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18. 在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(2,4)$，$B(4,n)$.$C$是$y$轴上的一点，连接$CA$，$CB$.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）若$△ ABC$的面积是6，求点$C$的坐标.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）若$△ ABC$的面积是6，求点$C$的坐标.
答案
18. (1) $\because$ 点 A(2,4)在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上,$\therefore m=2×4=8$,$\therefore$ 反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$. 又$\because$ 点 B(4,n)在$y=\frac{8}{x}$上,$\therefore n=2$,$\therefore$ 点 B 的坐标为(4,2),把 A(2,4)和 B(4,2)两点的坐标代入一次函数$y=kx+b$得$\begin{cases}2k+b=4,\\4k+b=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=6,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析为$y=-x+6$; (2) 如图,对于一次函数$y=-x+6$,令$x=0$,则$y=6$,即 D(0,6),根据题意得:$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD·(4-2)=6$,解得:$CD=6$,$\therefore OC=0$或 12,$\therefore C(0,0)$或(0,12)。
解析
【分析】
（1）求解两个函数表达式可使用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数，求出n的值得到点B的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到k、b的值，即可求出一次函数表达式。
（2）求y轴上点C的坐标，可先找到一次函数与y轴的交点D，将△ABC的面积转化为△BCD与△ACD的面积差：两个三角形共底CD，高分别为点B、点A的横坐标，根据面积为6列方程求出CD的长度，再结合点D的坐标，分点C在D上方、下方两种情况计算即可得到C的坐标。
【解析】
(1) 求解反比例函数解析式：
∵ 点$A(2,4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴ 代入得$m=2×4=8$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
求解点B的坐标：
∵ 点$B(4,n)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
∴ 代入得$n=\frac{8}{4}=2$，即点B坐标为$(4,2)$。
求解一次函数解析式：
将$A(2,4)$、$B(4,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=4\\4k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=6\end{cases}$，
∴ 一次函数解析式为$y=-x+6$。
(2) 先求一次函数与y轴的交点：
对于一次函数$y=-x+6$，令$x=0$，得$y=6$，即一次函数与y轴交点为$D(0,6)$。
根据题意可得：$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD·(4-2)=6$，
解得$CD=6$，即点C到点D的距离为6，
因此C的纵坐标为$6+6=12$或$6-6=0$，
∴ 点C的坐标为$(0,0)$或$(0,12)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$，一次函数解析式为$y=-x+6$；
(2) 点C的坐标为$(0,0)$或$(0,12)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数综合，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题型，第一问考查待定系数法的基础应用，难度较低；第二问考查割补法求解坐标系内三角形面积，解题时需注意点C的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求解两个函数表达式可使用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数，求出n的值得到点B的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到k、b的值，即可求出一次函数表达式。
（2）求y轴上点C的坐标，可先找到一次函数与y轴的交点D，将△ABC的面积转化为△BCD与△ACD的面积差：两个三角形共底CD，高分别为点B、点A的横坐标，根据面积为6列方程求出CD的长度，再结合点D的坐标，分点C在D上方、下方两种情况计算即可得到C的坐标。
【解析】
(1) 求解反比例函数解析式：
∵ 点$A(2,4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴ 代入得$m=2×4=8$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
求解点B的坐标：
∵ 点$B(4,n)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
∴ 代入得$n=\frac{8}{4}=2$，即点B坐标为$(4,2)$。
求解一次函数解析式：
将$A(2,4)$、$B(4,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=4\\4k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=6\end{cases}$，
∴ 一次函数解析式为$y=-x+6$。
(2) 先求一次函数与y轴的交点：
对于一次函数$y=-x+6$，令$x=0$，得$y=6$，即一次函数与y轴交点为$D(0,6)$。
根据题意可得：$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD·(4-2)=6$，
解得$CD=6$，即点C到点D的距离为6，
因此C的纵坐标为$6+6=12$或$6-6=0$，
∴ 点C的坐标为$(0,0)$或$(0,12)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$，一次函数解析式为$y=-x+6$；
(2) 点C的坐标为$(0,0)$或$(0,12)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数综合，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题型，第一问考查待定系数法的基础应用，难度较低；第二问考查割补法求解坐标系内三角形面积，解题时需注意点C的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
19. 第15届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕.据某电商平台统计,某款吉祥物公仔从全运会开幕前10天开始,其销售量呈直线上升趋势;大运会期间热度增大,日销售量较前段时间增大;大运会结束后,销售量与时间呈反比例关系.日销售量$y$(万件)随时间$x$(天)变化的函数图象如图所示,大运会前为线段$OA$,大运会期间为线段$AB$,大运会后曲线$BC$.
（1）求线段$AB$和反比例函数的表达式；
（2）已知日销售量不低于4万件时,为畅销期,请求出畅销期持续的天数.
（1）求线段$AB$和反比例函数的表达式；
（2）已知日销售量不低于4万件时,为畅销期,请求出畅销期持续的天数.
答案
19. (1) 设线段 AB 的解析式为:$y=kx+b(k≠0)$,把(10,2),(22,6)代入得:$\begin{cases}10k+b=2\\22k+b=6\end{cases}$,解得:$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\b=-\frac{4}{3}\end{cases}$,$\therefore$ 一次函数解析式为:$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}(10≤ x≤22)$,设反比例函数解析式为$y=\frac{k'}{x}(k'≠0)$,把(22,6)代入得:$6=\frac{k'}{22}$,解得:$k'=132$,$\therefore$ 反比例函数解析式为$y=\frac{132}{x}(x＞22)$; (2) 把$y=4$代入$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$得,$4=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$,解得:$x=16$,把$y=4$代入$y=\frac{132}{x}$得,$\frac{132}{x}=4$,解得:$x=33$,由图象可知,当$y≥4$时,$16≤ x≤33$,$\therefore$ 畅销期持续的天数是 18 天.
解析
【分析】
（1）求线段AB的表达式：AB为一次函数图象，已知其经过A(10,2)、B(22,6)两个点，可采用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标联立方程组求解即可。求反比例函数表达式：BC段为反比例函数图象，已知其经过点B(22,6)，设反比例函数为$y=\frac{k'}{x}$，代入B点坐标求出系数$k'$即可。
（2）畅销期即日销售量$y≥4$万件的时间段，需分别在AB段、BC段求出$y=4$对应的x值，得到$y≥4$的自变量取值范围，再计算范围对应的时长即可得到畅销期天数。
【解析】
（1）设线段AB对应的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(10,2)$、$(22,6)$代入解析式，得：
$\begin{cases}10k+b=2\\22k+b=6\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\b=-\frac{4}{3}\end{cases}$
∴线段AB的解析式为$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}(10≤x≤22)$。
设BC段对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k'}{x}(k'≠0)$，
将点$(22,6)$代入解析式，得$6=\frac{k'}{22}$，解得$k'=132$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{132}{x}(x＞22)$。
（2）求$y≥4$时x的取值范围：
①在AB段，令$y=4$，代入$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，得：
$4=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，解得$x=16$，即AB段$x≥16$时$y≥4$。
②在BC段，令$y=4$，代入$y=\frac{132}{x}$，得：
$\frac{132}{x}=4$，解得$x=33$，即BC段$x≤33$时$y≥4$。
综上，$y≥4$时x的取值范围为$16≤x≤33$，
畅销期持续天数为$33-16+1=18$天。
【答案】
(1) 线段AB的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}(10≤x≤22)}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{132}{x}(x＞22)}$；
(2) 畅销期持续的天数是$\boldsymbol{18}$天。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查分段函数的综合应用，需要结合图象明确不同区间对应的函数类型，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据函数值求解对应的自变量范围，是函数知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）求线段AB的表达式：AB为一次函数图象，已知其经过A(10,2)、B(22,6)两个点，可采用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标联立方程组求解即可。求反比例函数表达式：BC段为反比例函数图象，已知其经过点B(22,6)，设反比例函数为$y=\frac{k'}{x}$，代入B点坐标求出系数$k'$即可。
（2）畅销期即日销售量$y≥4$万件的时间段，需分别在AB段、BC段求出$y=4$对应的x值，得到$y≥4$的自变量取值范围，再计算范围对应的时长即可得到畅销期天数。
【解析】
（1）设线段AB对应的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(10,2)$、$(22,6)$代入解析式，得：
$\begin{cases}10k+b=2\\22k+b=6\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\b=-\frac{4}{3}\end{cases}$
∴线段AB的解析式为$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}(10≤x≤22)$。
设BC段对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k'}{x}(k'≠0)$，
将点$(22,6)$代入解析式，得$6=\frac{k'}{22}$，解得$k'=132$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{132}{x}(x＞22)$。
（2）求$y≥4$时x的取值范围：
①在AB段，令$y=4$，代入$y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，得：
$4=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$，解得$x=16$，即AB段$x≥16$时$y≥4$。
②在BC段，令$y=4$，代入$y=\frac{132}{x}$，得：
$\frac{132}{x}=4$，解得$x=33$，即BC段$x≤33$时$y≥4$。
综上，$y≥4$时x的取值范围为$16≤x≤33$，
畅销期持续天数为$33-16+1=18$天。
【答案】
(1) 线段AB的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}(10≤x≤22)}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{132}{x}(x＞22)}$；
(2) 畅销期持续的天数是$\boldsymbol{18}$天。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查分段函数的综合应用，需要结合图象明确不同区间对应的函数类型，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据函数值求解对应的自变量范围，是函数知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
20. 如图,一次函数 $ y_1 = kx + b (k ≠ 0) $ 与函数为 $ y_2 = \frac{m}{x} (x ＞ 0) $ 的图象交于 $ A(4,1), B(\frac{1}{2},a) $ 两点.
(1) 求这两个函数的解析式;
(2) 根据图象,直接写出满足 $ y_1 - y_2 ＞ 0 $ 时 $ x $ 的取值范围;
(3) 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为 $ M $,交函数 $ y_2 $ 的图象于点 $ Q $,若 $ △ POQ $ 的面积为 3,求点 $ P $ 的坐标.
(1) 求这两个函数的解析式;
(2) 根据图象,直接写出满足 $ y_1 - y_2 ＞ 0 $ 时 $ x $ 的取值范围;
(3) 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为 $ M $,交函数 $ y_2 $ 的图象于点 $ Q $,若 $ △ POQ $ 的面积为 3,求点 $ P $ 的坐标.
答案
20. (1) $\because$ 反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象经过点 A(4,1),$\therefore 1=\frac{m}{4}$,$\therefore m=4$,$\therefore$ 反比例函数解析式为$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$. 把$B(\frac{1}{2},a)$代入$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$,得$a=8$,$\therefore$ 点 B 坐标为$(\frac{1}{2},8)$.$\because$ 一次函数解析式$y_1=kx+b$图象经过 A(4,1),$B(\frac{1}{2},8)$,$\therefore \begin{cases}4k+b=1,\\\frac{1}{2}k+b=8.\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=-2,\\b=9.\end{cases}$ 故一次函数解析式为:$y_1=-2x+9$; (2) 由$y_1-y_2＞0$,$\therefore y_1＞y_2$,即反比例函数值小于一次函数值. 由图象可得,$\frac{1}{2}＜x＜4$; (3) 由题意,设$P(p,-2p+9)$且$\frac{1}{2}≤ p≤4$,$\therefore Q(p,\frac{4}{p})$,$\therefore PQ=-2p+9-\frac{4}{p}$,$\therefore S_{△ POQ}=\frac{1}{2}(-2p+9-\frac{4}{p})· p=3$. 解得$p_1=\frac{5}{2}$,$p_2=2$.$\therefore P(\frac{5}{2},4)$或$(2,5)$.
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出未知参数，因此先将A点坐标代入反比例函数表达式求出m，得到反比例函数解析式；再将B点的横坐标代入反比例函数求出a，得到完整的B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k和b，即可得到一次函数解析式。
(2) $y_1-y_2＞0$等价于$y_1＞y_2$，即一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的横坐标，同时注意题目中$x＞0$的限制，直接读取对应x的取值范围即可。
(3) 设P点的横坐标为p（p需在B、A两点的横坐标之间），则P、Q两点横坐标均为p，分别代入两个函数表达式得到两点的纵坐标，PQ的长度为两点纵坐标的差（因P在Q上方）；$△ POQ$以PQ为底时，底边上的高等于P点的横坐标p，根据三角形面积公式列方程求解p，验证p在取值范围内后，即可求出P点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(4,1)$，
$\therefore 1=\frac{m}{4}$，解得$m=4$，
$\therefore$ 反比例函数解析式为$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$。
把$B(\frac{1}{2},a)$代入$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$，得$a=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
$\therefore$ 点B坐标为$(\frac{1}{2},8)$。
$\because$ 一次函数$y_1=kx+b$的图象经过$A(4,1)$、$B(\frac{1}{2},8)$，
$\therefore \begin{cases}4k+b=1\\\frac{1}{2}k+b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=9\end{cases}$，
故一次函数解析式为$y_1=-2x+9$。
(2) $y_1-y_2＞0$即$y_1＞y_2$，也就是一次函数值大于反比例函数值，结合图象可得x的取值范围是$\frac{1}{2}＜x＜4$。
(3) 设$P(p,-2p+9)$，其中$\frac{1}{2}≤ p≤4$，
$\because PQ$垂直x轴，Q在反比例函数图象上，
$\therefore Q(p,\frac{4}{p})$，
$\therefore PQ=(-2p+9)-\frac{4}{p}$，
$\therefore S_{△ POQ}=\frac{1}{2}·PQ·p=\frac{1}{2}(-2p+9-\frac{4}{p})·p=3$，
化简得：$-p^2+\frac{9}{2}p-2=3$，即$2p^2-9p+10=0$，
解得$p_1=\frac{5}{2}$，$p_2=2$，均满足$\frac{1}{2}≤ p≤4$，
代入一次函数解析式得对应纵坐标为4、5，
$\therefore P$点坐标为$(\frac{5}{2},4)$或$(2,5)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y_2=\frac{4}{x}(x＞0)}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y_1=-2x+9}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}＜x＜4}$；
(3) $\boldsymbol{(\frac{5}{2},4)}$或$\boldsymbol{(2,5)}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了函数解析式的基本求解方法，也考查了数形结合思想的应用，第三问利用坐标表示线段长度，再结合面积公式列方程是解题关键，解题时注意自变量的取值范围可快速排除无效解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解函数解析式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出未知参数，因此先将A点坐标代入反比例函数表达式求出m，得到反比例函数解析式；再将B点的横坐标代入反比例函数求出a，得到完整的B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k和b，即可得到一次函数解析式。
(2) $y_1-y_2＞0$等价于$y_1＞y_2$，即一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的横坐标，同时注意题目中$x＞0$的限制，直接读取对应x的取值范围即可。
(3) 设P点的横坐标为p（p需在B、A两点的横坐标之间），则P、Q两点横坐标均为p，分别代入两个函数表达式得到两点的纵坐标，PQ的长度为两点纵坐标的差（因P在Q上方）；$△ POQ$以PQ为底时，底边上的高等于P点的横坐标p，根据三角形面积公式列方程求解p，验证p在取值范围内后，即可求出P点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(4,1)$，
$\therefore 1=\frac{m}{4}$，解得$m=4$，
$\therefore$ 反比例函数解析式为$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$。
把$B(\frac{1}{2},a)$代入$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$，得$a=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
$\therefore$ 点B坐标为$(\frac{1}{2},8)$。
$\because$ 一次函数$y_1=kx+b$的图象经过$A(4,1)$、$B(\frac{1}{2},8)$，
$\therefore \begin{cases}4k+b=1\\\frac{1}{2}k+b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=9\end{cases}$，
故一次函数解析式为$y_1=-2x+9$。
(2) $y_1-y_2＞0$即$y_1＞y_2$，也就是一次函数值大于反比例函数值，结合图象可得x的取值范围是$\frac{1}{2}＜x＜4$。
(3) 设$P(p,-2p+9)$，其中$\frac{1}{2}≤ p≤4$，
$\because PQ$垂直x轴，Q在反比例函数图象上，
$\therefore Q(p,\frac{4}{p})$，
$\therefore PQ=(-2p+9)-\frac{4}{p}$，
$\therefore S_{△ POQ}=\frac{1}{2}·PQ·p=\frac{1}{2}(-2p+9-\frac{4}{p})·p=3$，
化简得：$-p^2+\frac{9}{2}p-2=3$，即$2p^2-9p+10=0$，
解得$p_1=\frac{5}{2}$，$p_2=2$，均满足$\frac{1}{2}≤ p≤4$，
代入一次函数解析式得对应纵坐标为4、5，
$\therefore P$点坐标为$(\frac{5}{2},4)$或$(2,5)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y_2=\frac{4}{x}(x＞0)}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y_1=-2x+9}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}＜x＜4}$；
(3) $\boldsymbol{(\frac{5}{2},4)}$或$\boldsymbol{(2,5)}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了函数解析式的基本求解方法，也考查了数形结合思想的应用，第三问利用坐标表示线段长度，再结合面积公式列方程是解题关键，解题时注意自变量的取值范围可快速排除无效解。
【难度系数】
0.6
