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11 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，求证：$∠ B=∠ C$。
第11题图
第11题图答案
11.因为在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,所以$AB=CD$,所以$∠AOB=∠COD$。因为$OA=OB, OC=OD$,所以在$△AOB$中,$∠B=90°-\frac{1}{2}∠AOB$,在$△COD$中,$∠C=90°-\frac{1}{2}∠COD$,所以$∠B=∠C$。
解析
【分析】
首先根据已知条件“同圆中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$”，回忆同圆中弧、弦、圆心角的对应关系：同圆中相等的弧对应的圆心角相等，可推出$∠ AOB=∠ COD$；再观察$∠ B$和$∠ C$分别是$△ AOB$和$△ COD$的底角，而OA、OB、OC、OD都是圆的半径，因此两个三角形都是等腰三角形，结合等腰三角形底角的计算规律，即可证明两个底角相等。
【解析】
证明：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ 对应的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$。
∵ OA、OB、OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$OC=OD$，即$△ AOB$和$△ COD$均为等腰三角形。
在$△ AOB$中，$∠ B=\frac{180°-∠ AOB}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ AOB$，
在$△ COD$中，$∠ C=\frac{180°-∠ COD}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ COD$，
又
∵ $∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ B=∠ C$。
【答案】
$∠ B=∠ C$，得证。
【知识点】
1. 弧弦圆心角的关系
2. 等腰三角形的性质
3. 同圆半径相等
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题核心是利用等弧推出等圆心角，再结合等腰三角形的性质推导角的等量关系，熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角的对应关系是解题的前提。
【难度系数】
0.85
首先根据已知条件“同圆中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$”，回忆同圆中弧、弦、圆心角的对应关系：同圆中相等的弧对应的圆心角相等，可推出$∠ AOB=∠ COD$；再观察$∠ B$和$∠ C$分别是$△ AOB$和$△ COD$的底角，而OA、OB、OC、OD都是圆的半径，因此两个三角形都是等腰三角形，结合等腰三角形底角的计算规律，即可证明两个底角相等。
【解析】
证明：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ 对应的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$。
∵ OA、OB、OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$OC=OD$，即$△ AOB$和$△ COD$均为等腰三角形。
在$△ AOB$中，$∠ B=\frac{180°-∠ AOB}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ AOB$，
在$△ COD$中，$∠ C=\frac{180°-∠ COD}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ COD$，
又
∵ $∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ B=∠ C$。
【答案】
$∠ B=∠ C$，得证。
【知识点】
1. 弧弦圆心角的关系
2. 等腰三角形的性质
3. 同圆半径相等
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题核心是利用等弧推出等圆心角，再结合等腰三角形的性质推导角的等量关系，熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角的对应关系是解题的前提。
【难度系数】
0.85
12 已知A、B、C、D是$\odot O$上的四个点，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，求证：$AC=BD$。
答案
12.因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$AC=BD$。
解析
【分析】
要证明两条弦相等，根据同圆中弧与弦的对应关系，可先证明两条弦对应的弧相等。已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，观察图形可得$\overset{\frown}{AC}$是$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{BC}$的和，$\overset{\frown}{BD}$是$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{AD}$的和，两组弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AB}$后仍相等，即可推出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到对应弦相等。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$
$\therefore \overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
$\because$在同圆中，等弧所对的弦相等
$\therefore AC=BD$
【答案】
因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$AC=BD$。
【知识点】
1. 等弧对等弦
2. 弧的和差运算
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题关键是借助公共弧完成待证等弧的转化，牢记同圆中弧与弦的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要证明两条弦相等，根据同圆中弧与弦的对应关系，可先证明两条弦对应的弧相等。已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，观察图形可得$\overset{\frown}{AC}$是$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{BC}$的和，$\overset{\frown}{BD}$是$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{AD}$的和，两组弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AB}$后仍相等，即可推出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到对应弦相等。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$
$\therefore \overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
$\because$在同圆中，等弧所对的弦相等
$\therefore AC=BD$
【答案】
因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$AC=BD$。
【知识点】
1. 等弧对等弦
2. 弧的和差运算
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题关键是借助公共弧完成待证等弧的转化，牢记同圆中弧与弦的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13 如图，AB、CD是$\odot O$的两条弦，$AB=CD$，$OE ⊥ CD$，$OF ⊥ AB$，垂足分别为E、F。比较CE和AF的大小，并证明你的结论。
第13题图
第13题图答案
13.$CE=AF$,理由如下:连接OC、OD,因为$OC=OD$, $OE ⊥ CD$,所以$CE=\frac{1}{2}CD$。同理，$AF=\frac{1}{2}AB$。因为$AB=CD$,所以$CE=AF$。
解析
【分析】
要比较CE和AF的大小，首先观察到OE过圆心且垂直于CD、OF过圆心且垂直于AB，可结合垂径定理得到CE与CD的数量关系、AF与AB的数量关系，再利用已知的AB=CD的条件，通过等量代换即可判断两条线段的大小。
【解析】
解：$CE=AF$，证明如下：
连接OC、OD，
∵ $OC=OD$，$OE ⊥ CD$，
∴ 由垂径定理可得$CE=\frac{1}{2}CD$，
同理，$OF ⊥ AB$，可得$AF=\frac{1}{2}AB$，
又
∵ $AB=CD$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$CE=AF$。
【答案】
$CE=AF$
【知识点】
垂径定理；等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查垂径定理的应用，解题的关键是利用垂径定理将待比较的线段转化为对应弦的一半，结合已知等弦的条件即可快速得出结论，熟练掌握垂径定理是解决此类弦相关问题的基础。
【难度系数】
0.8
要比较CE和AF的大小，首先观察到OE过圆心且垂直于CD、OF过圆心且垂直于AB，可结合垂径定理得到CE与CD的数量关系、AF与AB的数量关系，再利用已知的AB=CD的条件，通过等量代换即可判断两条线段的大小。
【解析】
解：$CE=AF$，证明如下：
连接OC、OD，
∵ $OC=OD$，$OE ⊥ CD$，
∴ 由垂径定理可得$CE=\frac{1}{2}CD$，
同理，$OF ⊥ AB$，可得$AF=\frac{1}{2}AB$，
又
∵ $AB=CD$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$CE=AF$。
【答案】
$CE=AF$
【知识点】
垂径定理；等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查垂径定理的应用，解题的关键是利用垂径定理将待比较的线段转化为对应弦的一半，结合已知等弦的条件即可快速得出结论，熟练掌握垂径定理是解决此类弦相关问题的基础。
【难度系数】
0.8
14 如图，AB、AC是$\odot O$的两条弦，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
（1）求证：AO平分$∠ BAC$。
（2）若$AB=4\sqrt{5}$，$BC=8$，求半径OA的长。
（1）求证：AO平分$∠ BAC$。
（2）若$AB=4\sqrt{5}$，$BC=8$，求半径OA的长。
答案
14.(1) 连接OB、OC,因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。所以$AB=AC$。因为$OC=OB$, $OA=OA$,可证$△AOB ≌ △AOC$(SSS),所以$∠BAO=∠CAO$,所以AO平分$∠BAC$。
(2) 连接AO并延长交BC于点E,连接OB。因为$AB=AC$, AO平分$∠BAC$,所以$AE ⊥ BC$, $BE=\frac{1}{2}BC=4$。设$OA=OB=x$。在$Rt△AEB$中,$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=8$。在$Rt△OEB$中,$OB^2=OE^2+BE^2$,所以$x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,所以半径OA的长为5。
(2) 连接AO并延长交BC于点E,连接OB。因为$AB=AC$, AO平分$∠BAC$,所以$AE ⊥ BC$, $BE=\frac{1}{2}BC=4$。设$OA=OB=x$。在$Rt△AEB$中,$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=8$。在$Rt△OEB$中,$OB^2=OE^2+BE^2$,所以$x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,所以半径OA的长为5。
解析
【分析】
（1）要证明AO平分$∠BAC$，即证$∠BAO=∠CAO$。已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对等弦可得$AB=AC$；连接OB、OC，OB、OC均为圆的半径故相等，结合公共边OA，可通过SSS证明$△ AOB ≌ △ AOC$，得到对应角相等即可得证。
（2）要求半径OA的长，结合（1）的结论，AO是$∠BAC$的平分线，又$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一，延长AO交BC于E，可得$AE⊥BC$，且BE为BC的一半。先在$Rt△ AEB$中用勾股定理算出AE的长度，再设半径$OA=x$，用x表示出OE的长度，在$Rt△ OEB$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
（1）证明：连接OB、OC。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，同圆中等弧对等弦，
∴$AB=AC$。
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$。
在$△ AOB$和$△ AOC$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ OB=OC \\ OA=OA \end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ AOC$（SSS），
∴$∠BAO=∠CAO$，即AO平分$∠BAC$。
（2）解：连接AO并延长，交BC于点E，连接OB。
由（1）知$AB=AC$，AO平分$∠BAC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$AE⊥BC$，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
设$\odot O$的半径$OA=OB=x$，
在$Rt△ AEB$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BE=4$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=8$，
∴$OE=AE-OA=8-x$。
在$Rt△ OEB$中，由勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入得：$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开化简得$16x=80$，解得$x=5$。
【答案】
（1）AO平分$∠BAC$得证；（2）$\boxed{5}$
【知识点】
1. 同圆弧弦的关系
2. 全等三角形判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过构造全等三角形证明角平分线，考查圆的基本性质和全等判定；第二问结合等腰三角形三线合一的性质，运用方程思想结合勾股定理求解半径，是圆中求线段长度的典型题型，需熟练掌握相关性质的综合应用。
【难度系数】
0.65
（1）要证明AO平分$∠BAC$，即证$∠BAO=∠CAO$。已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对等弦可得$AB=AC$；连接OB、OC，OB、OC均为圆的半径故相等，结合公共边OA，可通过SSS证明$△ AOB ≌ △ AOC$，得到对应角相等即可得证。
（2）要求半径OA的长，结合（1）的结论，AO是$∠BAC$的平分线，又$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一，延长AO交BC于E，可得$AE⊥BC$，且BE为BC的一半。先在$Rt△ AEB$中用勾股定理算出AE的长度，再设半径$OA=x$，用x表示出OE的长度，在$Rt△ OEB$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
（1）证明：连接OB、OC。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，同圆中等弧对等弦，
∴$AB=AC$。
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$。
在$△ AOB$和$△ AOC$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ OB=OC \\ OA=OA \end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ AOC$（SSS），
∴$∠BAO=∠CAO$，即AO平分$∠BAC$。
（2）解：连接AO并延长，交BC于点E，连接OB。
由（1）知$AB=AC$，AO平分$∠BAC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$AE⊥BC$，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
设$\odot O$的半径$OA=OB=x$，
在$Rt△ AEB$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BE=4$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=8$，
∴$OE=AE-OA=8-x$。
在$Rt△ OEB$中，由勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入得：$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开化简得$16x=80$，解得$x=5$。
【答案】
（1）AO平分$∠BAC$得证；（2）$\boxed{5}$
【知识点】
1. 同圆弧弦的关系
2. 全等三角形判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过构造全等三角形证明角平分线，考查圆的基本性质和全等判定；第二问结合等腰三角形三线合一的性质，运用方程思想结合勾股定理求解半径，是圆中求线段长度的典型题型，需熟练掌握相关性质的综合应用。
【难度系数】
0.65
