登录
7. 用配方法解下列方程：
(1) $4x^2 - 8x = 12$；
(2) $3x^2 + 2x - 3 = 0$；
(3) $\frac{1}{2}x^2 - \sqrt{2}x - 2 = 0$；
(4) $(2x - 1)(x + 3) = 4$。
(1) $4x^2 - 8x = 12$；
(2) $3x^2 + 2x - 3 = 0$；
(3) $\frac{1}{2}x^2 - \sqrt{2}x - 2 = 0$；
(4) $(2x - 1)(x + 3) = 4$。
答案
7. (1) $x_1=-1,x_2=3$ (2) $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{10}}{3},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{10}}{3}$ (3) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$ (4) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的通用思路如下：①先将方程整理为只含未知数的项在等号左侧、常数项在右侧的形式；②将二次项系数化为1；③给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④若等号右侧为非负数，直接开平方即可求出方程的解。每道题按照这个步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 - 8x = 12$
第一步：两边同时除以4，将二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = 3$
第二步：配方，两边同时加一次项系数-2一半的平方$(-1)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，即$(x-1)^2=4$
第三步：开平方得$x-1=\pm2$，解得$x_1=1+2=3$，$x_2=1-2=-1$
(2) 解方程$3x^2 + 2x - 3 = 0$
第一步：移项得$3x^2 + 2x = 3$
第二步：两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{2}{3}x = 1$
第三步：配方，两边同时加一次项系数$\frac{2}{3}$一半的平方$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，得$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9}$，即$(x+\frac{1}{3})^2=\frac{10}{9}$
第四步：开平方得$x+\frac{1}{3}=\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得$x_1=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}$
(3) 解方程$\frac{1}{2}x^2 - \sqrt{2}x - 2 = 0$
第一步：两边同时乘2，将二次项系数化为1，得$x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$
第二步：移项得$x^2 - 2\sqrt{2}x = 4$
第三步：配方，两边同时加一次项系数$-2\sqrt{2}$一半的平方$(-\sqrt{2})^2=2$，得$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 4 + 2$，即$(x-\sqrt{2})^2=6$
第四步：开平方得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$，解得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(4) 解方程$(2x - 1)(x + 3) = 4$
第一步：先展开整理为整式方程，左边展开得$2x^2 + 5x - 3 = 4$，移项得$2x^2 + 5x = 7$
第二步：两边同时除以2，将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{5}{2}x = \frac{7}{2}$
第三步：配方，两边同时加一次项系数$\frac{5}{2}$一半的平方$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，得$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{7}{2} + \frac{25}{16}$，即$(x+\frac{5}{4})^2=\frac{81}{16}$
第四步：开平方得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{9}{4}$，解得$x_1=\frac{-5+9}{4}=1$，$x_2=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=3$；(2) $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{10}}{3},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{10}}{3}$；(3) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$；(4) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程 2. 完全平方公式 3. 平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了二次项系数不为1、带无理数系数、需先展开化简方程等多种常考形式，能帮助大家熟练掌握配方法的核心步骤，强化配方技巧。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的通用思路如下：①先将方程整理为只含未知数的项在等号左侧、常数项在右侧的形式；②将二次项系数化为1；③给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④若等号右侧为非负数，直接开平方即可求出方程的解。每道题按照这个步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 - 8x = 12$
第一步：两边同时除以4，将二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = 3$
第二步：配方，两边同时加一次项系数-2一半的平方$(-1)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，即$(x-1)^2=4$
第三步：开平方得$x-1=\pm2$，解得$x_1=1+2=3$，$x_2=1-2=-1$
(2) 解方程$3x^2 + 2x - 3 = 0$
第一步：移项得$3x^2 + 2x = 3$
第二步：两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{2}{3}x = 1$
第三步：配方，两边同时加一次项系数$\frac{2}{3}$一半的平方$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，得$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9}$，即$(x+\frac{1}{3})^2=\frac{10}{9}$
第四步：开平方得$x+\frac{1}{3}=\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得$x_1=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}$
(3) 解方程$\frac{1}{2}x^2 - \sqrt{2}x - 2 = 0$
第一步：两边同时乘2，将二次项系数化为1，得$x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$
第二步：移项得$x^2 - 2\sqrt{2}x = 4$
第三步：配方，两边同时加一次项系数$-2\sqrt{2}$一半的平方$(-\sqrt{2})^2=2$，得$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 4 + 2$，即$(x-\sqrt{2})^2=6$
第四步：开平方得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$，解得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(4) 解方程$(2x - 1)(x + 3) = 4$
第一步：先展开整理为整式方程，左边展开得$2x^2 + 5x - 3 = 4$，移项得$2x^2 + 5x = 7$
第二步：两边同时除以2，将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{5}{2}x = \frac{7}{2}$
第三步：配方，两边同时加一次项系数$\frac{5}{2}$一半的平方$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，得$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{7}{2} + \frac{25}{16}$，即$(x+\frac{5}{4})^2=\frac{81}{16}$
第四步：开平方得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{9}{4}$，解得$x_1=\frac{-5+9}{4}=1$，$x_2=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=3$；(2) $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{10}}{3},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{10}}{3}$；(3) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$；(4) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程 2. 完全平方公式 3. 平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了二次项系数不为1、带无理数系数、需先展开化简方程等多种常考形式，能帮助大家熟练掌握配方法的核心步骤，强化配方技巧。
【难度系数】
0.7
8. 若菱形两条对角线的长度是方程$x^2 -6x +8=0$的两根，则该菱形的边长为 （
A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.5
A
）A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.5
答案
8. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先求解一元二次方程，得到菱形两条对角线的长度；第二步，回忆菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半和菱形的边长可以构成直角三角形；第三步，利用勾股定理计算直角三角形的斜边，也就是菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$：
对左边因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即菱形两条对角线的长度分别为2和4。
2. 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半分别为$2÷2=1$，$4÷2=2$。
3. 菱形的边长与对角线的一半构成直角三角形，由勾股定理得边长为：
$\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和几何图形性质结合考查，解题的关键是牢记菱形对角线互相垂直平分的特点，计算边长时要注意取对角线长度的一半代入勾股定理，避免直接用对角线全长计算出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先求解一元二次方程，得到菱形两条对角线的长度；第二步，回忆菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半和菱形的边长可以构成直角三角形；第三步，利用勾股定理计算直角三角形的斜边，也就是菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$：
对左边因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即菱形两条对角线的长度分别为2和4。
2. 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半分别为$2÷2=1$，$4÷2=2$。
3. 菱形的边长与对角线的一半构成直角三角形，由勾股定理得边长为：
$\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和几何图形性质结合考查，解题的关键是牢记菱形对角线互相垂直平分的特点，计算边长时要注意取对角线长度的一半代入勾股定理，避免直接用对角线全长计算出错。
【难度系数】
0.8
9. 已知$a,b$满足等式$x=a^2 - 6ab + 9b^2$，$y=4a - 12b - 4$，则$x,y$的大小关系是（
A.$x=y$
B.$x＞y$
C.$x＜y$
D.$x≥ y$
D
）A.$x=y$
B.$x＞y$
C.$x＜y$
D.$x≥ y$
答案
9. D
解析
【分析】
要比较两个代数式x和y的大小，常用作差法，即计算x-y的值，通过判断该值与0的大小关系确定x、y的大小。首先计算x-y，再对所得的多项式进行配方，结合平方的非负性即可判断差的正负，进而得到大小关系。
【解析】
采用作差法比较x和y的大小，计算x-y：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2-6ab+9b^2)-(4a-12b-4)\\&=(a-3b)^2-4(a-3b)+4\\&=(a-3b-2)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(a-3b-2)^2≥0$，即$x-y≥0$，因此$x≥ y$。
【答案】
D
【知识点】
作差法比较大小，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是比较代数式大小的典型题型，解题关键是熟练掌握作差法的思路，同时能准确对多项式进行配方变形，结合平方的非负性判断差的符号，侧重考查代数变形能力。
【难度系数】
0.7
要比较两个代数式x和y的大小，常用作差法，即计算x-y的值，通过判断该值与0的大小关系确定x、y的大小。首先计算x-y，再对所得的多项式进行配方，结合平方的非负性即可判断差的正负，进而得到大小关系。
【解析】
采用作差法比较x和y的大小，计算x-y：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2-6ab+9b^2)-(4a-12b-4)\\&=(a-3b)^2-4(a-3b)+4\\&=(a-3b-2)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(a-3b-2)^2≥0$，即$x-y≥0$，因此$x≥ y$。
【答案】
D
【知识点】
作差法比较大小，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是比较代数式大小的典型题型，解题关键是熟练掌握作差法的思路，同时能准确对多项式进行配方变形，结合平方的非负性判断差的符号，侧重考查代数变形能力。
【难度系数】
0.7
10. 若等腰三角形的两边长是一元二次方程$2x^2 -17x +36=0$的两根，求该等腰三角形的周长。
答案
10. 解方程$2x^2 -17x +36=0$,得$x_1=4,x_2=4.5$,当腰长为4时,该等腰三角形的周长为12.5;当腰长为4.5时,该等腰三角形的周长为13.
解析
【分析】
解题需分三步思考：①首先求解一元二次方程，得到方程的两个根，即等腰三角形的两边长度；②由于等腰三角形的腰长未明确给出，需分腰长为其中一个根、腰长为另一个根两种情况分类讨论；③每种情况先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证三条边能否构成三角形，符合条件的再计算对应周长。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$2x^2 -17x +36=0$
用求根公式计算，先求判别式：$\Delta = (-17)^2 - 4×2×36 = 289 - 288 = 1$
则$x = \frac{17\pm\sqrt{1}}{2×2} = \frac{17\pm1}{4}$
解得$x_1 = \frac{17-1}{4}=4$，$x_2=\frac{17+1}{4}=4.5$
第二步：分情况计算等腰三角形的周长
情况1：腰长为4时，三边长为4、4、4.5
验证三边关系：$4+4=8＞4.5$，满足三角形构成条件
周长为$4+4+4.5=12.5$
情况2：腰长为4.5时，三边长为4.5、4.5、4
验证三边关系：$4.5+4=8.5＞4.5$，满足三角形构成条件
周长为$4.5+4.5+4=13$
【答案】
当腰长为4时，该等腰三角形的周长为12.5；当腰长为4.5时，该等腰三角形的周长为13。
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，重点考查分类讨论思想，解题时不要遗漏任意一种腰长的情况，同时必须验证三边是否符合三角形构成条件，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：①首先求解一元二次方程，得到方程的两个根，即等腰三角形的两边长度；②由于等腰三角形的腰长未明确给出，需分腰长为其中一个根、腰长为另一个根两种情况分类讨论；③每种情况先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证三条边能否构成三角形，符合条件的再计算对应周长。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$2x^2 -17x +36=0$
用求根公式计算，先求判别式：$\Delta = (-17)^2 - 4×2×36 = 289 - 288 = 1$
则$x = \frac{17\pm\sqrt{1}}{2×2} = \frac{17\pm1}{4}$
解得$x_1 = \frac{17-1}{4}=4$，$x_2=\frac{17+1}{4}=4.5$
第二步：分情况计算等腰三角形的周长
情况1：腰长为4时，三边长为4、4、4.5
验证三边关系：$4+4=8＞4.5$，满足三角形构成条件
周长为$4+4+4.5=12.5$
情况2：腰长为4.5时，三边长为4.5、4.5、4
验证三边关系：$4.5+4=8.5＞4.5$，满足三角形构成条件
周长为$4.5+4.5+4=13$
【答案】
当腰长为4时，该等腰三角形的周长为12.5；当腰长为4.5时，该等腰三角形的周长为13。
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，重点考查分类讨论思想，解题时不要遗漏任意一种腰长的情况，同时必须验证三边是否符合三角形构成条件，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
11.（1）无论$ x $取何实数，代数式$ 3x^2 + 9 $的值不小于
（2）小明发现，当$ x $取不同实数代入代数式$ 2x^2 - 8x + 9 $求值时，结果总是正数，请你分析其原因。
（3）探究代数式$ 3a^2 + 5a - 2 $与$ 4a^2 - a + 8 $的大小关系，并说明理由。
9
。（2）小明发现，当$ x $取不同实数代入代数式$ 2x^2 - 8x + 9 $求值时，结果总是正数，请你分析其原因。
（3）探究代数式$ 3a^2 + 5a - 2 $与$ 4a^2 - a + 8 $的大小关系，并说明理由。
答案
11. (1) 9 (2) $\because (x-2)^2≥0,\therefore 2x^2-8x+9=2(x-2)^2+1≥1＞0$,则$x$取不同实数代入代数式$2x^2-8x+9$求值时,结果总是正数. (3) $\because 4a^2 -a +8 -(3a^2 +5a -2)=a^2 -6a +10=(a-3)^2+1＞0,\therefore 4a^2 -a +8＞3a^2 +5a -2.$
解析
【分析】
（1）根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此3x²的最小值为0，即可求出代数式3x²+9的取值下限。
（2）要判断代数式值恒为正数，可通过配方法将代数式变形为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方式的非负性，证明代数式的最小值大于0，即可说明其值总是正数。
（3）比较两个代数式的大小常用作差法：将两个代数式相减，判断差的正负性，差为正则被减数更大，差为负则减数更大，差为0则两式相等。本题作差后再配方即可判断差的正负，进而得出两式的大小关系。
【解析】
（1）
∵x为任意实数，
∴x²≥0，
∴3x²≥0，
∴3x²+9≥0+9=9，
因此代数式3x²+9的值不小于9。
（2）对代数式2x²-8x+9配方：
$2x^2-8x+9=2(x^2-4x)+9=2[(x-2)^2-4]+9=2(x-2)^2+1$，
∵$(x-2)^2≥0$，
∴$2(x-2)^2≥0$，
∴$2(x-2)^2+1≥1＞0$，
因此x取任意实数时，代数式$2x^2-8x+9$的值总是正数。
（3）用作差法比较两式大小：
$(4a^2 -a +8)-(3a^2 +5a -2)=a^2 -6a +10$，
对差配方得：$a^2 -6a +10=(a-3)^2+1$，
∵$(a-3)^2≥0$，
∴$(a-3)^2+1≥1＞0$，
即两式的差恒为正，因此$4a^2 -a +8＞3a^2 +5a -2$。
【答案】
(1) 9
(2) $\because (x-2)^2≥0,\therefore 2x^2-8x+9=2(x-2)^2+1≥1＞0$,则$x$取不同实数代入代数式$2x^2-8x+9$求值时,结果总是正数.
(3) $\because 4a^2 -a +8 -(3a^2 +5a -2)=a^2 -6a +10=(a-3)^2+1＞0,\therefore 4a^2 -a +8＞3a^2 +5a -2.$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；作差法比较大小
【点评】
本题围绕二次代数式的取值、正负性判断、大小比较展开，核心考查配方法和平方非负性的灵活运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，能对二次三项式正确配方，是代数式相关性质的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此3x²的最小值为0，即可求出代数式3x²+9的取值下限。
（2）要判断代数式值恒为正数，可通过配方法将代数式变形为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方式的非负性，证明代数式的最小值大于0，即可说明其值总是正数。
（3）比较两个代数式的大小常用作差法：将两个代数式相减，判断差的正负性，差为正则被减数更大，差为负则减数更大，差为0则两式相等。本题作差后再配方即可判断差的正负，进而得出两式的大小关系。
【解析】
（1）
∵x为任意实数，
∴x²≥0，
∴3x²≥0，
∴3x²+9≥0+9=9，
因此代数式3x²+9的值不小于9。
（2）对代数式2x²-8x+9配方：
$2x^2-8x+9=2(x^2-4x)+9=2[(x-2)^2-4]+9=2(x-2)^2+1$，
∵$(x-2)^2≥0$，
∴$2(x-2)^2≥0$，
∴$2(x-2)^2+1≥1＞0$，
因此x取任意实数时，代数式$2x^2-8x+9$的值总是正数。
（3）用作差法比较两式大小：
$(4a^2 -a +8)-(3a^2 +5a -2)=a^2 -6a +10$，
对差配方得：$a^2 -6a +10=(a-3)^2+1$，
∵$(a-3)^2≥0$，
∴$(a-3)^2+1≥1＞0$，
即两式的差恒为正，因此$4a^2 -a +8＞3a^2 +5a -2$。
【答案】
(1) 9
(2) $\because (x-2)^2≥0,\therefore 2x^2-8x+9=2(x-2)^2+1≥1＞0$,则$x$取不同实数代入代数式$2x^2-8x+9$求值时,结果总是正数.
(3) $\because 4a^2 -a +8 -(3a^2 +5a -2)=a^2 -6a +10=(a-3)^2+1＞0,\therefore 4a^2 -a +8＞3a^2 +5a -2.$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；作差法比较大小
【点评】
本题围绕二次代数式的取值、正负性判断、大小比较展开，核心考查配方法和平方非负性的灵活运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，能对二次三项式正确配方，是代数式相关性质的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
