-\dfrac{1}{3})$，其中$a=-1＜0$，对应$k=-\dfrac{1}{3}$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,-\dfrac{1}{3})$，因此当$x=0$时，函数取得最大值，最大值为$-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$0$；$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值计算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握开口方向向下的二次函数的最大值为顶点纵坐标的性质，只需正确识别顶点式中的参数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8 把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向左平移2个单位得到抛物线
$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
；若将它向下平移2个单位，得到抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
。答案
8.$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
解析
【分析】
解决抛物线平移问题首先要明确核心规则：抛物线平移过程中仅改变位置，形状、开口方向均不变，即二次项系数a保持不变，再套用平移口诀“左加右减，上加下减”计算即可。需注意：左右平移是对自变量x本身进行加减操作，向左平移则给x加平移单位，向右平移则给x减平移单位，操作时需给x加括号；上下平移是对整个函数值进行加减操作，向上平移则整体加平移单位，向下平移则整体减平移单位。本题我们分别对两次平移套用上述规则计算即可。
【解析】
根据二次函数平移规律：平移不改变二次项系数，遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对函数整体）”的规则：
1. 将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向左平移2个单位，把x替换为$x+2$，可得平移后的解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
2. 将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向下平移2个单位，在原解析式基础上整体减2，可得平移后的解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
【知识点】
二次函数图像平移规律；抛物线的基本性质
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题，主要考查平移规则的应用，易错点是部分学生容易混淆左右平移的加减方向，或未对自变量x单独加括号导致计算错误，牢记平移口诀的适用范围即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解决抛物线平移问题首先要明确核心规则：抛物线平移过程中仅改变位置，形状、开口方向均不变，即二次项系数a保持不变，再套用平移口诀“左加右减，上加下减”计算即可。需注意：左右平移是对自变量x本身进行加减操作，向左平移则给x加平移单位，向右平移则给x减平移单位，操作时需给x加括号；上下平移是对整个函数值进行加减操作，向上平移则整体加平移单位，向下平移则整体减平移单位。本题我们分别对两次平移套用上述规则计算即可。
【解析】
根据二次函数平移规律：平移不改变二次项系数，遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对函数整体）”的规则：
1. 将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向左平移2个单位，把x替换为$x+2$，可得平移后的解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
2. 将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向下平移2个单位，在原解析式基础上整体减2，可得平移后的解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
【知识点】
二次函数图像平移规律；抛物线的基本性质
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题，主要考查平移规则的应用，易错点是部分学生容易混淆左右平移的加减方向，或未对自变量x单独加括号导致计算错误，牢记平移口诀的适用范围即可快速得分。
【难度系数】
0.85
9 若抛物线$y=a(x+m)^2$的对称轴为$x=-3$，且它与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相同，则点$(a,m)$关于原点的对称点为
$(2,-3)$
。答案
9.$(2,-3)$
解析
【分析】
解题时可按照以下思路逐步推导：①先回忆顶点式二次函数$y=a(x+m)^2$的基本性质：其对称轴为直线$x=-m$，二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，若两条抛物线形状相同、开口方向相同，则二者的$a$值完全相等；②根据对称轴已知条件求出$m$的值；③根据两条抛物线的形状、开口关系求出$a$的值，得到点$(a,m)$的坐标；④最后根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律，求出最终的对称点坐标。
【解析】
1. 求$m$的值：
对于抛物线$y=a(x+m)^2$，其对称轴为$x=-m$，已知该抛物线对称轴为$x=-3$，因此有：
$-m=-3$，解得$m=3$。
2. 求$a$的值：
已知抛物线$y=a(x+m)^2$与$y=-2x^2$形状相同、开口方向相同，说明二者二次项系数相等，因此$a=-2$。
3. 求对称点坐标：
由上述计算得点$(a,m)$为$(-2,3)$，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均取原坐标的相反数，因此$(-2,3)$关于原点的对称点为$(2,-3)$。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
顶点式二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式参数的几何意义和中心对称的坐标规律，核心是牢记顶点式中$a$、$m$对应的图像性质，结合对称点的坐标规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按照以下思路逐步推导：①先回忆顶点式二次函数$y=a(x+m)^2$的基本性质：其对称轴为直线$x=-m$，二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，若两条抛物线形状相同、开口方向相同，则二者的$a$值完全相等；②根据对称轴已知条件求出$m$的值；③根据两条抛物线的形状、开口关系求出$a$的值，得到点$(a,m)$的坐标；④最后根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律，求出最终的对称点坐标。
【解析】
1. 求$m$的值：
对于抛物线$y=a(x+m)^2$，其对称轴为$x=-m$，已知该抛物线对称轴为$x=-3$，因此有：
$-m=-3$，解得$m=3$。
2. 求$a$的值：
已知抛物线$y=a(x+m)^2$与$y=-2x^2$形状相同、开口方向相同，说明二者二次项系数相等，因此$a=-2$。
3. 求对称点坐标：
由上述计算得点$(a,m)$为$(-2,3)$，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均取原坐标的相反数，因此$(-2,3)$关于原点的对称点为$(2,-3)$。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
顶点式二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式参数的几何意义和中心对称的坐标规律，核心是牢记顶点式中$a$、$m$对应的图像性质，结合对称点的坐标规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
⑩ 已知开口向上的抛物线$y=a(x-1)^2$的顶点为A，点B是抛物线上横坐标为3的一点，点C是抛物线与y轴的交点，且$△ ABC$为直角三角形，那么a的值为
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$或1
。答案
10.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$或1 [提示:因为抛物线$y=a(x-1)^2$的顶点为A,所以A(1,0)。因为点B是抛物线上横坐标为3的一点,所以B(3,4a)。因为点C是抛物线与y轴的交点,所以C(0,a)。于是可得$AB^2=(3-1)^2+(4a-0)^2=16a^2+4$,$AC^2=1+a^2$,$BC^2=3^2+(4a-a)^2=9a^2+9$。
① 当$\mathrm{Rt}△ ABC$以AB为斜边时,由勾股定理,得$AB^2=BC^2+AC^2$,$16a^2+4=1+a^2+9a^2+9$,解得$a=\pm1$(舍负),所以$a=1$;② 当$\mathrm{Rt}△ ABC$以BC为斜边时,由勾股定理,得$BC^2=AC^2+AB^2$,$9a^2+9=16a^2+4+1+a^2$,解得$a=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$(舍负),所以$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$;③ 当$\mathrm{Rt}△ ABC$以AC为斜边时,由勾股定理,得$AC^2=BC^2+AB^2$,$1+a^2=9a^2+9+16a^2+4$,$a^2=-\dfrac{1}{2}$,无解。综上所述,$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$或$a=1$。]
① 当$\mathrm{Rt}△ ABC$以AB为斜边时,由勾股定理,得$AB^2=BC^2+AC^2$,$16a^2+4=1+a^2+9a^2+9$,解得$a=\pm1$(舍负),所以$a=1$;② 当$\mathrm{Rt}△ ABC$以BC为斜边时,由勾股定理,得$BC^2=AC^2+AB^2$,$9a^2+9=16a^2+4+1+a^2$,解得$a=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$(舍负),所以$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$;③ 当$\mathrm{Rt}△ ABC$以AC为斜边时,由勾股定理,得$AC^2=BC^2+AB^2$,$1+a^2=9a^2+9+16a^2+4$,$a^2=-\dfrac{1}{2}$,无解。综上所述,$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$或$a=1$。]
解析
【分析】
解题时首先根据抛物线的顶点式确定顶点A的坐标，再分别代入x=3、x=0求出点B、点C的坐标；由于△ABC是直角三角形且未明确直角顶点，因此需分三种情况讨论：AB为斜边、BC为斜边、AC为斜边；对每种情况利用勾股定理列方程求解，最后结合抛物线开口向上（a＞0）的条件舍去不符合的解，即可得到a的取值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x-1)^2$为顶点式，
∴顶点A的坐标为$(1,0)$，
将x=3代入抛物线解析式，得$y=a(3-1)^2=4a$，即点B坐标为$(3,4a)$，
令x=0，得$y=a(0-1)^2=a$，即抛物线与y轴交点C的坐标为$(0,a)$，
由两点间距离公式可得三条边的平方：
$AB^2=(3-1)^2+(4a-0)^2=16a^2+4$，
$AC^2=(0-1)^2+(a-0)^2=a^2+1$，
$BC^2=(3-0)^2+(4a-a)^2=9a^2+9$，
已知抛物线开口向上，故$a＞0$，分三种情况讨论：
① 当AB为斜边时，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入得：$16a^2+4=a^2+1+9a^2+9$，
化简得$6a^2=6$，解得$a=\pm1$，结合$a＞0$取$a=1$；
② 当BC为斜边时，由勾股定理得$BC^2=AC^2+AB^2$，
代入得：$9a^2+9=a^2+1+16a^2+4$，
化简得$8a^2=4$，解得$a=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合$a＞0$取$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③ 当AC为斜边时，由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2$，
代入得：$a^2+1=16a^2+4+9a^2+9$，
化简得$24a^2=-12$，无实数解；
综上可得a的取值。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$或$1$
【知识点】
二次函数顶点式；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题结合了二次函数坐标求解与直角三角形的性质，解题的核心是明确直角顶点不确定时需分类讨论，同时要注意抛物线开口向上的隐含条件，避免漏解、多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据抛物线的顶点式确定顶点A的坐标，再分别代入x=3、x=0求出点B、点C的坐标；由于△ABC是直角三角形且未明确直角顶点，因此需分三种情况讨论：AB为斜边、BC为斜边、AC为斜边；对每种情况利用勾股定理列方程求解，最后结合抛物线开口向上（a＞0）的条件舍去不符合的解，即可得到a的取值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x-1)^2$为顶点式，
∴顶点A的坐标为$(1,0)$，
将x=3代入抛物线解析式，得$y=a(3-1)^2=4a$，即点B坐标为$(3,4a)$，
令x=0，得$y=a(0-1)^2=a$，即抛物线与y轴交点C的坐标为$(0,a)$，
由两点间距离公式可得三条边的平方：
$AB^2=(3-1)^2+(4a-0)^2=16a^2+4$，
$AC^2=(0-1)^2+(a-0)^2=a^2+1$，
$BC^2=(3-0)^2+(4a-a)^2=9a^2+9$，
已知抛物线开口向上，故$a＞0$，分三种情况讨论：
① 当AB为斜边时，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入得：$16a^2+4=a^2+1+9a^2+9$，
化简得$6a^2=6$，解得$a=\pm1$，结合$a＞0$取$a=1$；
② 当BC为斜边时，由勾股定理得$BC^2=AC^2+AB^2$，
代入得：$9a^2+9=a^2+1+16a^2+4$，
化简得$8a^2=4$，解得$a=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合$a＞0$取$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③ 当AC为斜边时，由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2$，
代入得：$a^2+1=16a^2+4+9a^2+9$，
化简得$24a^2=-12$，无实数解；
综上可得a的取值。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$或$1$
【知识点】
二次函数顶点式；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题结合了二次函数坐标求解与直角三角形的性质，解题的核心是明确直角顶点不确定时需分类讨论，同时要注意抛物线开口向上的隐含条件，避免漏解、多解错误。
【难度系数】
0.6
11 已知抛物线$y=a(x+1)^2$过点$A(-2,2)$，求抛物线的表达式，并写出点A关于其对称轴的对称点$A'$的坐标。
答案
11.将$A(-2,2)$代入$y=a(x+1)^2$,得$a=2$,所以抛物线的表达式为$y=2(x+1)^2$。由抛物线$y=a(x+1)^2$可得抛物线的对称轴为直线$x=-1$。再由点$A'$与点$A(-2,2)$关于直线$x=-1$对称,得$A'(0,2)$。
解析
【分析】
解题可分为两个步骤推导：第一步求抛物线表达式：题目给出的是含参数a的二次函数顶点式，且已知抛物线过点A，将点A的坐标代入表达式，即可建立关于a的一元一次方程，解方程求出a后就能得到完整的抛物线表达式；第二步求对称点A'的坐标：先根据二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$的性质，直接得到抛物线的对称轴为直线$x=-m$，再利用“关于垂直于x轴的直线对称的两点，纵坐标相等，横坐标的平均值等于对称轴对应的x值”的规律，即可算出A'的坐标。
【解析】
1. 求抛物线的表达式：
将点$A(-2,2)$代入$y=a(x+1)^2$，可得：
$2=a×(-2+1)^2$
化简得$2=a×1$，解得$a=2$
因此抛物线的表达式为$y=2(x+1)^2$
2. 求点A关于对称轴的对称点$A'$的坐标：
由顶点式$y=a(x+1)^2$可知，抛物线的对称轴为直线$x=-1$
因为点$A'$与$A(-2,2)$关于直线$x=-1$对称，所以两点纵坐标相等，设$A'$的横坐标为$x$，则：
$\frac{-2+x}{2}=-1$
解得$x=0$，即$A'$的坐标为$(0,2)$
【答案】
抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=2(x+1)^2}$，点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式性质；轴对称坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对顶点式二次函数基本性质的掌握，以及轴对称坐标变化规律的应用，解题逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题可分为两个步骤推导：第一步求抛物线表达式：题目给出的是含参数a的二次函数顶点式，且已知抛物线过点A，将点A的坐标代入表达式，即可建立关于a的一元一次方程，解方程求出a后就能得到完整的抛物线表达式；第二步求对称点A'的坐标：先根据二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$的性质，直接得到抛物线的对称轴为直线$x=-m$，再利用“关于垂直于x轴的直线对称的两点，纵坐标相等，横坐标的平均值等于对称轴对应的x值”的规律，即可算出A'的坐标。
【解析】
1. 求抛物线的表达式：
将点$A(-2,2)$代入$y=a(x+1)^2$，可得：
$2=a×(-2+1)^2$
化简得$2=a×1$，解得$a=2$
因此抛物线的表达式为$y=2(x+1)^2$
2. 求点A关于对称轴的对称点$A'$的坐标：
由顶点式$y=a(x+1)^2$可知，抛物线的对称轴为直线$x=-1$
因为点$A'$与$A(-2,2)$关于直线$x=-1$对称，所以两点纵坐标相等，设$A'$的横坐标为$x$，则：
$\frac{-2+x}{2}=-1$
解得$x=0$，即$A'$的坐标为$(0,2)$
【答案】
抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=2(x+1)^2}$，点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式性质；轴对称坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对顶点式二次函数基本性质的掌握，以及轴对称坐标变化规律的应用，解题逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
