21. (2024·泰州月考)如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论。我们不妨来试试.
【理解】反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
证明:在函数图象上任取一点 $A(x,\frac{2}{x})$，则点 A 关于原点对称的点 B 为( ______ , ______ )
因为 ______，所以点 B 也在反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象上.因为 A 是反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象上，所以反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
【拓展】反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，关于直线 $y=-x$ 对称.请运用代数推理进行证明.
【提升】试证明:对于反比例函数 $y=\frac{2}{x}$，当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.

21. 【理解】$(-x,-\frac{2}{x})$,$-x·(-\frac{2}{x})=2$；【拓展】① 在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点 A 关于直线$y=x$对称的点 B 为$(\frac{2}{x},x)$.$\because \frac{2}{x}· x=2$,$\therefore$ 点 B 也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点 A 是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线$y=x$对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=x$对称； ② 在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点 A 关于直线$y=-x$对称的点 B 为$(-\frac{2}{x},-x)$,$\because (-\frac{2}{x})·(-x)=2$,$\therefore$ 点 B 也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点 A 是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线$y=-x$对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=-x$对称；【提升】设点$(a,\frac{2}{a})$,$(b,\frac{2}{b})$都是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的点,且$b＞a＞0$,$\because \frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\frac{2b-2a}{ab}=\frac{2(b-a)}{ab}＞0$,$\therefore \frac{2}{a}＞\frac{2}{b}$,即对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$,当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.

【分析】
这道题围绕反比例函数的三类核心性质考查代数推理能力，解题思路可按板块拆分：
1. 【理解】板块：证明中心对称的核心是“图象上任意一点的对称点仍在图象上”，先利用原点对称的坐标特征写出对称点坐标，再验证该点满足反比例函数解析式即可；
2. 【拓展】板块：证明轴对称的逻辑与中心对称一致，先分别写出点关于直线$y=x$、$y=-x$的对称点坐标，再验证对称点的横纵坐标乘积为2，符合反比例函数的解析式；
3. 【提升】板块：证明增减性需用“任取两个自变量→比较对应函数值大小”的逻辑，通过作差法判断函数值的大小关系，即可推导增减性。
【解析】
【理解】部分
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点$A(x,\frac{2}{x})$关于原点对称的点$B$坐标为$(-x,-\frac{2}{x})$；
计算点$B$的横纵坐标乘积：$-x·(-\frac{2}{x})=2$，满足反比例函数$xy=2$的形式，因此点$B$在函数图象上。
【拓展】部分
① 证明关于直线$y=x$对称：
在$y=\frac{2}{x}$图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$，关于直线$y=x$对称的点横纵坐标互换，即$B(\frac{2}{x},x)$；
计算$B$的横纵坐标乘积：$\frac{2}{x}·x=2$，满足反比例函数解析式，因此点$B$也在$y=\frac{2}{x}$的图象上；
由于$A$是图象上任意一点，因此$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=x$对称。
② 证明关于直线$y=-x$对称：
在$y=\frac{2}{x}$图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$，关于直线$y=-x$对称的点坐标为$(-y,-x)$，代入$y=\frac{2}{x}$得对称点$B(-\frac{2}{x},-x)$；
计算$B$的横纵坐标乘积：$(-\frac{2}{x})·(-x)=2$，满足反比例函数解析式，因此点$B$也在$y=\frac{2}{x}$的图象上；
由于$A$是图象上任意一点，因此$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=-x$对称。
【提升】部分
设点$(a,\frac{2}{a})$、$(b,\frac{2}{b})$都是$x＞0$范围内$y=\frac{2}{x}$图象上的点，且满足$b＞a＞0$；
作差比较两个函数值的大小：$\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\frac{2b-2a}{ab}=\frac{2(b-a)}{ab}$；
由$b＞a＞0$可知$b-a＞0$，$ab＞0$，因此$\frac{2(b-a)}{ab}＞0$，即$\frac{2}{a}＞\frac{2}{b}$；
说明当$x＞0$时，自变量越大，对应的函数值越小，因此$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
【理解】$(-x,-\frac{2}{x})$,$-x·(-\frac{2}{x})=2$；
【拓展】① 在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点 A 关于直线$y=x$对称的点 B 为$(\frac{2}{x},x)$.$\because \frac{2}{x}· x=2$,$\therefore$ 点 B 也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点 A 是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线$y=x$对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=x$对称； ② 在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点 A 关于直线$y=-x$对称的点 B 为$(-\frac{2}{x},-x)$,$\because (-\frac{2}{x})·(-x)=2$,$\therefore$ 点 B 也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点 A 是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线$y=-x$对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=-x$对称；
【提升】设点$(a,\frac{2}{a})$,$(b,\frac{2}{b})$都是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的点,且$b＞a＞0$,$\because \frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\frac{2b-2a}{ab}=\frac{2(b-a)}{ab}＞0$,$\therefore \frac{2}{a}＞\frac{2}{b}$,即对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$,当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
反比例函数的性质，对称点的坐标特征，作差法比较大小
【点评】
本题打破了仅记忆反比例函数结论的常规考法，从代数推理的角度要求学生立足定义、公式论证性质，能有效锻炼逻辑推导能力和严谨的代数论证素养。
【难度系数】
0.65

22.【背景】在一次物理实验中,小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池,通过调节滑动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡L(灯丝的阻值$R_L=2\ \Omega$)亮度的实验,已知串联电路中,电流与电阻$R$,$R_L$之间关系为$I=\frac{U}{R+R_L}$,通过实验得出如下数据:

(1) $a=$ , $b=$ ;
(2)【探究】根据以上实验,构建出函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$,结合表格信息,探究函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象与性质.
① 在平面直角坐标系中画出对应函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象;
② 随着自变量$x$的不断增大,函数值$y$的变化趋势是 .
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析,当$x≥0$时,$\frac{12}{x+2}≥-\frac{3}{2}x+6$的解集为 .

22. (1) 根据题意,$3=\frac{12}{a+2}$,$b=\frac{12}{6+2}$,$\therefore a=2$,$b=1.5$;故答案为:2,1.5； (2) ① 根据表格数据描点,在平面直角坐标系中画出对应函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象如下. ② 由图象可知,随着自变量$x$的不断增大,函数值$y$的变化趋势是不断减小,故答案为:不断减小； (3) 如图,由函数图象知,当$x≥2$或$x=0$时,$\frac{12}{x+2}≥-\frac{3}{2}x+6$,即当$x≥0$时,$\frac{12}{x+2}≥-\frac{3}{2}x+6$的解集为$x≥2$或$x=0$,故答案为:$x≥2$或$x=0$。

【分析】
(1) 已知函数解析式为$y=\frac{12}{x+2}$，求$a$是当$y=3$时对应的$x$值，求$b$是当$x=6$时对应的$y$值，直接代入解析式解方程即可。
(2) ①画函数图象按照列表、描点、连线的步骤，结合已有数据绘制即可，注意$x≥0$的取值范围；②可通过观察图象走向，或分析解析式：$x$增大时分母$x+2$增大，分子固定为12，因此函数值$y$随$x$增大而减小。
(3) 不等式$\frac{12}{x+2}≥-\frac{3}{2}x+6$的几何意义是：$x≥0$时，函数$y=\frac{12}{x+2}$的图象位于$y=-\frac{3}{2}x+6$图象上方（含交点）的$x$的取值范围，先找到两个图象的交点，再结合图象位置判断解集即可，注意不要遗漏$x=0$的特殊情况。
【解析】
(1) 将$y=3$代入$y=\frac{12}{x+2}$，得$3=\frac{12}{a+2}$，解方程得$a+2=4$，即$a=2$；将$x=6$代入$y=\frac{12}{x+2}$，得$b=\frac{12}{6+2}=1.5$。
(2) ①根据表格对应点在坐标系中描点，用平滑曲线连接各点得到函数图象：
②观察图象走向，曲线随$x$增大逐渐下降，因此函数值$y$不断减小。
(3) 在同一坐标系中画出一次函数$y=-\frac{3}{2}x+6$的图象：，两函数交点为$(0,6)$和$(2,3)$：当$x=0$、$x=2$时两函数值相等，满足不等式；当$x＞2$时，$y=\frac{12}{x+2}$的图象位于$y=-\frac{3}{2}x+6$上方，满足不等式；当$0＜x＜2$时不满足不等式，因此不等式解集为$x≥2$或$x=0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{1.5}$；
(2) ①图象见；②$\boldsymbol{不断减小}$；
(3) $\boldsymbol{x≥2或x=0}$。
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的图象，图象法解不等式
【点评】
本题结合物理实验背景考查函数相关知识，将函数解析式求解、图象绘制、性质分析以及不等式求解结合，既考查对函数基础知识点的掌握，也考查读图分析、数形结合的能力，题型贴合实际应用，综合性适中。
【难度系数】
0.7