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1. 将方程$2x^2 -4x -3=0$配方后所得的方程正确的是 （
A.$(2x-1)^2=0$
B.$(2x-1)^2=4$
C.$2(x-1)^2=1$
D.$2(x-1)^2=5$
D
）A.$(2x-1)^2=0$
B.$(2x-1)^2=4$
C.$2(x-1)^2=1$
D.$2(x-1)^2=5$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题时遵循配方法的常规步骤即可：①先将常数项移到方程等号右侧；②提取二次项系数，把二次项和一次项放在带系数的括号内；③给括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，同时等号另一侧要加上相同的数值（注意要乘之前提取的二次项系数），最终整理即可得到配方后的方程，过程中要注意保证等式两边变形一致。
【解析】
解：对原方程$2x^2 -4x -3=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$2x^2 - 4x = 3$
提取左侧的二次项系数2，得：
$2(x^2 - 2x) = 3$
括号内的一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，因此给括号内加1凑完全平方式，等号右侧需同时加$2×1=2$保证等式成立，得：
$2(x^2 - 2x + 1) = 3 + 2$
利用完全平方公式整理后可得：
$2(x-1)^2 = 5$
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题时需注意当二次项系数不为1时，给左侧配方加常数的同时，右侧要同步加上对应倍数的常数，避免漏乘导致等式变形错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题时遵循配方法的常规步骤即可：①先将常数项移到方程等号右侧；②提取二次项系数，把二次项和一次项放在带系数的括号内；③给括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，同时等号另一侧要加上相同的数值（注意要乘之前提取的二次项系数），最终整理即可得到配方后的方程，过程中要注意保证等式两边变形一致。
【解析】
解：对原方程$2x^2 -4x -3=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$2x^2 - 4x = 3$
提取左侧的二次项系数2，得：
$2(x^2 - 2x) = 3$
括号内的一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，因此给括号内加1凑完全平方式，等号右侧需同时加$2×1=2$保证等式成立，得：
$2(x^2 - 2x + 1) = 3 + 2$
利用完全平方公式整理后可得：
$2(x-1)^2 = 5$
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题时需注意当二次项系数不为1时，给左侧配方加常数的同时，右侧要同步加上对应倍数的常数，避免漏乘导致等式变形错误。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，配方正确的是（
A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
A
）A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
答案
2. A
解析
【分析】
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步变形，最终得到配方后的形式，再和选项对比即可。配方法的核心思路是将方程左边转化为完全平方式，具体步骤为：先把二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，最后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方形式、右侧合并计算即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到方程右侧，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，因此两边加$\dfrac{9}{16}$：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧通分计算：
$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题时需注意先将二次项系数化为1再配方，计算右侧常数项时要注意通分计算，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步变形，最终得到配方后的形式，再和选项对比即可。配方法的核心思路是将方程左边转化为完全平方式，具体步骤为：先把二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，最后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方形式、右侧合并计算即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到方程右侧，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，因此两边加$\dfrac{9}{16}$：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧通分计算：
$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题时需注意先将二次项系数化为1再配方，计算右侧常数项时要注意通分计算，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
3. 用配方法解一元二次方程$3x^2+6x-1=0$时，将它化为$(x+a)^2=b$的形式，则$a+b$的值为（
A.$\dfrac{10}{3}$
B.$\dfrac{7}{3}$
C.$2$
D.$\dfrac{4}{3}$
B
）A.$\dfrac{10}{3}$
B.$\dfrac{7}{3}$
C.$2$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先按照配方法的标准步骤，先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，随后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，转化为$(x+a)^2=b$的形式，最后确定$a$、$b$的值，计算$a+b$即可得到结果。
【解析】
解：对$3x^2+6x-1=0$进行配方，步骤如下：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$3x^2+6x=1$
2. 二次项系数化为1，两边同时除以3：
$x^2+2x=\frac{1}{3}$
3. 配方，两边同时加上一次项系数2的一半的平方（即$1^2=1$）：
$x^2+2x+1=\frac{1}{3}+1$
4. 左边整理为完全平方式，右边计算结果：
$(x+1)^2=\frac{4}{3}$
对比$(x+a)^2=b$的形式，可得$a=1$，$b=\frac{4}{3}$，因此$a+b=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题，熟练掌握配方法的操作流程是解题关键，要注意配方时方程左右两边必须同时加相同的数，避免出现漏加等号右侧的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先按照配方法的标准步骤，先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，随后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，转化为$(x+a)^2=b$的形式，最后确定$a$、$b$的值，计算$a+b$即可得到结果。
【解析】
解：对$3x^2+6x-1=0$进行配方，步骤如下：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$3x^2+6x=1$
2. 二次项系数化为1，两边同时除以3：
$x^2+2x=\frac{1}{3}$
3. 配方，两边同时加上一次项系数2的一半的平方（即$1^2=1$）：
$x^2+2x+1=\frac{1}{3}+1$
4. 左边整理为完全平方式，右边计算结果：
$(x+1)^2=\frac{4}{3}$
对比$(x+a)^2=b$的形式，可得$a=1$，$b=\frac{4}{3}$，因此$a+b=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题，熟练掌握配方法的操作流程是解题关键，要注意配方时方程左右两边必须同时加相同的数，避免出现漏加等号右侧的错误。
【难度系数】
0.7
4. 用配方法解方程$3x^2 -6x +1=0$，则方程可变形为$(x - \_\_\_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
4. $1,\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路按照配方法的固定步骤展开：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧凑成完全平方式，右侧合并计算后得到结果。
【解析】
解：对原方程$3x^2 -6x +1=0$进行变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2 - 2x + \dfrac{1}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = -\dfrac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x +1 = -\dfrac{1}{3} +1$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x-1)^2 = \dfrac{2}{3}$
因此两个空依次填1、$\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$1,\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握“化1、移项、配方”三个核心步骤，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路按照配方法的固定步骤展开：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧凑成完全平方式，右侧合并计算后得到结果。
【解析】
解：对原方程$3x^2 -6x +1=0$进行变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2 - 2x + \dfrac{1}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = -\dfrac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x +1 = -\dfrac{1}{3} +1$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x-1)^2 = \dfrac{2}{3}$
因此两个空依次填1、$\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$1,\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握“化1、移项、配方”三个核心步骤，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解下列方程：
(1) $2x^2 - 4x = 0$；
(2) $2x^2 + 4x - 2 = 0$。
(1) $2x^2 - 4x = 0$；
(2) $2x^2 + 4x - 2 = 0$。
答案
5. (1) $x_1=0,x_2=2$ (2) $x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解。通用解题步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方后求解方程的根。本题两个小题均按该步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 - 4x = 0$：
第一步，二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x = 0$
第二步，配方，方程两边同时加一次项系数$-2$的一半的平方$1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 0 + 1$
即$(x - 1)^2 = 1$
第三步，开平方，得：
$x - 1 = \pm1$
解得：$x_1 = 1 + 1 = 2$，$x_2 = 1 - 1 = 0$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 2 = 0$：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$2x^2 + 4x = 2$
第二步，二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + 2x = 1$
第三步，配方，方程两边同时加一次项系数$2$的一半的平方$1$，得：
$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$
即$(x + 1)^2 = 2$
第四步，开平方，得：
$x + 1 = \pm\sqrt{2}$
解得：$x_1 = -1 + \sqrt{2}$，$x_2 = -1 - \sqrt{2}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=2$ (2) $x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，严格按照配方法的标准步骤操作即可得出结果，熟练掌握该方法能为后续一元二次方程的相关学习打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解。通用解题步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方后求解方程的根。本题两个小题均按该步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 - 4x = 0$：
第一步，二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x = 0$
第二步，配方，方程两边同时加一次项系数$-2$的一半的平方$1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 0 + 1$
即$(x - 1)^2 = 1$
第三步，开平方，得：
$x - 1 = \pm1$
解得：$x_1 = 1 + 1 = 2$，$x_2 = 1 - 1 = 0$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 2 = 0$：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$2x^2 + 4x = 2$
第二步，二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + 2x = 1$
第三步，配方，方程两边同时加一次项系数$2$的一半的平方$1$，得：
$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$
即$(x + 1)^2 = 2$
第四步，开平方，得：
$x + 1 = \pm\sqrt{2}$
解得：$x_1 = -1 + \sqrt{2}$，$x_2 = -1 - \sqrt{2}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=2$ (2) $x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，严格按照配方法的标准步骤操作即可得出结果，熟练掌握该方法能为后续一元二次方程的相关学习打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
6. 用配方法解下列方程：
(1) $3x^2 -9=6x$；
(2) $\frac{1}{2}x^2 +2x -2=0$；
(3) $2t^2 -7t -4=0$；
(4) $6x^2 -x -2=0$。
(1) $3x^2 -9=6x$；
(2) $\frac{1}{2}x^2 +2x -2=0$；
(3) $2t^2 -7t -4=0$；
(4) $6x^2 -x -2=0$。
答案
6. (1) $x_1=3,x_2=-1$ (2) $x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$ (3) $t_1=4,t_2=-\dfrac{1}{2}$ (4) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过开平方求解。通用解题步骤为：①移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边；②化系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式；④开方求解：若右边的常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -9=6x$
移项，得$3x^2 -6x =9$
二次项系数化为1，得$x^2 -2x =3$
配方，得$x^2 -2x +1 =3 +1$，即$(x-1)^2=4$
开平方，得$x-1=\pm2$
∴ $x_1=1+2=3$，$x_2=1-2=-1$
(2) 解方程$\frac{1}{2}x^2 +2x -2=0$
移项，得$\frac{1}{2}x^2 +2x =2$
二次项系数化为1，得$x^2 +4x =4$
配方，得$x^2 +4x +4 =4 +4$，即$(x+2)^2=8$
开平方，得$x+2=\pm2\sqrt{2}$
∴ $x_1=-2+2\sqrt{2}$，$x_2=-2-2\sqrt{2}$
(3) 解方程$2t^2 -7t -4=0$
移项，得$2t^2 -7t =4$
二次项系数化为1，得$t^2 -\frac{7}{2}t =2$
配方，得$t^2 -\frac{7}{2}t + (\frac{7}{4})^2 =2 + (\frac{7}{4})^2$，即$(t-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
开平方，得$t-\frac{7}{4}=\pm\frac{9}{4}$
∴ $t_1=\frac{7}{4}+\frac{9}{4}=4$，$t_2=\frac{7}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{1}{2}$
(4) 解方程$6x^2 -x -2=0$
移项，得$6x^2 -x =2$
二次项系数化为1，得$x^2 -\frac{1}{6}x =\frac{1}{3}$
配方，得$x^2 -\frac{1}{6}x + (\frac{1}{12})^2 =\frac{1}{3} + (\frac{1}{12})^2$，即$(x-\frac{1}{12})^2=\frac{49}{144}$
开平方，得$x-\frac{1}{12}=\pm\frac{7}{12}$
∴ $x_1=\frac{1}{12}+\frac{7}{12}=\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{1}{12}-\frac{7}{12}=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-1$ (2) $x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$ (3) $t_1=4,t_2=-\dfrac{1}{2}$ (4) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心是掌握配方法的标准化步骤，尤其要注意二次项系数化为1的操作，以及配方时加的是一次项系数一半的平方，计算时注意符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过开平方求解。通用解题步骤为：①移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边；②化系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式；④开方求解：若右边的常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -9=6x$
移项，得$3x^2 -6x =9$
二次项系数化为1，得$x^2 -2x =3$
配方，得$x^2 -2x +1 =3 +1$，即$(x-1)^2=4$
开平方，得$x-1=\pm2$
∴ $x_1=1+2=3$，$x_2=1-2=-1$
(2) 解方程$\frac{1}{2}x^2 +2x -2=0$
移项，得$\frac{1}{2}x^2 +2x =2$
二次项系数化为1，得$x^2 +4x =4$
配方，得$x^2 +4x +4 =4 +4$，即$(x+2)^2=8$
开平方，得$x+2=\pm2\sqrt{2}$
∴ $x_1=-2+2\sqrt{2}$，$x_2=-2-2\sqrt{2}$
(3) 解方程$2t^2 -7t -4=0$
移项，得$2t^2 -7t =4$
二次项系数化为1，得$t^2 -\frac{7}{2}t =2$
配方，得$t^2 -\frac{7}{2}t + (\frac{7}{4})^2 =2 + (\frac{7}{4})^2$，即$(t-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
开平方，得$t-\frac{7}{4}=\pm\frac{9}{4}$
∴ $t_1=\frac{7}{4}+\frac{9}{4}=4$，$t_2=\frac{7}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{1}{2}$
(4) 解方程$6x^2 -x -2=0$
移项，得$6x^2 -x =2$
二次项系数化为1，得$x^2 -\frac{1}{6}x =\frac{1}{3}$
配方，得$x^2 -\frac{1}{6}x + (\frac{1}{12})^2 =\frac{1}{3} + (\frac{1}{12})^2$，即$(x-\frac{1}{12})^2=\frac{49}{144}$
开平方，得$x-\frac{1}{12}=\pm\frac{7}{12}$
∴ $x_1=\frac{1}{12}+\frac{7}{12}=\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{1}{12}-\frac{7}{12}=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-1$ (2) $x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$ (3) $t_1=4,t_2=-\dfrac{1}{2}$ (4) $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心是掌握配方法的标准化步骤，尤其要注意二次项系数化为1的操作，以及配方时加的是一次项系数一半的平方，计算时注意符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
