登录
1.（广安中考）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$90°$的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为 （
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
A
）A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
答案
1. A
解析
【分析】
解题的核心是明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。首先利用弧长公式算出展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
已知扇形圆心角为$ 90° $，半径等于圆锥母线长5，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），可得弧长：
$ l=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5π}{2} $
2. 结合弧长与底面周长的关系列方程：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，圆的周长公式为$ C=2π r $，因此：
$ 2π r=\frac{5π}{2} $
两边同时约去$ π $，解得$ r=\frac{5}{4} $。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
圆锥与展开图的关系、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是掌握圆锥侧面展开扇形和底面圆的对应等量关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。首先利用弧长公式算出展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
已知扇形圆心角为$ 90° $，半径等于圆锥母线长5，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），可得弧长：
$ l=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5π}{2} $
2. 结合弧长与底面周长的关系列方程：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，圆的周长公式为$ C=2π r $，因此：
$ 2π r=\frac{5π}{2} $
两边同时约去$ π $，解得$ r=\frac{5}{4} $。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
圆锥与展开图的关系、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是掌握圆锥侧面展开扇形和底面圆的对应等量关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.（云南中考）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为（
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确圆锥和它侧面展开扇形之间的对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径，圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们的解题思路是先利用弧长公式算出扇形的弧长，再根据弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程求出底面圆的半径。
【解析】
解：设该圆锥的底面圆的半径为$ r $ cm。
已知圆锥侧面展开扇形的圆心角$ n=90° $，扇形半径（即母线长）$ R=40 $ cm，
根据弧长公式，扇形的弧长为：
$ l = \frac{nπ R}{180} = \frac{90π × 40}{180} = 20π \, \mathrm{cm} $
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，底面圆周长$ C=2π r $，所以：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $
即该圆锥底面圆的半径为10 cm。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开特征；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是扇形和圆锥结合的基础题型，解题的核心是抓住圆锥侧面展开扇形的弧长与底面圆周长相等的等量关系，只要理清两者各对应量的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确圆锥和它侧面展开扇形之间的对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径，圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们的解题思路是先利用弧长公式算出扇形的弧长，再根据弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程求出底面圆的半径。
【解析】
解：设该圆锥的底面圆的半径为$ r $ cm。
已知圆锥侧面展开扇形的圆心角$ n=90° $，扇形半径（即母线长）$ R=40 $ cm，
根据弧长公式，扇形的弧长为：
$ l = \frac{nπ R}{180} = \frac{90π × 40}{180} = 20π \, \mathrm{cm} $
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，底面圆周长$ C=2π r $，所以：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $
即该圆锥底面圆的半径为10 cm。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开特征；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是扇形和圆锥结合的基础题型，解题的核心是抓住圆锥侧面展开扇形的弧长与底面圆周长相等的等量关系，只要理清两者各对应量的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 用一个圆心角为$120°$，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为
4
.答案
3. 4
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据已知的扇形圆心角和半径计算出扇形弧长，再结合圆的周长公式，建立方程即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
设圆锥的底面圆半径为$r$。
1. 计算扇形的弧长：根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径），代入$n=120°$，$R=12$可得：
$l=\frac{120π×12}{180}=8π$
2. 利用等量关系列方程求解：因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长为$2π r$，所以：
$2π r=8π$
等式两边同时除以$2π$，解得$r=4$。
【答案】
4
【知识点】
扇形弧长计算，圆锥侧面展开图性质，圆的周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，只要明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，熟练运用相关公式就能快速求解，是几何中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据已知的扇形圆心角和半径计算出扇形弧长，再结合圆的周长公式，建立方程即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
设圆锥的底面圆半径为$r$。
1. 计算扇形的弧长：根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径），代入$n=120°$，$R=12$可得：
$l=\frac{120π×12}{180}=8π$
2. 利用等量关系列方程求解：因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长为$2π r$，所以：
$2π r=8π$
等式两边同时除以$2π$，解得$r=4$。
【答案】
4
【知识点】
扇形弧长计算，圆锥侧面展开图性质，圆的周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，只要明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，熟练运用相关公式就能快速求解，是几何中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$120°$的扇形，若圆锥的底面圆半径是$\sqrt{5}$，则圆锥的母线$l=$
$3\sqrt{5}$
。答案
4. $3\sqrt{5}$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图的弧长与圆锥底面圆的周长相等这一等量关系。首先分别写出扇形弧长和底面圆周长的表达式，再代入已知条件列方程，最后求解即可得到母线长。
【解析】
解：
∵圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
设圆锥的母线长为$ l $，已知扇形圆心角为$ 120° $，圆锥底面圆半径$ r=\sqrt{5} $。
根据扇形弧长公式$ \mathrm{弧长}=\frac{nπ l}{180} $，底面圆周长公式$ C=2π r $，列方程得：
$ \frac{120π l}{180}=2π×\sqrt{5} $
化简得：$ \frac{2π l}{3}=2\sqrt{5}π $
两边同时消去$ π $后整理可得：$ l=3\sqrt{5} $
【答案】
$ 3\sqrt{5} $
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长公式；圆的周长公式
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是抓住圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长这一核心等量关系，熟练运用相关公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图的弧长与圆锥底面圆的周长相等这一等量关系。首先分别写出扇形弧长和底面圆周长的表达式，再代入已知条件列方程，最后求解即可得到母线长。
【解析】
解：
∵圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
设圆锥的母线长为$ l $，已知扇形圆心角为$ 120° $，圆锥底面圆半径$ r=\sqrt{5} $。
根据扇形弧长公式$ \mathrm{弧长}=\frac{nπ l}{180} $，底面圆周长公式$ C=2π r $，列方程得：
$ \frac{120π l}{180}=2π×\sqrt{5} $
化简得：$ \frac{2π l}{3}=2\sqrt{5}π $
两边同时消去$ π $后整理可得：$ l=3\sqrt{5} $
【答案】
$ 3\sqrt{5} $
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长公式；圆的周长公式
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是抓住圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长这一核心等量关系，熟练运用相关公式计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图,如果从半径为3 cm的圆形纸片上剪去$\frac{1}{3}$圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的底面半径是
2
cm.答案
5. 2
解析
【分析】
解决本题的核心是明确扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时可分三步思考：第一步先计算原圆形纸片的周长；第二步根据剪去$\frac{1}{3}$圆周的条件，求出剩余扇形的弧长；第三步将该弧长作为圆锥底面周长，利用圆的周长公式反推底面半径。
【解析】
已知原圆形纸片的半径$R=3\mathrm{cm}$，首先计算原圆的周长：
$C_{\mathrm{原}}=2π R=2π×3=6π\ \mathrm{cm}$
因为剪去了$\frac{1}{3}$圆周的扇形，所以剩余扇形的弧长为原周长的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$：
$l_{\mathrm{弧}}=C_{\mathrm{原}}×\frac{2}{3}=6π×\frac{2}{3}=4π\ \mathrm{cm}$
剩余扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面半径为$r$，则：
$2π r=l_{\mathrm{弧}}=4π$
两边同时除以$2π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
弧长计算、圆锥展开图性质、圆周长计算
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础常考题，解题的关键是抓住扇形弧长和圆锥底面周长的等量对应关系，理清两个图形之间的量的联系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时可分三步思考：第一步先计算原圆形纸片的周长；第二步根据剪去$\frac{1}{3}$圆周的条件，求出剩余扇形的弧长；第三步将该弧长作为圆锥底面周长，利用圆的周长公式反推底面半径。
【解析】
已知原圆形纸片的半径$R=3\mathrm{cm}$，首先计算原圆的周长：
$C_{\mathrm{原}}=2π R=2π×3=6π\ \mathrm{cm}$
因为剪去了$\frac{1}{3}$圆周的扇形，所以剩余扇形的弧长为原周长的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$：
$l_{\mathrm{弧}}=C_{\mathrm{原}}×\frac{2}{3}=6π×\frac{2}{3}=4π\ \mathrm{cm}$
剩余扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面半径为$r$，则：
$2π r=l_{\mathrm{弧}}=4π$
两边同时除以$2π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
弧长计算、圆锥展开图性质、圆周长计算
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础常考题，解题的关键是抓住扇形弧长和圆锥底面周长的等量对应关系，理清两个图形之间的量的联系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在等腰三角形 ABC 中,∠BAC=120°,AD 是∠BAC 的平分线,且 AD=6,以点 A 为圆心,AD 长为半径画弧 EF,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F.
(1) 求由$\overset{\frown}{EF}$及线段 FC,CB,BE 围成图形(图中阴影部分)的面积;
(2) 将阴影部分剪掉,余下扇形 AEF,将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面,AE 与 AF 正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高 h.
(1) 求由$\overset{\frown}{EF}$及线段 FC,CB,BE 围成图形(图中阴影部分)的面积;
(2) 将阴影部分剪掉,余下扇形 AEF,将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面,AE 与 AF 正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高 h.
答案
6. 解：
(1) $\because$ 在等腰三角形 ABC 中,$∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ B=30°$.
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,$\therefore AD⊥ BC$,$BD=CD$. $\therefore BD=\sqrt{3}AD=6\sqrt{3}$. $\therefore BC=2BD=12\sqrt{3}$. $\therefore$ 由 $\overset{\frown}{EF}$ 及线段 $FC$,$CB$,$BE$ 围成图形(图中阴影部分)的面积$=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{1}{2}× 6× 12\sqrt{3}-\frac{120· π · 6^2}{360}=36\sqrt{3}-12π$;
(2) 设圆锥的底面圆的半径为 $r$,根据题意得 $2π r=\frac{120· π · 6}{180}$,解得 $r=2$,这个圆锥的高 $h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
(1) $\because$ 在等腰三角形 ABC 中,$∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ B=30°$.
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,$\therefore AD⊥ BC$,$BD=CD$. $\therefore BD=\sqrt{3}AD=6\sqrt{3}$. $\therefore BC=2BD=12\sqrt{3}$. $\therefore$ 由 $\overset{\frown}{EF}$ 及线段 $FC$,$CB$,$BE$ 围成图形(图中阴影部分)的面积$=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{1}{2}× 6× 12\sqrt{3}-\frac{120· π · 6^2}{360}=36\sqrt{3}-12π$;
(2) 设圆锥的底面圆的半径为 $r$,根据题意得 $2π r=\frac{120· π · 6}{180}$,解得 $r=2$,这个圆锥的高 $h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用割补法：阴影面积等于等腰三角形ABC的面积减去扇形EAF的面积。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合已知角度求出底边BC的长度，计算出△ABC的面积；再根据扇形面积公式求出圆心角为120°、半径为6的扇形EAF的面积，两者作差即可得到阴影面积。
(2) 扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。先计算弧EF的长度，据此列方程求出圆锥底面半径，再结合圆锥母线长、底面半径、高构成直角三角形的特点，用勾股定理求出圆锥的高h。
【解析】
(1) $\because$ 在等腰三角形 $ABC$ 中，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore AD⊥ BC$，$BD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=6$，$∠ B=30°$，
$\therefore BD=\sqrt{3}AD=6\sqrt{3}$，$BC=2BD=12\sqrt{3}$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×6=36\sqrt{3}$。
扇形$EAF$的圆心角为$120°$，半径为$AD=6$，
$\therefore S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{120·π·6^2}{360}=12π$。
$\therefore$ 阴影部分面积$=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=36\sqrt{3}-12π$。
(2) 设圆锥的底面圆半径为$r$，
扇形弧长$\overset{\frown}{EF}$的长度为$\frac{120·π·6}{180}=4π$，
根据扇形弧长等于圆锥底面周长，得$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥母线长为6，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{36\sqrt{3}-12π}$；(2) $\boldsymbol{4\sqrt{2}}$
【知识点】
割补法求阴影面积，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形性质、扇形相关公式，以及圆锥侧面展开图和底面圆的对应等量关系，计算时注意公式的正确运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积可采用割补法：阴影面积等于等腰三角形ABC的面积减去扇形EAF的面积。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合已知角度求出底边BC的长度，计算出△ABC的面积；再根据扇形面积公式求出圆心角为120°、半径为6的扇形EAF的面积，两者作差即可得到阴影面积。
(2) 扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。先计算弧EF的长度，据此列方程求出圆锥底面半径，再结合圆锥母线长、底面半径、高构成直角三角形的特点，用勾股定理求出圆锥的高h。
【解析】
(1) $\because$ 在等腰三角形 $ABC$ 中，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore AD⊥ BC$，$BD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=6$，$∠ B=30°$，
$\therefore BD=\sqrt{3}AD=6\sqrt{3}$，$BC=2BD=12\sqrt{3}$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×6=36\sqrt{3}$。
扇形$EAF$的圆心角为$120°$，半径为$AD=6$，
$\therefore S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{120·π·6^2}{360}=12π$。
$\therefore$ 阴影部分面积$=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=36\sqrt{3}-12π$。
(2) 设圆锥的底面圆半径为$r$，
扇形弧长$\overset{\frown}{EF}$的长度为$\frac{120·π·6}{180}=4π$，
根据扇形弧长等于圆锥底面周长，得$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥母线长为6，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{36\sqrt{3}-12π}$；(2) $\boldsymbol{4\sqrt{2}}$
【知识点】
割补法求阴影面积，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形性质、扇形相关公式，以及圆锥侧面展开图和底面圆的对应等量关系，计算时注意公式的正确运用。
【难度系数】
0.7
7. 如图,要制作一个圆锥形的烟囱帽,使底面圆的半径与母线长的比是4:5,那么所需扇形铁皮的圆心角的度数应为 (
A.$288°$
B.$144°$
C.$216°$
D.$120°$
A
)A.$288°$
B.$144°$
C.$216°$
D.$120°$
答案
7. A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长。题目给出了底面半径与母线长的比，我们可以通过设参数的方法表示出底面半径和母线长，再结合弧长公式和圆的周长公式列方程，即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$4k$，母线长为$5k$，所需扇形铁皮的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：根据圆的周长公式，底面周长$C=2π r=2π×4k=8π k$。
2. 圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面周长，根据弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$（这里$R$为扇形半径，即圆锥母线长），可得等式：
$\frac{nπ×5k}{180}=8π k$
3. 化简求解：两边同时约去$π k$，得$\frac{5n}{180}=8$，解得$n=\frac{8×180}{5}=288$。
所以圆心角的度数为$288°$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图特征，弧长公式，圆的周长计算
【点评】
本题核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，通过设参数的方式可以避免未知量过多的问题，简化计算过程，是扇形相关应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长。题目给出了底面半径与母线长的比，我们可以通过设参数的方法表示出底面半径和母线长，再结合弧长公式和圆的周长公式列方程，即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$4k$，母线长为$5k$，所需扇形铁皮的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：根据圆的周长公式，底面周长$C=2π r=2π×4k=8π k$。
2. 圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面周长，根据弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$（这里$R$为扇形半径，即圆锥母线长），可得等式：
$\frac{nπ×5k}{180}=8π k$
3. 化简求解：两边同时约去$π k$，得$\frac{5n}{180}=8$，解得$n=\frac{8×180}{5}=288$。
所以圆心角的度数为$288°$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图特征，弧长公式，圆的周长计算
【点评】
本题核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，通过设参数的方式可以避免未知量过多的问题，简化计算过程，是扇形相关应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
