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10. 若一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根是$3m+1$与$m-9$，则$\frac{b}{a}=$
$49$
。答案
10. 49
解析
【分析】
解本题的突破口是明确用直接开平方法解一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$时，得到的两个根互为相反数。解题思路如下：第一步，根据互为相反数的两个数和为0，列关于$m$的一元一次方程，求出$m$的值；第二步，将$m$代入两个根的表达式，得到方程的根；第三步，根据$x^2=\frac{b}{a}$，计算出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，对方程$ax^2 = b$两边同时除以$a$得：
$x^2=\frac{b}{a}$
用直接开平方法解得：$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，因此该方程的两个根互为相反数，和为0。
已知方程的两个根是$3m+1$与$m-9$，则：
$(3m+1)+(m-9)=0$
合并同类项得：$4m-8=0$
解得：$m=2$
将$m=2$代入根的表达式，得两根分别为：
$3m+1=3×2+1=7$，$m-9=2-9=-7$
因为$x^2=\frac{b}{a}$，所以$\frac{b}{a}=7^2=49$。
【答案】
49
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程根的性质
【点评】
本题侧重考查对直接开平方法解一元二次方程的理解，解题关键是掌握直接开平方所得的两根互为相反数的特点，通过根的和为0求出参数后即可快速计算结果，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
解本题的突破口是明确用直接开平方法解一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$时，得到的两个根互为相反数。解题思路如下：第一步，根据互为相反数的两个数和为0，列关于$m$的一元一次方程，求出$m$的值；第二步，将$m$代入两个根的表达式，得到方程的根；第三步，根据$x^2=\frac{b}{a}$，计算出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，对方程$ax^2 = b$两边同时除以$a$得：
$x^2=\frac{b}{a}$
用直接开平方法解得：$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，因此该方程的两个根互为相反数，和为0。
已知方程的两个根是$3m+1$与$m-9$，则：
$(3m+1)+(m-9)=0$
合并同类项得：$4m-8=0$
解得：$m=2$
将$m=2$代入根的表达式，得两根分别为：
$3m+1=3×2+1=7$，$m-9=2-9=-7$
因为$x^2=\frac{b}{a}$，所以$\frac{b}{a}=7^2=49$。
【答案】
49
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程根的性质
【点评】
本题侧重考查对直接开平方法解一元二次方程的理解，解题关键是掌握直接开平方所得的两根互为相反数的特点，通过根的和为0求出参数后即可快速计算结果，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
11. 解一元二次方程 $4(2x-1)^2 -25(x+1)^2=0$.
解:移项,得 $4(2x-1)^2=25(x+1)^2$ ①
直接开平方,得 $2(2x-1)=5(x+1)$ ②
所以 $x=-7$ ③
上述过程有无错误?如有,请写出正确的解答过程;如没有,请写出解答依据.
解:移项,得 $4(2x-1)^2=25(x+1)^2$ ①
直接开平方,得 $2(2x-1)=5(x+1)$ ②
所以 $x=-7$ ③
上述过程有无错误?如有,请写出正确的解答过程;如没有,请写出解答依据.
答案
11. $x_1=-7,x_2=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
原解答存在错误，错误出在第②步：直接开平方时忽略了正数的平方根有正负两个的性质，形如$A^2=B^2$的等式开方后应得到$A=B$或$A=-B$两种情况，原解答仅取正号情况导致漏解。本题方程移项后左右两边均为完全平方式，适合用直接开平方法求解，开方后分两种情况分别计算即可得到方程的全部根。
【解析】
原解答有错误，正确解答过程如下：
移项，得 $4(2x-1)^2=25(x+1)^2$，
直接开平方，得 $2(2x-1)=\pm5(x+1)$，
分两种情况求解：
① 当$2(2x-1)=5(x+1)$时，
去括号得：$4x-2=5x+5$，
移项、合并同类项得：$-x=7$，
解得：$x=-7$；
② 当$2(2x-1)=-5(x+1)$时，
去括号得：$4x-2=-5x-5$，
移项、合并同类项得：$9x=-3$，
解得：$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-7,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平解法，易错点是开平方时遗漏负号对应的根，解题时需牢记正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
原解答存在错误，错误出在第②步：直接开平方时忽略了正数的平方根有正负两个的性质，形如$A^2=B^2$的等式开方后应得到$A=B$或$A=-B$两种情况，原解答仅取正号情况导致漏解。本题方程移项后左右两边均为完全平方式，适合用直接开平方法求解，开方后分两种情况分别计算即可得到方程的全部根。
【解析】
原解答有错误，正确解答过程如下：
移项，得 $4(2x-1)^2=25(x+1)^2$，
直接开平方，得 $2(2x-1)=\pm5(x+1)$，
分两种情况求解：
① 当$2(2x-1)=5(x+1)$时，
去括号得：$4x-2=5x+5$，
移项、合并同类项得：$-x=7$，
解得：$x=-7$；
② 当$2(2x-1)=-5(x+1)$时，
去括号得：$4x-2=-5x-5$，
移项、合并同类项得：$9x=-3$，
解得：$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-7,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平解法，易错点是开平方时遗漏负号对应的根，解题时需牢记正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：$a△b=a^2 - b^2$，根据这个规则，求：
(1) $4△3$的值；
(2) $(x+2)△5=0$中$x$的值。
(1) $4△3$的值；
(2) $(x+2)△5=0$中$x$的值。
答案
12. (1) $4△3=4^2 -3^2=16-9=7.$ (2) 由题意得$(x+2)△5=(x+2)^2 -5^2=0,(x+2)^2=25$,两边直接开平方得:$x+2=\pm5$,解得:$x_1=3,x_2=-7.$
解析
【分析】
首先明确新运算“△”的规则：$a△b$等于第一个数的平方减去第二个数的平方。(1)求解$4△3$时，只需将$a=4$、$b=3$代入运算规则，按照有理数的乘方、减法法则计算即可。(2)求解$(x+2)△5=0$时，先按照新运算规则，把$a$替换为$(x+2)$、$b$替换为5，将等式转化为关于$x$的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a△b=a^2 - b^2$，代入$a=4$，$b=3$得：
$4△3=4^2 - 3^2=16 - 9=7$
(2) 根据新运算规则，将$(x+2)△5$展开得：
$(x+2)△5=(x+2)^2 - 5^2$
已知该式等于0，因此列方程：
$(x+2)^2 - 25=0$
移项得：$(x+2)^2=25$
两边直接开平方得：$x+2=\pm5$
当$x+2=5$时，解得$x=3$；当$x+2=-5$时，解得$x=-7$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{x_1=3,x_2=-7}$
【知识点】
新定义运算、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题核心是正确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为已学的平方运算和方程求解问题，计算时注意开平方要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
首先明确新运算“△”的规则：$a△b$等于第一个数的平方减去第二个数的平方。(1)求解$4△3$时，只需将$a=4$、$b=3$代入运算规则，按照有理数的乘方、减法法则计算即可。(2)求解$(x+2)△5=0$时，先按照新运算规则，把$a$替换为$(x+2)$、$b$替换为5，将等式转化为关于$x$的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a△b=a^2 - b^2$，代入$a=4$，$b=3$得：
$4△3=4^2 - 3^2=16 - 9=7$
(2) 根据新运算规则，将$(x+2)△5$展开得：
$(x+2)△5=(x+2)^2 - 5^2$
已知该式等于0，因此列方程：
$(x+2)^2 - 25=0$
移项得：$(x+2)^2=25$
两边直接开平方得：$x+2=\pm5$
当$x+2=5$时，解得$x=3$；当$x+2=-5$时，解得$x=-7$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{x_1=3,x_2=-7}$
【知识点】
新定义运算、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题核心是正确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为已学的平方运算和方程求解问题，计算时注意开平方要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
13. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如:解方程 $x(x+8)=4$.
解:原方程可变形,得$[(x+4)-4][(x+4)+4]=4$,
$(x+4)^2 -4^2=4$,
$(x+4)^2=20$,
开平方,得 $x+4=\pm2\sqrt{5}$,
$\therefore x_1=-4+2\sqrt{5},x_2=-4-2\sqrt{5}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1) 下面是小明用“平均数法”解方程$(x+2)(x+8)=40$时写的解题过程:
解:原方程可变形,得$[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$,
$(x+a)^2 -b^2=40$,
$(x+a)^2=40+b^2$,
开平方,得 $x_1=2,x_2=-12$.
上述解题过程中的 $a,b$ 所表示的数分别是
(2) 请用“平均数法”解方程:$(x-2)(x+6)=12$.
如:解方程 $x(x+8)=4$.
解:原方程可变形,得$[(x+4)-4][(x+4)+4]=4$,
$(x+4)^2 -4^2=4$,
$(x+4)^2=20$,
开平方,得 $x+4=\pm2\sqrt{5}$,
$\therefore x_1=-4+2\sqrt{5},x_2=-4-2\sqrt{5}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1) 下面是小明用“平均数法”解方程$(x+2)(x+8)=40$时写的解题过程:
解:原方程可变形,得$[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$,
$(x+a)^2 -b^2=40$,
$(x+a)^2=40+b^2$,
开平方,得 $x_1=2,x_2=-12$.
上述解题过程中的 $a,b$ 所表示的数分别是
5
, 3
;(2) 请用“平均数法”解方程:$(x-2)(x+6)=12$.
答案
13. (1) 5,3 (2) $(x-2)(x+6)=12$,原方程可变形得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=12$,$(x+2)^2 -4^2=12$,$(x+2)^2=28$,$x_1=-2+2\sqrt{7}$,$x_2=-2-2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
（1）首先明确“平均数法”的核心逻辑：对于形如$(x+m)(x+n)=p$的方程，先求两个一次式$x+m$和$x+n$的平均数，即$\frac{(x+m)+(x+n)}{2}=x+\frac{m+n}{2}$，此处$\frac{m+n}{2}$就是$a$的值，$b$为平均数与任意一个一次式常数项的差值。本题中两个一次式为$x+2$和$x+8$，计算对应平均数和差值即可得到$a$、$b$的值。
（2）仿照“平均数法”的步骤，先求出$(x-2)$和$(x+6)$的平均数，将原方程变形为平方差的结构，再通过移项、直接开平方求解一元二次方程即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+2)(x+8)=40$，两个一次因式的常数项为2和8，平均数为$\frac{2+8}{2}=5$，因此$a=5$；平均数与常数项2的差值为$5-2=3$，因此$b=3$，代入验证符合平方差公式的结构。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=12$：
先求两个一次式的平均数：$\frac{(x-2)+(x+6)}{2}=x+2$，一次式与平均数的差值为$|(x+2)-(x-2)|=4$，因此原方程可变形为：
$[(x+2)-4][(x+2)+4]=12$
由平方差公式展开得：
$(x+2)^2 - 4^2=12$
整理得：
$(x+2)^2=28$
开平方得：
$x+2=\pm2\sqrt{7}$
解得$x_1=-2+2\sqrt{7}$，$x_2=-2-2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$，$\boxed{3}$
(2) $\boxed{x_1=-2+2\sqrt{7},x_2=-2-2\sqrt{7}}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解方程，新定义应用
【点评】
本题是新定义类解方程题型，核心是理解“平均数法”本质是借助平方差公式将原方程转化为可直接开平方的形式，降低计算难度，解题关键是准确求出两个一次因式的平均数，考察对新方法的理解和迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确“平均数法”的核心逻辑：对于形如$(x+m)(x+n)=p$的方程，先求两个一次式$x+m$和$x+n$的平均数，即$\frac{(x+m)+(x+n)}{2}=x+\frac{m+n}{2}$，此处$\frac{m+n}{2}$就是$a$的值，$b$为平均数与任意一个一次式常数项的差值。本题中两个一次式为$x+2$和$x+8$，计算对应平均数和差值即可得到$a$、$b$的值。
（2）仿照“平均数法”的步骤，先求出$(x-2)$和$(x+6)$的平均数，将原方程变形为平方差的结构，再通过移项、直接开平方求解一元二次方程即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+2)(x+8)=40$，两个一次因式的常数项为2和8，平均数为$\frac{2+8}{2}=5$，因此$a=5$；平均数与常数项2的差值为$5-2=3$，因此$b=3$，代入验证符合平方差公式的结构。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=12$：
先求两个一次式的平均数：$\frac{(x-2)+(x+6)}{2}=x+2$，一次式与平均数的差值为$|(x+2)-(x-2)|=4$，因此原方程可变形为：
$[(x+2)-4][(x+2)+4]=12$
由平方差公式展开得：
$(x+2)^2 - 4^2=12$
整理得：
$(x+2)^2=28$
开平方得：
$x+2=\pm2\sqrt{7}$
解得$x_1=-2+2\sqrt{7}$，$x_2=-2-2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$，$\boxed{3}$
(2) $\boxed{x_1=-2+2\sqrt{7},x_2=-2-2\sqrt{7}}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解方程，新定义应用
【点评】
本题是新定义类解方程题型，核心是理解“平均数法”本质是借助平方差公式将原方程转化为可直接开平方的形式，降低计算难度，解题关键是准确求出两个一次因式的平均数，考察对新方法的理解和迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
