6. 一场家庭教育沙龙，主办方邀请9位家长参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子.

（1）如图1－1，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为；
（2）如图1－2，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用列举法求甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率；
（3）如图1－3，已经有四位家长入座四个位置，又有两名家长丙和丁随机入座，直接写出仅有三位家长坐在同一直线上的概率.

(1) $\frac{1}{7}$
(2) 将第$m$排,第$n$列记为$(m,n)$,由图1－2知,第1排可入座的位置有:$(1,1),(1,2),(1,3)$;第2排可入座的位置有:$(2,2),(2,3)$.画树状图如下：
由树状图可知,一共有6种等可能情况,其中甲、乙刚好坐在同一列有2种情况,
∴ $P$(甲、乙两人刚好坐在同一列上)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
(3) $\frac{2}{5}$.

【分析】
（1）先计算总空位数量：9个座位已入座2个，剩余7个空位，即随机入座的总等可能情况共7种；再判断符合“三把椅子共线”的位置：已入座的两个位置为(1,3)和(3,1)，仅当新入座位置为(2,2)时，三个位置在同一条对角线上，符合条件的情况共1种，用符合条件的情况数除以总情况数即可求得概率。
（2）先确定甲、乙的可选座位范围：第一排空位共3个，第二排已入座(2,1)，剩余空位共2个；再用树状图列举所有等可能的入座情况，筛选出甲、乙同列的情况，代入概率公式计算即可。
（3）先确定剩余空位共5个，计算两人随机入座的总等可能情况数；再筛选出“仅有三位家长在同一直线上”的情况数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）9把椅子已坐2把，剩余7个空座位，随机入座共有7种等可能的结果；要使三把椅子在同一直线上，仅能选择(2,2)位置入座，符合条件的结果共1种，因此所求概率为$\frac{1}{7}$。
（2）将第$m$排第$n$列记为$(m,n)$，由图1-2可知：第一排可入座的位置为$(1,1),(1,2),(1,3)$，共3种选择；第二排已入座$(2,1)$，可入座的位置为$(2,2),(2,3)$，共2种选择。
画树状图如下：
由树状图可知，一共有$3×2=6$种等可能的情况，其中甲、乙刚好坐在同一列的情况有2种，分别为甲坐(1,2)且乙坐(2,2)、甲坐(1,3)且乙坐(2,3)。
因此$P$(甲、乙两人刚好坐在同一列上)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（3）图1-3中已入座4个位置，剩余空座位为$(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)$共5个，两人随机入座的总等可能情况共10种；其中满足仅有三位家长坐在同一直线上的情况共4种，因此所求概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{7}$
(2) 将第$m$排,第$n$列记为$(m,n)$,由图1－2知,第1排可入座的位置有:$(1,1),(1,2),(1,3)$;第2排可入座的位置有:$(2,2),(2,3)$.画树状图如下：
由树状图可知,一共有6种等可能情况,其中甲、乙刚好坐在同一列有2种情况,
∴ $P$(甲、乙两人刚好坐在同一列上)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
(3) $\frac{2}{5}$.
【知识点】
概率公式，列举法求概率，三点共线判定
【点评】
本题结合实际座位场景考查概率的应用，难度梯度清晰，前两问侧重基础概率计算的掌握，第三问需要准确筛选符合条件的情况，能有效考查逻辑分析的严谨性，解题时注意不要漏算或多算符合要求的情况。
【难度系数】
0.6

7.（2024·青岛）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者.九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程.
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是；
（2）请用列表或画树状图的方法，如果两人获胜的概率相等，游戏公平；反之，游戏不公平.请说明这个游戏对双方是否公平.

(1) $\frac{1}{3}$
(2) 游戏公平，理由如下：根据题意列表如下：
| | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种，
∴ 小明获胜的概率是$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，小红获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴ 两人获胜的概率相等，
∴ 游戏公平.

【分析】
（1）第一小问属于简单古典概型计算，3张纸牌除数字外完全相同，随机摸取时每张牌被摸到的可能性相等，总共有3种等可能结果，摸到“1”的结果只有1种，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
（2）判断游戏公平性的核心是比较双方获胜概率是否相等。本题是放回摸牌试验，两次摸牌结果互不影响，可通过列表法列出所有等可能的两数之和的结果，分别筛选出和大于4（小明胜）、和小于4（小红胜）的结果数，计算两者概率后比较大小即可，注意和等于4的情况需要重复试验，不计入本次有效结果。
【解析】
（1）共有3张牌面数字为1、2、3的纸牌，随机摸取一张时共有3种等可能的结果，其中摸到数字“1”的结果有1种，故摸到“1”的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意列表如下：
| \ | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可知，两次摸牌共有9种等可能的结果，其中两次数字之和大于4的结果有3种，两次数字之和小于4的结果有3种。
因此小明获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，小红获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
两人获胜的概率相等，因此该游戏对双方公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 游戏公平，理由如上
【知识点】
古典概型计算，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活中的游戏情境考查概率的实际应用，解题关键是准确罗列出所有等可能的试验结果，明确游戏公平的判断依据是双方获胜概率相等，属于概率部分的基础常规题型，熟练掌握列表或树状图法求概率是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8