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1. (2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$，将它转化为$(x+a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为（
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：第一步先移项，把常数项移到等号右侧；第二步配方，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，得到$(x+a)^2 = b$的形式；最后确定$a$、$b$的值，代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$移项，得：
$x^2 - 2x = 2023$
给等式两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
左边写成完全平方式，得：
$(x - 1)^2 = 2024$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2024$。
计算$a^b=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，有理数乘方运算
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式成立，同时要熟练掌握负数乘方的符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：第一步先移项，把常数项移到等号右侧；第二步配方，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，得到$(x+a)^2 = b$的形式；最后确定$a$、$b$的值，代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$移项，得：
$x^2 - 2x = 2023$
给等式两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
左边写成完全平方式，得：
$(x - 1)^2 = 2024$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2024$。
计算$a^b=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，有理数乘方运算
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式成立，同时要熟练掌握负数乘方的符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【难度系数】
0.8
2. 一元二次方程$x^2 -4x -8=0$的解是 （
A.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
C.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
B
）A.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
C.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的根，可选择公式法或配方法求解。若使用公式法，首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再计算判别式判断根的情况，最后代入求根公式计算即可；若使用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，之后开方即可求出根。
【解析】
解：用公式法求解，对于一元二次方程$x^2 -4x -8=0$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=-8$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×(-8) = 16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算：
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{48}}{2×1}=\frac{4\pm4\sqrt{3}}{2}=2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式，配方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的常规解法，熟练掌握求根公式或配方法的操作步骤即可快速得出结果，计算时要注意符号处理和根式化简的准确性。
【难度系数】
0.8
本题是求解一元二次方程的根，可选择公式法或配方法求解。若使用公式法，首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再计算判别式判断根的情况，最后代入求根公式计算即可；若使用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，之后开方即可求出根。
【解析】
解：用公式法求解，对于一元二次方程$x^2 -4x -8=0$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=-8$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×(-8) = 16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算：
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{48}}{2×1}=\frac{4\pm4\sqrt{3}}{2}=2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式，配方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的常规解法，熟练掌握求根公式或配方法的操作步骤即可快速得出结果，计算时要注意符号处理和根式化简的准确性。
【难度系数】
0.8
3. 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是 （
A.$x^2 - 2x = 5$
B.$x^2 + 4x = 5$
C.$2x^2 - 4x = 5$
D.$4x^2 + 4x = 5$
B
）A.$x^2 - 2x = 5$
B.$x^2 + 4x = 5$
C.$2x^2 - 4x = 5$
D.$4x^2 + 4x = 5$
答案
3. B
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握配方法解一元二次方程的基本步骤：首先将方程化为二次项系数为1、常数项移到等号右侧的形式，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左侧配成完全平方式。我们只需按这个规则逐个计算每个选项需要添加的常数，就能找到符合要求的选项。
【解析】
配方法中，对于形如$x^2+bx=c$的方程，配方时需在两边同时加$(\frac{b}{2})^2$。
选项A：方程$x^2 - 2x = 5$的一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(\frac{-2}{2})^2=1$，不符合要求；
选项B：方程$x^2 + 4x = 5$的一次项系数为$4$，需添加的常数为$(\frac{4}{2})^2=4$，符合要求；
选项C：先将方程$2x^2 - 4x = 5$的二次项系数化为1，两边除以2得$x^2-2x=\frac{5}{2}$，一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(\frac{-2}{2})^2=1$，不符合要求；
选项D：先将方程$4x^2 + 4x = 5$的二次项系数化为1，两边除以4得$x^2+x=\frac{5}{4}$，一次项系数为$1$，需添加的常数为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，解题关键是牢记配方的前提是先把二次项系数化为1，再添加一次项系数一半的平方，熟练掌握配方法的步骤就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握配方法解一元二次方程的基本步骤：首先将方程化为二次项系数为1、常数项移到等号右侧的形式，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左侧配成完全平方式。我们只需按这个规则逐个计算每个选项需要添加的常数，就能找到符合要求的选项。
【解析】
配方法中，对于形如$x^2+bx=c$的方程，配方时需在两边同时加$(\frac{b}{2})^2$。
选项A：方程$x^2 - 2x = 5$的一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(\frac{-2}{2})^2=1$，不符合要求；
选项B：方程$x^2 + 4x = 5$的一次项系数为$4$，需添加的常数为$(\frac{4}{2})^2=4$，符合要求；
选项C：先将方程$2x^2 - 4x = 5$的二次项系数化为1，两边除以2得$x^2-2x=\frac{5}{2}$，一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(\frac{-2}{2})^2=1$，不符合要求；
选项D：先将方程$4x^2 + 4x = 5$的二次项系数化为1，两边除以4得$x^2+x=\frac{5}{4}$，一次项系数为$1$，需添加的常数为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，解题关键是牢记配方的前提是先把二次项系数化为1，再添加一次项系数一半的平方，熟练掌握配方法的步骤就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 小明问DeepSeek这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同。”，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.1或$-1$
A
）A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.1或$-1$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设这个数为未知数x，将题目中的文字运算描述转化为数学方程，再通过解一元二次方程得到x的取值，最后匹配选项即可。第一步根据题意列等式：这个数的平方减去这个数再加1的结果等于这个数，对应列出方程；第二步将方程整理为一元二次方程的标准形式，用完全平方因式分解法求解；第三步根据解选择对应选项。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意列方程：
$x^2 - x + 1 = x$
移项，将右侧的$x$移到左侧，合并同类项得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 1$
因此这个数是1。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是将文字描述准确转化为数学方程，解方程时利用完全平方公式可快速得出结果，解题时要注意移项不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先设这个数为未知数x，将题目中的文字运算描述转化为数学方程，再通过解一元二次方程得到x的取值，最后匹配选项即可。第一步根据题意列等式：这个数的平方减去这个数再加1的结果等于这个数，对应列出方程；第二步将方程整理为一元二次方程的标准形式，用完全平方因式分解法求解；第三步根据解选择对应选项。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意列方程：
$x^2 - x + 1 = x$
移项，将右侧的$x$移到左侧，合并同类项得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 1$
因此这个数是1。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是将文字描述准确转化为数学方程，解方程时利用完全平方公式可快速得出结果，解题时要注意移项不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
5. (2025·南京)设方程$x^2 + 2x - 9 = 0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间，则$m=$
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
要确定方程正根所在的整数区间，我们可以利用一元二次方程与二次函数的对应关系，将方程的根转化为对应二次函数与x轴交点的横坐标。首先构造对应的二次函数，再代入正整数计算函数值，根据开口向上的二次函数函数值由负变正的区间，就能确定正根所在的范围，进而得到m的值。
【解析】
设二次函数$y = x^2 + 2x - 9$，
∵ 二次项系数$1＞0$，
∴ 该函数的抛物线开口向上，
当$x=2$时，$y = 2^2 + 2×2 -9 = 4+4-9 = -1 ＜ 0$，
当$x=3$时，$y = 3^2 + 2×3 -9 = 9+6-9 = 6 ＞ 0$，
∴ 当$x＞0$时，抛物线与x轴的交点横坐标介于2和3之间，即方程$x^2 + 2x -9 = 0$的正根介于整数2和3之间，
故$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的估算；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过代入整数计算对应代数式的取值正负，结合二次函数的开口方向判断方程根的所在区间，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要确定方程正根所在的整数区间，我们可以利用一元二次方程与二次函数的对应关系，将方程的根转化为对应二次函数与x轴交点的横坐标。首先构造对应的二次函数，再代入正整数计算函数值，根据开口向上的二次函数函数值由负变正的区间，就能确定正根所在的范围，进而得到m的值。
【解析】
设二次函数$y = x^2 + 2x - 9$，
∵ 二次项系数$1＞0$，
∴ 该函数的抛物线开口向上，
当$x=2$时，$y = 2^2 + 2×2 -9 = 4+4-9 = -1 ＜ 0$，
当$x=3$时，$y = 3^2 + 2×3 -9 = 9+6-9 = 6 ＞ 0$，
∴ 当$x＞0$时，抛物线与x轴的交点横坐标介于2和3之间，即方程$x^2 + 2x -9 = 0$的正根介于整数2和3之间，
故$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的估算；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过代入整数计算对应代数式的取值正负，结合二次函数的开口方向判断方程根的所在区间，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
6. 填空：
(1) $x^2 - 2x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；(2) $x^2 + 6x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3) $x^2 + \frac{5}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；(4) $x^2 - \_\_\_\_\_\_x + \frac{4}{9} = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1) $x^2 - 2x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；(2) $x^2 + 6x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3) $x^2 + \frac{5}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；(4) $x^2 - \_\_\_\_\_\_x + \frac{4}{9} = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
6. (1) 1 1 (2) 9 3 (3) $\frac{25}{16}$ $\frac{5}{4}$ (4) $\frac{4}{3}$ $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这组题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。当二次项系数为1时，配方规律为：等式左侧需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，完全平方式中括号内的常数项就是一次项系数的一半，我们按照这个规律逐个计算即可。
【解析】
根据完全平方公式的配方规则，二次项系数为1时，$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$，逐个计算：
(1) 一次项系数为$-2$，一半为$-1$，平方为$(-1)^2=1$，因此$x^2-2x+1=(x-1)^2$，依次填1、1；
(2) 一次项系数为$6$，一半为$3$，平方为$3^2=9$，因此$x^2+6x+9=(x+3)^2$，依次填9、3；
(3) 一次项系数为$\frac{5}{2}$，一半为$\frac{5}{4}$，平方为$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，因此$x^2+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=(x+\frac{5}{4})^2$，依次填$\frac{25}{16}$、$\frac{5}{4}$；
(4) 已知常数项为$\frac{4}{9}$，即$(\frac{b}{2})^2=\frac{4}{9}$，可得$\frac{b}{2}=\frac{2}{3}$，则一次项系数$b=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，因此$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=(x-\frac{2}{3})^2$，依次填$\frac{4}{3}$、$\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 1；1 (2) 9；3 (3) $\frac{25}{16}$；$\frac{5}{4}$ (4) $\frac{4}{3}$；$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，熟练掌握完全平方公式的结构特征、明确二次项系数为1时常数项和一次项系数的对应关系是解题关键，该知识点是后续解一元二次方程、学习二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
这组题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。当二次项系数为1时，配方规律为：等式左侧需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，完全平方式中括号内的常数项就是一次项系数的一半，我们按照这个规律逐个计算即可。
【解析】
根据完全平方公式的配方规则，二次项系数为1时，$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$，逐个计算：
(1) 一次项系数为$-2$，一半为$-1$，平方为$(-1)^2=1$，因此$x^2-2x+1=(x-1)^2$，依次填1、1；
(2) 一次项系数为$6$，一半为$3$，平方为$3^2=9$，因此$x^2+6x+9=(x+3)^2$，依次填9、3；
(3) 一次项系数为$\frac{5}{2}$，一半为$\frac{5}{4}$，平方为$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，因此$x^2+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=(x+\frac{5}{4})^2$，依次填$\frac{25}{16}$、$\frac{5}{4}$；
(4) 已知常数项为$\frac{4}{9}$，即$(\frac{b}{2})^2=\frac{4}{9}$，可得$\frac{b}{2}=\frac{2}{3}$，则一次项系数$b=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，因此$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=(x-\frac{2}{3})^2$，依次填$\frac{4}{3}$、$\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 1；1 (2) 9；3 (3) $\frac{25}{16}$；$\frac{5}{4}$ (4) $\frac{4}{3}$；$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，熟练掌握完全平方公式的结构特征、明确二次项系数为1时常数项和一次项系数的对应关系是解题关键，该知识点是后续解一元二次方程、学习二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
7. 用配方法解方程：
(1) (2025·无锡)$x^2 -2x -2=0$；
(2) $x^2 +4x -1=0$；
(3) $x^2 -5x -6=0$；
(4) $x^2 -7=-6x$；
(5) $y^2 +\frac{3}{4}y +\frac{1}{8}=0$；
(6) $(x-1)^2 -4(x-1)+3=0$。
(1) (2025·无锡)$x^2 -2x -2=0$；
(2) $x^2 +4x -1=0$；
(3) $x^2 -5x -6=0$；
(4) $x^2 -7=-6x$；
(5) $y^2 +\frac{3}{4}y +\frac{1}{8}=0$；
(6) $(x-1)^2 -4(x-1)+3=0$。
答案
7. (1) $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$ (2) $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$ (3) $x_1=-1,x_2=6$ (4) $x_1=1,x_2=-7$ (5) $y_1=-\frac{1}{4},y_2=-\frac{1}{2}$ (6) $x_1=2,x_2=4$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程遵循通用步骤：①先整理方程，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，确保二次项系数为1（若不为1先除以二次项系数）；②配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；③开平方：将二次方程转化为两个一元一次方程；④解一元一次方程得到原方程的根。对于有整体结构的方程（如第(6)题），可将重复出现的整式看作一个整体配方，简化计算。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 2x = 2$
配方，两边加$(-2÷2)^2=1$：$x^2 -2x +1 = 2 +1$，即$(x-1)^2=3$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{3}$
解得：$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2) 移项得：$x^2 +4x = 1$
配方，两边加$(4÷2)^2=4$：$x^2 +4x +4 =1 +4$，即$(x+2)^2=5$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$
(3) 移项得：$x^2 -5x =6$
配方，两边加$(-5÷2)^2=\frac{25}{4}$：$x^2 -5x +\frac{25}{4} =6 +\frac{25}{4}$，即$(x-\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$
开平方得：$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$
解得：$x_1=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=6,x_2=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}=-1$
(4) 整理方程，移项得：$x^2 +6x =7$
配方，两边加$(6÷2)^2=9$：$x^2 +6x +9 =7 +9$，即$(x+3)^2=16$
开平方得：$x+3=\pm4$
解得：$x_1=-3+4=1,x_2=-3-4=-7$
(5) 移项得：$y^2 +\frac{3}{4}y = -\frac{1}{8}$
配方，两边加$(\frac{3}{4}÷2)^2=\frac{9}{64}$：$y^2 +\frac{3}{4}y +\frac{9}{64} = -\frac{1}{8} +\frac{9}{64}$，即$(y+\frac{3}{8})^2=\frac{1}{64}$
开平方得：$y+\frac{3}{8}=\pm\frac{1}{8}$
解得：$y_1=-\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{4},y_2=-\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{2}$
(6) 令$t=x-1$，原方程化为$t^2 -4t +3=0$
移项得：$t^2 -4t = -3$
配方，两边加$(-4÷2)^2=4$：$t^2 -4t +4 = -3 +4$，即$(t-2)^2=1$
开平方得：$t-2=\pm1$，即$t=3$或$t=1$
代回$t=x-1$：$x-1=3⇒ x=4$；$x-1=1⇒ x=2$
解得：$x_1=2,x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$
(3) $x_1=-1,x_2=6$
(4) $x_1=1,x_2=-7$
(5) $y_1=-\frac{1}{4},y_2=-\frac{1}{2}$
(6) $x_1=2,x_2=4$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整体代换思想
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的掌握情况，熟练掌握移项、配方、开平方的步骤是解题核心，第(6)题运用整体代换可大幅简化计算，解题时需注意开平方时不要漏掉负根，涉及分数计算时要注意通分准确，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
配方法解一元二次方程遵循通用步骤：①先整理方程，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，确保二次项系数为1（若不为1先除以二次项系数）；②配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；③开平方：将二次方程转化为两个一元一次方程；④解一元一次方程得到原方程的根。对于有整体结构的方程（如第(6)题），可将重复出现的整式看作一个整体配方，简化计算。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 2x = 2$
配方，两边加$(-2÷2)^2=1$：$x^2 -2x +1 = 2 +1$，即$(x-1)^2=3$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{3}$
解得：$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2) 移项得：$x^2 +4x = 1$
配方，两边加$(4÷2)^2=4$：$x^2 +4x +4 =1 +4$，即$(x+2)^2=5$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$
(3) 移项得：$x^2 -5x =6$
配方，两边加$(-5÷2)^2=\frac{25}{4}$：$x^2 -5x +\frac{25}{4} =6 +\frac{25}{4}$，即$(x-\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$
开平方得：$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$
解得：$x_1=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=6,x_2=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}=-1$
(4) 整理方程，移项得：$x^2 +6x =7$
配方，两边加$(6÷2)^2=9$：$x^2 +6x +9 =7 +9$，即$(x+3)^2=16$
开平方得：$x+3=\pm4$
解得：$x_1=-3+4=1,x_2=-3-4=-7$
(5) 移项得：$y^2 +\frac{3}{4}y = -\frac{1}{8}$
配方，两边加$(\frac{3}{4}÷2)^2=\frac{9}{64}$：$y^2 +\frac{3}{4}y +\frac{9}{64} = -\frac{1}{8} +\frac{9}{64}$，即$(y+\frac{3}{8})^2=\frac{1}{64}$
开平方得：$y+\frac{3}{8}=\pm\frac{1}{8}$
解得：$y_1=-\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{4},y_2=-\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{2}$
(6) 令$t=x-1$，原方程化为$t^2 -4t +3=0$
移项得：$t^2 -4t = -3$
配方，两边加$(-4÷2)^2=4$：$t^2 -4t +4 = -3 +4$，即$(t-2)^2=1$
开平方得：$t-2=\pm1$，即$t=3$或$t=1$
代回$t=x-1$：$x-1=3⇒ x=4$；$x-1=1⇒ x=2$
解得：$x_1=2,x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$
(3) $x_1=-1,x_2=6$
(4) $x_1=1,x_2=-7$
(5) $y_1=-\frac{1}{4},y_2=-\frac{1}{2}$
(6) $x_1=2,x_2=4$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整体代换思想
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的掌握情况，熟练掌握移项、配方、开平方的步骤是解题核心，第(6)题运用整体代换可大幅简化计算，解题时需注意开平方时不要漏掉负根，涉及分数计算时要注意通分准确，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
8. 关于$x$的二次三项式$x^2+4x+9$进行配方得$x^2+4x+9=(x+m)^2+n$.
（1）填空：$m=$
（2）当$x$为何值时，此二次三项式的值为7？
（1）填空：$m=$
2
, $n=$5
；（2）当$x$为何值时，此二次三项式的值为7？
答案
8. (1) 2 5 (2) 根据题意得:$x^2+4x+9=7,(x+2)^2=7-5,x+2=\pm\sqrt{2},x=-2\pm\sqrt{2}$,即当$x=-2\pm\sqrt{2}$时,此二次三项式的值为7.
解析
【分析】
（1）第一问考查配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式配方时，先将一次项系数除以2得到完全平方中的常数项，再通过调整常数项凑成完全平方加常数的形式，对比给出的配方后式子即可求出m、n的值；（2）第二问根据题意列出一元二次方程，借助第一问的配方结果，用直接开平方法求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 对$x^2+4x+9$进行配方：
$\begin{aligned}x^2+4x+9&=x^2+4x+2^2 - 2^2 +9\\&=(x+2)^2 -4 +9\\&=(x+2)^2 +5\end{aligned}$
对比$x^2+4x+9=(x+m)^2+n$，可得$m=2$，$n=5$。
(2) 由题意得，令二次三项式的值为7，列方程：
$x^2+4x+9=7$
将配方结果代入得：$(x+2)^2 +5 =7$
移项化简得：$(x+2)^2=2$
两边同时开平方得：$x+2=\pm\sqrt{2}$
解得：$x=-2\pm\sqrt{2}$
【答案】
(1) $2$，$5$；(2) 当$x=-2\pm\sqrt{2}$时，此二次三项式的值为7
【知识点】
配方法，直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考察配方法的操作步骤和一元二次方程的基本解法，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的核心，同时要注意开平方后正负两种情况不要漏解。
【难度系数】
0.8
（1）第一问考查配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式配方时，先将一次项系数除以2得到完全平方中的常数项，再通过调整常数项凑成完全平方加常数的形式，对比给出的配方后式子即可求出m、n的值；（2）第二问根据题意列出一元二次方程，借助第一问的配方结果，用直接开平方法求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 对$x^2+4x+9$进行配方：
$\begin{aligned}x^2+4x+9&=x^2+4x+2^2 - 2^2 +9\\&=(x+2)^2 -4 +9\\&=(x+2)^2 +5\end{aligned}$
对比$x^2+4x+9=(x+m)^2+n$，可得$m=2$，$n=5$。
(2) 由题意得，令二次三项式的值为7，列方程：
$x^2+4x+9=7$
将配方结果代入得：$(x+2)^2 +5 =7$
移项化简得：$(x+2)^2=2$
两边同时开平方得：$x+2=\pm\sqrt{2}$
解得：$x=-2\pm\sqrt{2}$
【答案】
(1) $2$，$5$；(2) 当$x=-2\pm\sqrt{2}$时，此二次三项式的值为7
【知识点】
配方法，直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考察配方法的操作步骤和一元二次方程的基本解法，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的核心，同时要注意开平方后正负两种情况不要漏解。
【难度系数】
0.8
