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1 下列说法中正确的是(
A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B.圆是轴对称图形，有2条对称轴
C.弦的垂直平分线过圆心
D.相等的圆心角所对的弧也相等
C
)。A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B.圆是轴对称图形，有2条对称轴
C.弦的垂直平分线过圆心
D.相等的圆心角所对的弧也相等
答案
C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需结合各定理的完整内容及成立的前提条件，逐一判断选项正误：首先回忆垂径定理及推论、圆的对称性、圆心角与弧的关系定理的内容，特别注意不要遗漏各定理的限制条件，避免因概念记忆不全面出错。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 垂径定理的推论中，“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”的前提是被平分的弦不是直径，若弦为直径，任意两条直径互相平分但不一定垂直，故A错误；
B. 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴，故B错误；
C. 根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线必然经过圆心，故C正确；
D. “相等的圆心角所对的弧相等”的前提是在同圆或等圆中，缺少该前提结论不成立，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及其推论；圆的对称性；圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略各定理成立的前提条件，学习相关定理时要准确记忆完整内容，注意区分特殊情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需结合各定理的完整内容及成立的前提条件，逐一判断选项正误：首先回忆垂径定理及推论、圆的对称性、圆心角与弧的关系定理的内容，特别注意不要遗漏各定理的限制条件，避免因概念记忆不全面出错。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 垂径定理的推论中，“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”的前提是被平分的弦不是直径，若弦为直径，任意两条直径互相平分但不一定垂直，故A错误；
B. 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴，故B错误；
C. 根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线必然经过圆心，故C正确；
D. “相等的圆心角所对的弧相等”的前提是在同圆或等圆中，缺少该前提结论不成立，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及其推论；圆的对称性；圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略各定理成立的前提条件，学习相关定理时要准确记忆完整内容，注意区分特殊情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
2 如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=(
A.5
B.7
C.$\frac{37}{5}$
D.$\frac{37}{7}$
D
)米。A.5
B.7
C.$\frac{37}{5}$
D.$\frac{37}{7}$
答案
D
解析
【分析】
首先观察图形，CD垂直于弦AB且过圆心O，根据垂径定理可先求出AD的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△OAD中OD的长度，最后利用勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，AB=10米，
∴根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=5$米。
设此圆的半径$OA=r$米，则$OC=r$米，
∵CD=7米，
∴$OD=CD-OC=(7-r)$米。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得$r^2=5^2+(7-r)^2$，
展开得$r^2=25+49-14r+r^2$，
移项化简得$14r=74$，
解得$r=\frac{37}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长求半径的典型题型，解题关键是结合垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解，这种“方程思想”在圆的计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，CD垂直于弦AB且过圆心O，根据垂径定理可先求出AD的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△OAD中OD的长度，最后利用勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，AB=10米，
∴根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=5$米。
设此圆的半径$OA=r$米，则$OC=r$米，
∵CD=7米，
∴$OD=CD-OC=(7-r)$米。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得$r^2=5^2+(7-r)^2$，
展开得$r^2=25+49-14r+r^2$，
移项化简得$14r=74$，
解得$r=\frac{37}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长求半径的典型题型，解题关键是结合垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解，这种“方程思想”在圆的计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
3 在$\odot O$中，点$C$为弦$AB$的中点，过点$C$的直径交$\odot O$于点$D$、$E$，如果$AB=8\ \mathrm{cm}$，$OD=5\ \mathrm{cm}$，则$CD$长为(
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
D.$3\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
C
)。A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
D.$3\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件联想到垂径定理：过弦中点的直径垂直于弦，因此可得DE⊥AB，且AC为AB长度的一半。接下来连接半径OA，构造直角三角形，利用勾股定理计算出圆心O到点C的距离OC。最后注意直径DE的两个端点位置不唯一，需分两种情况计算CD的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵ DE是过弦AB中点C的直径，AB=8cm，
根据垂径定理可得：DE⊥AB，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$。
∵ OD是⊙O的半径，OD=5cm，
∴ OA=OD=5cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 若点D靠近弦AB一侧：$CD=OD - OC=5 - 3=2\mathrm{cm}$；
② 若点D远离弦AB一侧：$CD=OD + OC=5 + 3=8\mathrm{cm}$。
综上，CD长为2cm或8cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，易错点是容易忽略直径端点的两种位置，导致漏解，做题时要注意结合图形的多种可能性考虑，思维要全面。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件联想到垂径定理：过弦中点的直径垂直于弦，因此可得DE⊥AB，且AC为AB长度的一半。接下来连接半径OA，构造直角三角形，利用勾股定理计算出圆心O到点C的距离OC。最后注意直径DE的两个端点位置不唯一，需分两种情况计算CD的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵ DE是过弦AB中点C的直径，AB=8cm，
根据垂径定理可得：DE⊥AB，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$。
∵ OD是⊙O的半径，OD=5cm，
∴ OA=OD=5cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 若点D靠近弦AB一侧：$CD=OD - OC=5 - 3=2\mathrm{cm}$；
② 若点D远离弦AB一侧：$CD=OD + OC=5 + 3=8\mathrm{cm}$。
综上，CD长为2cm或8cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，易错点是容易忽略直径端点的两种位置，导致漏解，做题时要注意结合图形的多种可能性考虑，思维要全面。
【难度系数】
0.6
二、填空题
④ 如图，在半径为10cm的$\odot O$中，$AB=16\mathrm{cm}$，$OC ⊥ AB$于点$C$，则$OC$等于$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
④ 如图，在半径为10cm的$\odot O$中，$AB=16\mathrm{cm}$，$OC ⊥ AB$于点$C$，则$OC$等于$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
6
解析
【分析】
遇到圆中弦与垂直于弦的半径的相关计算问题，首先考虑运用垂径定理：先连接半径OA构造直角三角形，利用垂径定理求出弦长的一半AC的长度，再在直角三角形OAC中运用勾股定理就能求出OC的长度。
【解析】
连接OA，
∵ $OC ⊥ AB$，且OC过圆心O，
∴ 由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$，
∵ $\odot O$的半径为10cm，
∴ $OA=10\mathrm{cm}$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是将圆的弦长计算问题转化为直角三角形的边长求解问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合运用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
遇到圆中弦与垂直于弦的半径的相关计算问题，首先考虑运用垂径定理：先连接半径OA构造直角三角形，利用垂径定理求出弦长的一半AC的长度，再在直角三角形OAC中运用勾股定理就能求出OC的长度。
【解析】
连接OA，
∵ $OC ⊥ AB$，且OC过圆心O，
∴ 由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$，
∵ $\odot O$的半径为10cm，
∴ $OA=10\mathrm{cm}$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是将圆的弦长计算问题转化为直角三角形的边长求解问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合运用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5 如图,圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为
第4题图
第5题图
第6题图
$4\sqrt{2}$
。 第4题图 第5题图 第6题图答案
$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：直径AB垂直弦CD，优先想到垂径定理，可得CD=2CE，因此只需计算CE的长度就能求出CD。接下来结合∠A=22.5°的条件，OC、OA都是圆的半径，二者相等，所以△OAC是等腰三角形，可推出∠COE=2∠A=45°，最后在Rt△COE中利用特殊角的三角函数或勾股定理求出CE的长度，即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵OC和OA都是圆O的半径
∴OC=OA，得∠OCA=∠A=22.5°
∴∠COE=∠A+∠OCA=45°（三角形外角等于不相邻两个内角的和）
∵直径AB垂直于弦CD，且AB过圆心O
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）
在Rt△COE中，∠CEO=90°，∠COE=45°，OC=4
∴CE=OC·sin45°=$4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
∴CD=2CE=$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础应用题型，将垂径定理与三角形角度计算、特殊直角三角形的边长计算结合考查，解题的关键是利用半径相等推导得到45°特殊角，再结合垂径定理转化求解弦长。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：直径AB垂直弦CD，优先想到垂径定理，可得CD=2CE，因此只需计算CE的长度就能求出CD。接下来结合∠A=22.5°的条件，OC、OA都是圆的半径，二者相等，所以△OAC是等腰三角形，可推出∠COE=2∠A=45°，最后在Rt△COE中利用特殊角的三角函数或勾股定理求出CE的长度，即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵OC和OA都是圆O的半径
∴OC=OA，得∠OCA=∠A=22.5°
∴∠COE=∠A+∠OCA=45°（三角形外角等于不相邻两个内角的和）
∵直径AB垂直于弦CD，且AB过圆心O
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）
在Rt△COE中，∠CEO=90°，∠COE=45°，OC=4
∴CE=OC·sin45°=$4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
∴CD=2CE=$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础应用题型，将垂径定理与三角形角度计算、特殊直角三角形的边长计算结合考查，解题的关键是利用半径相等推导得到45°特殊角，再结合垂径定理转化求解弦长。
【难度系数】
0.7
⑥ 如图，在⊙O中，弦AB长为8cm，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2cm，则OA=
5 cm
。答案
5 cm
解析
【分析】
拿到本题首先观察条件：OC是圆的半径且垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被D点平分，从而算出半弦AD的长度。要求半径OA，观察到△ODA是直角三角形，OA为斜边，AD已知，OD的长度可表示为半径OA减去CD的长度，因此可以设OA的长度为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设⊙O的半径OA的长度为$ r\ \mathrm{cm} $，则OC=OA=$ r\ \mathrm{cm} $。
∵ OC⊥AB，AB=8cm，根据垂径定理，得
$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm} $
∵ CD=2cm，
∴ $ OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm} $
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：
$ OA^2=OD^2+AD^2 $
代入得：$ r^2=(r-2)^2+4^2 $
展开等式右侧：$ r^2=r^2-4r+4+16 $
移项化简得：$ 4r=20 $
解得：$ r=5 $
即OA=5cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合圆的半径相等的性质，通过勾股定理建立方程求解，需熟练掌握圆中弦长、半径、弦心距三者的数量关系，这是解决圆内线段计算问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察条件：OC是圆的半径且垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被D点平分，从而算出半弦AD的长度。要求半径OA，观察到△ODA是直角三角形，OA为斜边，AD已知，OD的长度可表示为半径OA减去CD的长度，因此可以设OA的长度为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设⊙O的半径OA的长度为$ r\ \mathrm{cm} $，则OC=OA=$ r\ \mathrm{cm} $。
∵ OC⊥AB，AB=8cm，根据垂径定理，得
$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm} $
∵ CD=2cm，
∴ $ OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm} $
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：
$ OA^2=OD^2+AD^2 $
代入得：$ r^2=(r-2)^2+4^2 $
展开等式右侧：$ r^2=r^2-4r+4+16 $
移项化简得：$ 4r=20 $
解得：$ r=5 $
即OA=5cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合圆的半径相等的性质，通过勾股定理建立方程求解，需熟练掌握圆中弦长、半径、弦心距三者的数量关系，这是解决圆内线段计算问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
7 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$\odot A$过原点$O$，交$y$轴、$x$轴分别于点$B$、$C$。若点$B$的坐标为$(0,6)$，$AB=5$，则点$C$的坐标为
$(8, 0)$
。答案
$(8, 0)$
解析
【分析】
要求点C的坐标，需先求出OC的长度，因为C在x轴上，纵坐标为0，横坐标即为OC的长。根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此我们过圆心A分别作x轴、y轴的垂线，得到弦OC、OB的中点，再结合勾股定理计算相关线段长度，即可求出OC的长度，得到C点坐标。
【解析】
过点A作$AM ⊥ y$轴于点M，$AN ⊥ x$轴于点N。
∵ $\odot A$过原点O，AB是$\odot A$的半径，
∴ $OA=AB=5$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：M是OB的中点，N是OC的中点。
∵ 点B的坐标为$(0,6)$，
∴ $OB=6$，则$OM=\frac{1}{2}OB=3$。
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2 - OM^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
∵ 四边形AMON是矩形，
∴ $AN=OM=3$。
在$Rt△ AON$中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OA^2 - AN^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
∵ N是OC的中点，
∴ $OC=2ON=8$。
又
∵ 点C在x轴正半轴上，
∴ 点C的坐标为$(8,0)$。
【答案】
$(8, 0)$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的关键是作垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和勾股定理计算线段长度，考查学生对基础定理的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.7
要求点C的坐标，需先求出OC的长度，因为C在x轴上，纵坐标为0，横坐标即为OC的长。根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此我们过圆心A分别作x轴、y轴的垂线，得到弦OC、OB的中点，再结合勾股定理计算相关线段长度，即可求出OC的长度，得到C点坐标。
【解析】
过点A作$AM ⊥ y$轴于点M，$AN ⊥ x$轴于点N。
∵ $\odot A$过原点O，AB是$\odot A$的半径，
∴ $OA=AB=5$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：M是OB的中点，N是OC的中点。
∵ 点B的坐标为$(0,6)$，
∴ $OB=6$，则$OM=\frac{1}{2}OB=3$。
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2 - OM^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
∵ 四边形AMON是矩形，
∴ $AN=OM=3$。
在$Rt△ AON$中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OA^2 - AN^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
∵ N是OC的中点，
∴ $OC=2ON=8$。
又
∵ 点C在x轴正半轴上，
∴ 点C的坐标为$(8,0)$。
【答案】
$(8, 0)$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的关键是作垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和勾股定理计算线段长度，考查学生对基础定理的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.7
8 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为
8
mm。答案
8
解析
【分析】
要求小圆孔宽口AB的长度，AB是圆O的弦，涉及圆中弦长计算，首先想到利用垂径定理求解。解题思路为：①过圆心作AB的垂线，得到弦心距，连接半径构造直角三角形；②根据已知条件计算圆的半径和圆心到AB的距离；③在直角三角形中用勾股定理计算半弦长，再乘2得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵ 钢珠的直径为10 mm，
∴ 圆O的半径$OA = 10÷2 = 5\ \mathrm{mm}$。
由题意可知，圆心O到弦AB的距离$OC = 8\ \mathrm{mm} - 5\ \mathrm{mm} = 3\ \mathrm{mm}$。
∵ OC⊥AB，根据垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{mm}$，
∴ $AB = 2AC = 2×4 = 8\ \mathrm{mm}$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的实际应用类题目，解题核心是通过作弦心距、连半径的辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，属于基础常考题型，需熟练掌握此类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
要求小圆孔宽口AB的长度，AB是圆O的弦，涉及圆中弦长计算，首先想到利用垂径定理求解。解题思路为：①过圆心作AB的垂线，得到弦心距，连接半径构造直角三角形；②根据已知条件计算圆的半径和圆心到AB的距离；③在直角三角形中用勾股定理计算半弦长，再乘2得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵ 钢珠的直径为10 mm，
∴ 圆O的半径$OA = 10÷2 = 5\ \mathrm{mm}$。
由题意可知，圆心O到弦AB的距离$OC = 8\ \mathrm{mm} - 5\ \mathrm{mm} = 3\ \mathrm{mm}$。
∵ OC⊥AB，根据垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{mm}$，
∴ $AB = 2AC = 2×4 = 8\ \mathrm{mm}$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的实际应用类题目，解题核心是通过作弦心距、连半径的辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，属于基础常考题型，需熟练掌握此类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
9 ⊙O的半径为13 cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB // CD，AB =24 cm，CD =10 cm。则AB和CD之间的距离为
7 cm 或 17 cm
。答案
7 cm 或 17 cm [提示:由已知条件可求得圆心 O 到 AB 的距离为 5 cm,到 CD 的距离为 12 cm。当 AB、CD 在圆心 O 同侧时,AB 与 CD 之间的距离为 7 cm;当 AB、CD 在圆心 O 异侧时,AB 与 CD 之间的距离为 17 cm。]
解析
【分析】
这道题是圆中平行弦距离的计算问题，解题思路分三步：①首先明确圆中两条平行弦的位置有两种可能，分别在圆心的同侧或异侧，需分类讨论，避免漏解；②利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，将弦长的一半、半径、弦心距构造为直角三角形的三边；③用勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据两条弦的位置关系计算它们之间的距离。
【解析】
解：过圆心$O$分别作$OE⊥AB$于点$E$，$OF⊥CD$于点$F$，连接$OA$、$OC$。
$\because AB// CD$，$\therefore O$、$E$、$F$三点共线，$EF$的长度即为$AB$和$CD$之间的距离。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
已知$\odot O$半径$OA=OC=13\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$；
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$的距离$EF=OF-OE=12-5=7\ \mathrm{cm}$；
2. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$的距离$EF=OF+OE=12+5=17\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{17\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略两条平行弦在圆心异侧的情况，造成漏解。解题时需先考虑弦的所有可能位置，再结合垂径定理和勾股定理计算，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
这道题是圆中平行弦距离的计算问题，解题思路分三步：①首先明确圆中两条平行弦的位置有两种可能，分别在圆心的同侧或异侧，需分类讨论，避免漏解；②利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，将弦长的一半、半径、弦心距构造为直角三角形的三边；③用勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据两条弦的位置关系计算它们之间的距离。
【解析】
解：过圆心$O$分别作$OE⊥AB$于点$E$，$OF⊥CD$于点$F$，连接$OA$、$OC$。
$\because AB// CD$，$\therefore O$、$E$、$F$三点共线，$EF$的长度即为$AB$和$CD$之间的距离。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
已知$\odot O$半径$OA=OC=13\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$；
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$的距离$EF=OF-OE=12-5=7\ \mathrm{cm}$；
2. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$的距离$EF=OF+OE=12+5=17\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{17\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略两条平行弦在圆心异侧的情况，造成漏解。解题时需先考虑弦的所有可能位置，再结合垂径定理和勾股定理计算，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
