9. 若一元二次方程$x^2 - 2kx + k^2 = 0$的一根为$x=-1$，则$k$的值为（）

A.$-1$
B.$0$
C.$1$或$-1$
D.$2$或$0$

9. A

【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知根$x=-1$代入原方程，得到关于$k$的一元二次方程，再求解即可得到$k$的值；也可先将原方程因式分解，结合已知根直接得出$k$的取值。
【解析】
方法一：根据一元二次方程根的定义，将$x=-1$代入方程$x^2 - 2kx + k^2 = 0$，得：
$\begin{aligned}(-1)^2 - 2k×(-1) + k^2 &= 0 \\1 + 2k + k^2 &= 0 \\(k+1)^2 &= 0\end{aligned}$
解得$k=-1$。
方法二：先对原方程因式分解，$x^2 - 2kx + k^2 = (x - k)^2 = 0$，因此方程的两个相等的根为$x=k$，已知方程的一根为$x=-1$，因此$k=-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的根满足方程这一性质，代入求值即可快速得到结果，也可通过因式分解直接求解，方法灵活。
【难度系数】
0.8

10. 将代数式$x^2 -10x +5$配方后，发现它的最小值为 （）

A.$-30$
B.$-20$
C.$-5$
D.$0$

10. B

【分析】
要解决这道题，需先通过配方法把二次三项式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性求最小值。具体思考路径：①对于二次项系数为1的二次式，配方时先保留二次项和一次项，加上一次项系数一半的平方凑出完全平方，再减去刚才多加的数保证代数式的值不变；②变形完成后，完全平方式的取值恒≥0，因此当完全平方式为0时，整个代数式取得最小值，就是变形后的常数项。
【解析】
对代数式$x^2 -10x +5$进行配方：
$\begin{aligned}x^2 -10x +5&=x^2 -10x + (\frac{-10}{2})^2 - (\frac{-10}{2})^2 +5\\&=x^2 -10x +25 -25 +5\\&=(x-5)^2 -20\end{aligned}$
根据平方的非负性可知$(x-5)^2≥0$，当$x=5$时，$(x-5)^2$取最小值0，此时代数式的最小值为$0-20=-20$。
【答案】
B
【知识点】
配方法，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心要求熟练掌握配方法的操作步骤，理解平方数的非负性是求二次式最值的关键，也是后续学习二次函数最值的基础。
【难度系数】
0.8

11. 欧几里得的《原本》记载，形如$x^2+ax=b^2$的方程的图解法是：画$\mathrm{Rt}△ ABC$，使$∠ ACB=90°$，$BC=\frac{a}{2}$，$AC=b$，再在斜边$AB$上截取$BD=\frac{a}{2}$. 则该方程的一个正根是 （）

A.AC 的长
B.AD 的长
C.BC 的长
D.CD 的长

11. B

【分析】
要解决这道题，我们可以按照数形结合的思路推导：首先利用勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度，再结合线段的和差关系表示出AD的长度，接下来用配方法解出给定一元二次方程的正根，最后将正根的表达式和各线段的表达式对比，就能找到对应线段。
【解析】
1. 利用勾股定理求AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=\frac{a}{2}$，$AC=b$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$，因此$AB=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$。
2. 表示AD的长度：
已知$BD=\frac{a}{2}$，因此$AD=AB-BD=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}$。
3. 用配方法解一元二次方程$x^2+ax=b^2$：
配方得：$x^2+ax+(\frac{a}{2})^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$，即$(x+\frac{a}{2})^2=b^2+\frac{a^2}{4}$。
因为求正根，所以开方取正：$x+\frac{a}{2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$，移项得$x=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}$。
对比可知，这个正根就是AD的长。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，配方法解一元二次方程，数形结合思想
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将几何线段长度的推导和一元二次方程的求解结合起来，既考查了基础的几何计算能力，也考查了一元二次方程的解法，需要同学们建立代数表达式和几何量之间的对应关系。
【难度系数】
0.6

12. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题.
例题:求代数式 $y^2 + 4y + 8$ 的最小值.
解:$y^2 + 4y + 8 = y^2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)^2 + 4$
$\because (y + 2)^2 ≥ 0,$
$\therefore (y + 2)^2 + 4 ≥ 4,$
$\therefore y^2 + 4y + 8$ 的最小值是 4.
(1) 求代数式 $m^2 + 2m + 3$ 的最小值；
(2) 求代数式 $2026 - x^2 + 2x$ 的最大值.

12. (1) $m^2+2m+3=m^2+2m+1+2=(m+1)^2+2$,$\because (m+1)^2≥0$,$\therefore (m+1)^2+2≥2$,$\therefore$ 代数式 $m^2+2m+3$ 的最小值为 2. (2) $2\ 026-x^2+2x=-x^2+2x-1+2\ 027=-(x-1)^2+2\ 027$,$\because (x-1)^2≥0$,$\therefore -(x-1)^2+2\ 027≤2\ 027$,$\therefore 2\ 026-x^2+2x$ 的最大值为2 027.

【分析】
本题可模仿例题使用配方法求解代数式的最值：①求最小值的二次代数式，先将含字母的项凑成完全平方式，加上的常数再从剩余常数中减去，把原式变形为“完全平方式+非负常数”的形式，再根据完全平方的非负性，即可得到代数式的最小值；②求最大值的二次代数式，先提取二次项的负号，再对含字母的项配方，将原式变形为“-完全平方式+正数”的形式，根据完全平方非负可知负的完全平方式小于等于0，即可求出代数式的最大值。
【解析】
(1) 对$m^2 + 2m + 3$配方：
$m^2+2m+3=m^2+2m+1+2=(m+1)^2+2$
$\because (m+1)^2 ≥ 0$，
$\therefore (m+1)^2 + 2 ≥ 2$，
$\therefore$ 代数式 $m^2 + 2m + 3$ 的最小值为2。
(2) 对$2026 - x^2 + 2x$配方：
$2026 - x^2 + 2x = -x^2 + 2x - 1 + 2027 = -(x-1)^2 + 2027$
$\because (x-1)^2 ≥ 0$，
$\therefore -(x-1)^2 ≤ 0$，
$\therefore -(x-1)^2 + 2027 ≤ 2027$，
$\therefore 2026 - x^2 + 2x$ 的最大值为2027。
【答案】
(1) 最小值为2；(2) 最大值为2027
【知识点】
1.配方法；2.完全平方式的非负性；3.代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式，能准确对二次三项式进行配方，再结合平方的非负性判断最值，需注意二次项系数为负时的符号处理。
【难度系数】
0.7

13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以点$B$为圆心，$BC$的长为半径画弧，交线段$AB$于点$D$，以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，交线段$AC$于点$E$，设$BC=a$，$AC=b$。
（1）请你判断：线段$AD$的长度是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根吗？说明理由；
（2）若线段$AD=EC$，则$\dfrac{a}{b}$的值为________。

13. (1) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$.$\because BC=a$,$AC=b$,$\therefore AB^2=a^2+b^2$,方程$x^2+2ax-b^2=0$变形为:$x^2+2ax+a^2=a^2+b^2$,$\therefore (x+a)^2=AB^2$.$\because BD=BC=a$,$\therefore (x+BD)^2=AB^2$,$\therefore$ 线段$AD$的长度是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根;(2) $\frac{3}{4}$.

【分析】
（1）要判断线段AD是否为方程的根，首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，结合作图可知BD=BC=a，因此AB=AD+a；再将给定的一元二次方程配方变形，观察方程的正根是否与AD的表达式一致即可验证。
（2）先根据作图性质得AE=AD，结合AD=EC可推出AC=2AD，即$AD=\frac{b}{2}$；再将AD的表达式代入勾股定理的关系式中，建立a、b的等量关系，化简即可求出$\frac{a}{b}$的值。
【解析】
（1）线段AD的长度是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根，理由如下：
在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$。
已知$BC=a$，$AC=b$，因此$AB^2=a^2+b^2$。
将方程$x^2+2ax-b^2=0$变形，配方得：
$x^2+2ax+a^2=a^2+b^2$，即$(x+a)^2=AB^2$。
由作图可知$BD=BC=a$，若$x=AD$，则$x+a=AD+BD=AB$，代入方程左边得$(AB)^2=AB^2$，等式成立，因此线段AD的长度是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根。
（2）由作图可知，以A为圆心AD长为半径画弧交AC于E，因此$AE=AD$。
已知$AD=EC$，故$AE=EC=AD$，因此$AC=AE+EC=2AD$，即$AD=\frac{b}{2}$。
又因为$AB=AD+BD=\frac{b}{2}+a$，结合勾股定理$AB^2=a^2+b^2$，代入得：
$(a+\frac{b}{2})^2=a^2+b^2$
展开左边：$a^2+ab+\frac{b^2}{4}=a^2+b^2$
化简得：$ab=\frac{3}{4}b^2$
因为$b≠0$，两边同时除以b得$a=\frac{3}{4}b$，因此$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$。
【答案】
（1）是，理由见解析；（2）$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的解法，圆的半径相等
【点评】
本题将几何图形性质与一元二次方程知识结合考查，解题的关键是从作图中提取线段相等的隐含条件，结合勾股定理建立线段间的关系，既考查了基础知识点的应用，也锻炼了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6