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11 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，求证：$∠ B=∠ C$。
第11题图
第11题图答案
11.因为在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,所以$AB=CD$,所以$∠AOB=∠COD$。因为$OA=OB, OC=OD$,所以在$△AOB$中,$∠B=90°-\frac{1}{2}∠AOB$,在$△COD$中,$∠C=90°-\frac{1}{2}∠COD$,所以$∠B=∠C$。
12 已知A、B、C、D是$\odot O$上的四个点，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，求证：$AC=BD$。
答案
12.因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$AC=BD$。
13 如图，AB、CD是$\odot O$的两条弦，$AB=CD$，$OE ⊥ CD$，$OF ⊥ AB$，垂足分别为E、F。比较CE和AF的大小，并证明你的结论。
第13题图
第13题图答案
13.$CE=AF$,理由如下:连接OC、OD,因为$OC=OD$, $OE ⊥ CD$,所以$CE=\frac{1}{2}CD$。同理，$AF=\frac{1}{2}AB$。因为$AB=CD$,所以$CE=AF$。
14 如图，AB、AC是$\odot O$的两条弦，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
（1）求证：AO平分$∠ BAC$。
（2）若$AB=4\sqrt{5}$，$BC=8$，求半径OA的长。
（1）求证：AO平分$∠ BAC$。
（2）若$AB=4\sqrt{5}$，$BC=8$，求半径OA的长。
答案
14.(1) 连接OB、OC,因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。所以$AB=AC$。因为$OC=OB$, $OA=OA$,可证$△AOB ≌ △AOC$(SSS),所以$∠BAO=∠CAO$,所以AO平分$∠BAC$。
(2) 连接AO并延长交BC于点E,连接OB。因为$AB=AC$, AO平分$∠BAC$,所以$AE ⊥ BC$, $BE=\frac{1}{2}BC=4$。设$OA=OB=x$。在$Rt△AEB$中,$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=8$。在$Rt△OEB$中,$OB^2=OE^2+BE^2$,所以$x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,所以半径OA的长为5。
(2) 连接AO并延长交BC于点E,连接OB。因为$AB=AC$, AO平分$∠BAC$,所以$AE ⊥ BC$, $BE=\frac{1}{2}BC=4$。设$OA=OB=x$。在$Rt△AEB$中,$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=8$。在$Rt△OEB$中,$OB^2=OE^2+BE^2$,所以$x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,所以半径OA的长为5。
